Bacharelado em Ciência da Computação Matemática Discreta

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1 Bacharelado em Ciência da Computação Matemática Discreta Prof. Diego Mello da Silva Instituto Federal de Minas Gerais - Campus Formiga 19 de fevereiro de 2013 diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

2 Sumário 1 Relações 2 Propriedades de Relações 3 Fecho de uma Relação 4 Relações de Equivalência 5 Ordenação Parcial 6 Atividades Sugeridas diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

3 Relações (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

4 Relações Definição (Relação Binária em um Conjunto) Uma relação binária no conjunto A é um subconjunto de A A Definição (Relação Binária em Conjuntos Diferentes) Sejam A e B conjuntos. Uma relação de A em B é um subconjunto de A B. Uma relação binária de A em B é um subconjunto R de pares ordenados primeiro elemento do par vem de A segundo elemento do par vem de B Usamos arb para indicar (a, b) R e a Rb para indicar (a, b) R Formalmente, xry (x, y) R Quando (a, b) R, então a está relacionado a b por R diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

5 Relações Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {a, b} R = {(0, a),(0, b),(1, a),(2, b)} é uma relação de A para B 0Ra 0Rb 1Ra 1 Rb 2 Ra 2Rb Representação Gráfica e Tabular 0 a 1 2 b R a b diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

6 Relações Seja A o conjunto {1, 2, 3, 4}. Quais pares ordenados estão na relação R = {(a, b) a divide b}? R = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 2),(2, 4),(3, 3),(4, 4)} Representação Gráfica e Tabular R diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

7 Exercícios 1 Considere as seguintes relações no conjunto dos inteiros: R 1 = {(a, b) a b} R 2 = {(a, b) a > b} R 3 = {(a, b) a = b ou a = b} R 4 = {(a, b) a = b} R 5 = {(a, b) a = b + 1} R 6 = {(a, b) a+b 3} Quais relações contêm cada um dos pares(1, 1),(1, 2),(2, 1),(1, 1) e (2, 2)? 2 Para cada uma das relações binárias R definidas a seguir em N, decida quais entre os pares ordenados dados pertencem à R: (a) xry = {(x, y) x = y + 1}. Pares (2, 2),(2, 3),(3, 3),(3, 2). (b) xry = {(x, y) x divide y }. Pares (2, 4),(2, 5),(2, 6). (c) xry = {(x, y) x é ímpar }. Pares (2, 3),(3, 4),(4, 5),(5, 6). (d) xry = {(x, y) x > y 2 }. Pares(1, 2),(2, 1),(5, 2),(6, 4),(4, 3). diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

8 Tipos de Relação Uma relação xry pode ser classificada em: um pra um: componentes x e y aparecem apenas uma vez em R um para muitos: componente x aparece em mais de um par muitos para um: componente y aparece em mais de um par muitos para muitos: componente x e y aparecem em mais de um par diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

9 Quantidade de Relações em um Conjunto Quantas relações existem em um conjunto A com n elementos? Quantos elementos tem o produto cartesiano A A? A A = A A = A 2 = n 2 Um conjunto qualquer com m elementos possui 2 m subconjuntos Uma relação R em A é um subconjunto de A A Logo, existe uma relação em A A para cada subconjunto de A A Como A A possui n 2 elementos, existem 2 (n2) relações em A A. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

10 Exercícios 1 Represente cada uma das relações em S = {2, 5, 7, 9} dadas a seguir por tabela e gráficos. (a) R = {(5, 2),(7, 5),(9, 2)} (b) R = {(2, 5),(5, 7),(7, 2)} (c) R = {(7, 9),(2, 5),(9, 9),(2, 7)} 2 Sobre as relações do exercício anterior, identifique quais são do tipo um para um, um para muitos, muitos para um ou muitos para muitos. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

11 Propriedades de Relações (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

12 Relação Reflexiva Definição (Relação Reflexiva) A relação R em um conjunto A é chamada de reflexiva se (x, x) R para todo elemento x A. Formalmente, x A ( (x, x) R ) Todo x está relacionado a sí mesmo Sejam as relações sobre o conjunto A = {1, 2, 3, 4} R 1 = {(1, 1),(1, 2),(2, 1),(2, 2),(3, 4)(4, 1),(4, 4)} R 2 = {(1, 1),(1, 2),(2, 1)} R 3 = {(1, 1),(1, 2),(1, 4),(2, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 1),(4, 4)} R 4 = {(2, 1),(3, 1),(3, 2),(4, 1),(4, 2),(4, 3)} R 5 = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 2),(2, 3),(2, 4),(3, 3),(3, 4),(4, 4)} R 6 = {(3, 4)} Quais relações são reflexivas? diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

