Sistemas Lineares. Juliana Pimentel. juliana.pimentel. Sala Bloco A, Torre 2

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1 Sistemas Lineares Juliana Pimentel juliana.pimentel Sala Bloco A, Torre 2

2 O que é uma equação linear?

3 O que é uma equação linear? Ex: 1) 2x = 5

4 O que é uma equação linear? Ex: 1) 2x = 5 2) x + y = 7

5 O que é uma equação linear? Ex: 1) 2x = 5 2) x + y = 7 3) 3x y 5z = 0

6 O que é uma equação linear? Ex: 1) 2x = 5 2) x + y = 7 3) 3x y 5z = 0 A equação x 2 + y 2 = 4 não é linear!

7 A solução de uma equação do tipo: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b ( ) é uma sequência de números (b 1,..., b n ) tal que a equação (*) é verdadeira quando substituimos os x i pelos b i.

8 A solução de uma equação do tipo: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b ( ) é uma sequência de números (b 1,..., b n ) tal que a equação (*) é verdadeira quando substituimos os x i pelos b i. O conjunto-solução é o conjunto de todas as soluções de uma equação.

9 Sistema (de Equações) Lineares Definição: Um sistema linear é um conjunto de m equações lineares com n incógnitas da seguinte forma: S = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m

10 A solução do sistema de equações lineares S é uma sequência de números (b 1,..., b n ) tal que a todas as equações do sistema (S) se tornam verdadeiras quando substituimos os x i pelos b i.

11 A solução do sistema de equações lineares S é uma sequência de números (b 1,..., b n ) tal que a todas as equações do sistema (S) se tornam verdadeiras quando substituimos os x i pelos b i. Exemplo: { 2x + y = 0 x + 2y = 1

12 Todo sistema de equações lineares tem:

13 Todo sistema de equações lineares tem: ou uma única solução

14 Todo sistema de equações lineares tem: ou uma única solução ou infinitas soluções

15 Todo sistema de equações lineares tem: ou uma única solução ou infinitas soluções ou nenhuma solução

16 Todo sistema de equações lineares tem: ou uma única solução ou infinitas soluções ou nenhuma solução Podemos classificar os sistemas quanto a solução: consistente ou inconsistente.

17 Definição: Dois sistemas que possuem o mesmo conjunto-solução são chamados sistemas equivalentes.

18 Definição: Dois sistemas que possuem o mesmo conjunto-solução são chamados sistemas equivalentes. Para encontrar a solução de um sistema é mais conveniente transformá-lo em outro sistema equivalente, que esteja na forma escada ou escalonada, cuja solução pode ser encontrada mais facilmente. Proposição Todo sistema linear S é equivalente à um sistema escalonado.

19 Para transformar um sistema em outro equivalente, podemos usar 3 operações elementares sobre linhas:

20 Para transformar um sistema em outro equivalente, podemos usar 3 operações elementares sobre linhas: 1- Multiplicar uma equação inteira por um número real não nulo.

21 Para transformar um sistema em outro equivalente, podemos usar 3 operações elementares sobre linhas: 1- Multiplicar uma equação inteira por um número real não nulo. 2- Trocar a posição de duas equações.

22 Para transformar um sistema em outro equivalente, podemos usar 3 operações elementares sobre linhas: 1- Multiplicar uma equação inteira por um número real não nulo. 2- Trocar a posição de duas equações. 3- Substituir uma equação por sua soma com um múltiplo de outra.

23 Outra forma de escrever o sistema Dado o sistema :

24 Outra forma de escrever o sistema Dado o sistema : x 1 + 2x 2 3x 3 + x 4 = 1 x 1 2x 2 + 4x 3 x 4 = 6 2x 1 4x 2 + 7x 3 x 4 = 1

25 Outra forma de escrever o sistema Dado o sistema : x 1 + 2x 2 3x 3 + x 4 = 1 x 1 2x 2 + 4x 3 x 4 = 6 2x 1 4x 2 + 7x 3 x 4 = 1 podemos associar uma matriz : que será chamada de matriz de coeficientes do sistema.

26 Matriz aumentada do sistema

27 Matriz aumentada do sistema Qual a solução?

28 Método de Gauss-Jordan Consiste em transformar uma matriz (ou sistema linear) em outra equivalente mas que esteja na forma escalonada reduzida usando as operações elementares.

