Sistemas - Relações entre as colunas da matriz ampliada

Transcrição

1 Sistemas - Relações entre as colunas da matriz ampliada Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial de agosto de / 21

2 Sumário 1 Colunas Básicas da Matriz Aumentada 2 Relação entre colunas 3 Consistência de Sistemas 2 / 21

3 Sumário 1 Colunas Básicas da Matriz Aumentada 2 Relação entre colunas 3 Consistência de Sistemas 3 / 21

4 COLUNAS BÁSICAS DE UMA MATRIZ Considere um sistema cuja matriz aumentada é: [A b] = Uma forma escalonada para tal matriz é: [E b ] = / 21

5 COLUNAS BÁSICAS DE UMA MATRIZ Repare que no processo de Eliminação Gaussiana, tivemos 3 pivots [E b ] = Chamaremos de colunas básicas de [A b] as colunas nas quais estão os pivots, isto é, as colunas 1, 3 e 5: [A b] = Chamamos de posto da Matriz [A b], o número de pivots encontrados em sua forma escalonada [E b ]. Neste caso, posto([a b]) = 3. 5 / 21

6 COLUNAS BÁSICAS DE UMA MATRIZ IMPORTANTE: Seja [A b] a Matriz Aumentada de um sistema S e [E b ] uma forma escalonada. 1 As colunas básicas em [A b] independem da forma escalonada; 2 A quantidade de pivots e suas posições também independem da forma escalonada; 3 posto(a b) = número de colunas básicas de [A b]; 4 posto(a b) = número de linhas não nulas em [E b ]. 6 / 21

7 EXEMPLO Encontre as colunas básicas e o posto da seguinte matriz: Uma forma escalonada: Colunas Básicas: 1, 2, 3, 4 e 6 Posto: 5 7 / 21

8 Sumário 1 Colunas Básicas da Matriz Aumentada 2 Relação entre colunas 3 Consistência de Sistemas 8 / 21

9 RELAÇÃO ENTRE COLUNAS Retomando o sistema [A b] = Vimos que uma forma escalonada para [A b] é: [E b ] = Colunas Básicas: 1,3,5 (A 1, A 3, A 5 ) Colunas não Básicas: 2,4,6 (A 2, A 4, A 6 ) 9 / 21

10 RELAÇÃO ENTRE COLUNAS [E b ] = Na forma escalonada, vemos que Coluna 2 = dobro da coluna 1 (E 2 = 2E 1 ) Coluna 4 = 2 coluna 1 + coluna 3 (E 4 = 2E 1 + E 3 ) Coluna 6 = coluna 1+coluna 3+coluna 5 (E 6 = E 1 + E 3 + E 5 ) 10 / 21

11 RELAÇÃO ENTRE COLUNAS E 2 = 2E 1 E 4 = 2E 1 + E 3 E 6 = E 1 + E 3 + E 5 Na matriz aumentada (inicial) [A b] = Ocorrem as mesmas relações: Coluna não básica 2 = dobro da coluna básica 1 (A 2 = 2A 1 ) Coluna não básica 4 = 2 coluna básica 1 + col. básica 3 (A 4 = 2A 1 + A 3 ) Coluna não básica 6 = col. básica 1+col. básica 3+col. básica 5 (A 6 = A 1 + A 3 + A 5 ) 11 / 21

12 RELAÇÃO ENTRE COLUNAS Teorema Dada uma matriz A cada uma de suas colunas não básicas pode ser escrita como combinação das colunas básicas precedentes. A mesma relação ocorre entre as colunas de qualquer forma escalonada de A. IMPORTANTE: veja que o resultado se aplica a qualquer matriz e não apenas a matrizes aumentadas de sistemas lineares! 12 / 21

13 Exemplo: Encontre a relação entre as colunas da matriz U = E = posto(u) = 4. Colunas básicas: U 1, U 2, U 3, U 5 Colunas não básicas: U 4 = U 1 U 2 + U 3 U 6 = 1 5 U U U 3 U 5 13 / 21

14 Exemplo: Ainda com a Matriz U, aplique o método de Gauss-Jordan e verifique a relação entre as colunas U = / 21

15 Sumário 1 Colunas Básicas da Matriz Aumentada 2 Relação entre colunas 3 Consistência de Sistemas 15 / 21

16 Considere o sistema: x + 2y + z = 1 S 2x + 4y + 2z = 2 3x + 6y + 3z = 4 Sua matriz aumentada é [A b] = e aplicando a Eliminação Gaussiana, obtemos [E b ] = / 21

17 [E b ] = Assim, o sistema S será: x + 2y + z = 1 S 0x + 0y + 0z = 2 0x + 0y + 0z = 0 Observe que a segunda equação é, na verdade, a igualdade 0 = 2. Assim, não há solução para esta equação e consequentemente não há solução para o sistema S. Como S é equivalente a S, segue que S também não tem solução, é inconsistente. Repare que há um pivot na última coluna da forma escalonada / 21

18 Definição (Consistência de um sistema) Seja S um sistema e [A b] sua matriz aumentada. Se [E b ] é uma forma escalonada da matriz aumentada de S, então o sistema é dito consistente quando: não há pivot na última coluna de [E b ] ou, a última coluna de [A b] é não básica ou ainda, posto(e) = posto([e b ]). 18 / 21

19 Exemplos: [E b ] = posto(e b ) = 3 = posto(e) = Sistema Consistente [E b ] = posto(e b ) = 4, posto(e) = 3 = Sistema Inconsistente 2 i [E b ] = posto(e b ) = 6, posto(e) = 5 = Sistema Inconsistente 19 / 21

20 Sistemas Homogêneos Se S é um sistema homogêneo, [A 0] é a sua matriz ampliada e [E 0] é uma de suas formas escalonadas, então posto([a 0]) = posto([e 0]) 20 / 21

21 Variáveis Livres Seja S um sistema com n variáveis e m equações. Se r = posto([a b]), então: Qual o número de colunas básicas de [A b]? r Qual o número de parâmetros na solução do sistema? n r Quais as variáveis serão os parâmetros na solução do sistema? As que correspondem às colunas não básicas. As variáveis correspondentes às colunas não básicas, são chamadas variáveis livres do sistema. A quantidade de variáveis livres n r é chamada grau de liberdade do sistema. 21 / 21