Propriedades da Inversão de Matrizes

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1 Propriedades da Inversão de Matrizes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial de setembro de / 16

2 Sumário 1 Propriedades 2 2 / 16

3 Sumário 1 Propriedades 2 3 / 16

4 Teorema Sejam A e B matrizes não singulares: Provemos (i) (i) (A 1 ) 1 = A (ii) AB é não singular (quando o produto for possível); (iii) (AB) 1 = B 1.A 1 (iv) (A 1 ) T = (A T ) 1 e (A ) 1 = (A 1 ) Seja Y a inversa de A 1. Então A 1 Y = I = A(A 1 Y ) = AI = (AA 1 )Y = A = IY = A = Y = A e portanto A é a inversa de A 1 ou em símbolos: A = (A 1 ) 1. 4 / 16

5 Provemos (ii) e (iii): AB é não singular e que (AB) 1 = B 1.A 1 Devemos mostrar que AB possui inversa ou seja que existe solução para a equação (AB)X = I. (AB)X = I = A 1 (AB)X = A 1 I = BX = A 1 = B 1 (BX ) = B 1 A 1 = X = B 1 A 1 e portanto a inversa de AB é B 1 A 1 ou equivalentemente (AB) 1 = B 1 A 1 5 / 16

6 Provemos (iv): (A 1 ) T = (A T ) 1 Encontremos a inversa de A T isto é vamos resolver a equação A T X = I : A T X = I = (A T X ) T = I T = X T.(A T ) T = I = X T.A = I = X T = A 1 = (X T ) T = (A 1 ) T = X = (A 1 ) T ou seja a inversa de A T é a matriz (A 1 ) T. Em símbolos: (A T ) 1 = (A 1 ) T 6 / 16

7 Corolário Sejam A n n e B n n duas matrizes de posto n. Então AB tem posto n. Prova: Se A tem ordem n n e tem posto n então A é não singular. O mesmo acontece para B. Pelo Teorema anterior AB é não singular. Já pelo Teorema de caracterização posto(ab) = n uma vez que a ordem de AB é n n. 7 / 16

8 Exemplo Seja A uma matriz diagonal de ordem n n. Quais as condições para que exista A 1? Qual a forma geral da inversa de A 1? Solução... Se A = [a ij ] n n então a ii 0 isto é os elementos da diagonal principal devem ser todos não nulos. Aplicando Gauss-Jordan a [A I ] obteremos [I A 1 ] onde a diagonal principal de A 1 é da forma 1 a ii. 8 / 16

9 Exemplo Se A é não singular e simétrica mostre que A 1 é simétrica. Solução Devemos mostrar que (A 1 ) T = A 1 Vimos que (A 1 ) T = (A T ) 1 Sendo A simétrica A T = A Logo (A 1 ) T = (A T ) 1 = A 1 9 / 16

10 Exemplo Se A B e A + B são não singulares mostre que A(A + B) 1 B = B(A + B) 1 A = (A 1 + B 1 ) 1 Solução Queremos mostrar que A(A + B) 1 B = (A 1 + B 1 ) 1 B(A + B) 1 A = (A 1 + B 1 ) 1 Mostremos que [A(A + B) 1 B] 1 = A 1 + B 1 [B(A + B) 1 A] 1 = A 1 + B 1 10 / 16

11 Exemplo A(A + B) 1 B = (A 1 + B 1 ) 1 [A(A + B) 1 B] 1 = B 1.[A(A + B) 1 ] 1 = B 1.[(A + B) 1 ] 1.A 1 = B 1.(A + B).A 1 = (B 1.A + B 1.B).A 1 = (B 1.A + I ).A 1 = (B 1.A).A 1 + I.A 1 = B 1.(A.A 1 ) + A 1 = B 1.I + A 1 = B 1 + A 1 = A 1 + B 1 11 / 16

12 Sumário 1 Propriedades 2 12 / 16

13 Inicialmente vamos associar a cada letra do alfabeto um número inteiro: A B C Z Assim por exemplo a frase ÁLGEBRA MATRICIAL é codificada da seguinte forma: Onde o zero denota um espaço. Para enviar a mensagem precisamos de uma chave que é uma matriz quadrada não singular de uma ordem qualquer n n. Além disso a mensagem (frase) será dividida em blocos de n letras formando matrizes de ordem n / 16

14 Por exemplo tomemos a chave A = [ 2 ] Para a mensagem Como a chave é de ordem 2 2 precisamos quebrar a mensagem em blocos 2 1 isto é: [ ] 1 12 [ ] [ ] [ ] 1 0 [ ] 13 1 [ ] [ ] 9 3 [ ] 9 1 [ ] 12 0 Agora para codificar a frase fazemos os produtos A.F i onde os F i s são os blocos acima. [ ] [ ] 19 3 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 21 3 [ ] [ ] / 16

15 Por fim enviamos ao receptor a frase codificada e a chave: [ ] [ ] 19 3 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 21 3 [ ] [ ] O que o receptor deve fazer para decodificar a frase? Que mecanismos podem melhorar a segurança da codificação/decodificação da mensagem? [ 2 ] / 16

16 Exercício 1. Crie uma frase contendo de 3 a 5 palavras; 2. Atribua valores numéricos à frase conforme o quadro A B C Z Crie uma chave de ordem Codifique a mensagem 5. Escreva em uma folha de papel apenas a mensagem condificada e a chave. Identifique-se usando um pseudônimo. Por exemplo Terror do Mucambo. 6. Entregue ao professor; este redistribuirá na turma as mensagens para que os demais colegas decodifiquem. 16 / 16