29 Método de Gauss-Jordan Consiste em transformar uma matriz (ou sistema linear) em outra equivalente mas que esteja na forma escalonada reduzida usando as operações elementares. Uma matriz A m n está na forma escalonada reduzida quando satisfaz as seguintes condições:

30 Método de Gauss-Jordan Consiste em transformar uma matriz (ou sistema linear) em outra equivalente mas que esteja na forma escalonada reduzida usando as operações elementares. Uma matriz A m n está na forma escalonada reduzida quando satisfaz as seguintes condições: (a) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas não nulas;

31 Método de Gauss-Jordan Consiste em transformar uma matriz (ou sistema linear) em outra equivalente mas que esteja na forma escalonada reduzida usando as operações elementares. Uma matriz A m n está na forma escalonada reduzida quando satisfaz as seguintes condições: (a) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas não nulas; (b) O pivô de cada linha não nula é igual a 1;

32 Método de Gauss-Jordan Consiste em transformar uma matriz (ou sistema linear) em outra equivalente mas que esteja na forma escalonada reduzida usando as operações elementares. Uma matriz A m n está na forma escalonada reduzida quando satisfaz as seguintes condições: (a) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas não nulas; (b) O pivô de cada linha não nula é igual a 1; (c) O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha anterior.

33 A matriz abaixo está na forma escalonada reduzida

34 A matriz abaixo está na forma escalonada reduzida enquanto que a matriz está na forma escalonada mas não reduzida.

35 Sistema com mais equações do que incógnitas x 1 + x 2 + x 3 = 2 x 1 x 2 x 3 = 3 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 1 3x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 3

36 Sistema com menos equações do que incógnitas Em geral são compatíveis e indeterminados. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 2 x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 + 2x 5 = 3 x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 2

37 Exemplo: Para que valores de k o sistema { x1 x 2 = 3 2x 1 2x 2 = k i) tem uma solução ii) infinitas soluções iii) nenhuma solução.

38 Método de Eliminação Gaussiana Resolva os sistemas abaixo pela eliminação gaussiana. x 1 + x 2 + 2x 3 = 9 2x i) 1 + 4x 2 3x 3 = 1 4x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 4 3x 1 + 6x 2 5x 3 = 0 ii) Resolva simultaneamente os dois sistemas: s 1 = { x + 2y = 2 3x + 7y = 8 s 2 = { x + 2y = 1 3x + 7y = 7

39 Sistema Linear Homogêneo Um sistema linear homogêneo é sistema em que os termos independentes são todos iguais a zero.

40 Sistema Linear Homogêneo Um sistema linear homogêneo é sistema em que os termos independentes são todos iguais a zero. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0

41 Exemplo Considere o sistema a seguir: 2x 1 x 2 + 4x 3 = 9 x 1 x 2 = 4 x 1 + 4x 2 x 3 = 1 Este sistema pode ser representado por

42 Exemplo Considere o sistema a seguir: 2x 1 x 2 + 4x 3 = 9 x 1 x 2 = 4 x 1 + 4x 2 x 3 = 1 Este sistema pode ser representado por

43 Aplicamos operações elementares até chegar a uma matriz triangular superior: Multiplicando a linha 1 por 1/2 e somando com a linha 3, obtemos

44 Aplicamos operações elementares até chegar a uma matriz triangular superior: Multiplicando a linha 1 por 1/2 e somando com a linha 3, obtemos /2 1 11/2

45 Multiplicando a linha 1 por -1/2 e somando com a linha 2, obtemos /2 2 1/2 0 7/2 1 11/2 e

46 Multiplicando a linha 1 por -1/2 e somando com a linha 2, obtemos /2 2 1/2 0 7/2 1 11/2 e 1 1/2 2 9/ /13

47 Multiplicando a linha 1 por -1/2 e somando com a linha 2, obtemos /2 2 1/2 0 7/2 1 11/2 e 1 1/2 2 9/ /13 calculando E 3+7L2, E 1/2L1, E 2L2, E 1/13L3. Logo x 1 = 73/13, x 2 = 21/13, x 3 = 2/13.

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