13 Relação Reflexiva Definição (Relação Reflexiva) A relação R em um conjunto A é chamada de reflexiva se (x, x) R para todo elemento x A. Formalmente, x A ( (x, x) R ) Todo x está relacionado a sí mesmo Sejam as relações sobre o conjunto A = {1, 2, 3, 4} R 1 = {(1, 1),(1, 2),(2, 1),(2, 2),(3, 4)(4, 1),(4, 4)} R 2 = {(1, 1),(1, 2),(2, 1)} R 3 = { (1,1),(1, 2),(1, 4),(2, 1), (2,2), (3,3),(4, 1), (4,4) } R 4 = {(2, 1),(3, 1),(3, 2),(4, 1),(4, 2),(4, 3)} R 5 = { (1,1),(1, 2),(1, 3),(1, 4), (2,2),(2, 3),(2, 4), (3,3),(3, 4), (4,4) } R 6 = {(3, 4)} Quais relações são reflexivas? Resp: R 3 e R 5. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

14 Relação Simétrica Definição (Relação Simétrica) Uma relação R em um conjunto A é chamada de simétrica se (y, x) R sempre que (x, y) R. Formalmente, x y ( (x, y) R (y, x) R ). Se x está relacionado a y, então y está relacionado a x. Sejam as relações sobre o conjunto A = {1, 2, 3, 4} R 1 = {(1, 1),(1, 2),(2, 1),(2, 2),(3, 4)(4, 1),(4, 4)} R 2 = {(1, 1),(1, 2),(2, 1)} R 3 = {(1, 1),(1, 2),(1, 4),(2, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 1),(4, 4)} R 4 = {(2, 1),(3, 1),(3, 2),(4, 1),(4, 2),(4, 3)} R 5 = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 2),(2, 3),(2, 4),(3, 3),(3, 4),(4, 4)} R 6 = {(3, 4)} Quais relações são simétricas? diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

15 Relação Simétrica Definição (Relação Simétrica) Uma relação R em um conjunto A é chamada de simétrica se (y, x) R sempre que (x, y) R. Formalmente, x y ( (x, y) R (y, x) R ). Se x está relacionado a y, então y está relacionado a x. Sejam as relações sobre o conjunto A = {1, 2, 3, 4} R 1 = {(1, 1),(1, 2),(2, 1),(2, 2),(3, 4)(4, 1),(4, 4)} R 2 = { (1,1), (1,2), (2,1) } R 3 = { (1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4) } R 4 = {(2, 1),(3, 1),(3, 2),(4, 1),(4, 2),(4, 3)} R 5 = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 2),(2, 3),(2, 4),(3, 3),(3, 4),(4, 4)} R 6 = {(3, 4)} Quais relações são simétricas? Resp: R 2 e R 3. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

16 Relação Anti-Simétrica Definição (Relação Anti-Simétrica) Uma relação R em um conjunto A é chamada anti-simétrica se, para quaisquer x, y A, se (x, y) R e (y, x) R, então x = y. Formalmente, x y ( (x, y) R (y, x) R (x = y) ) Se x está relacionado a y e y está relacionado a x, então x = y. Sejam as relações sobre o conjunto A = {1, 2, 3, 4} R 1 = {(1, 1),(1, 2),(2, 1),(2, 2),(3, 4)(4, 1),(4, 4)} R 2 = {(1, 1),(1, 2),(2, 1)} R 3 = {(1, 1),(1, 2),(1, 4),(2, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 1),(4, 4)} R 4 = {(2, 1),(3, 1),(3, 2),(4, 1),(4, 2),(4, 3)} R 5 = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 2),(2, 3),(2, 4),(3, 3),(3, 4),(4, 4)} R 6 = {(3, 4)} Quais relações são anti-simétricas? diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

17 Relação Anti-Simétrica Definição (Relação Anti-Simétrica) Uma relação R em um conjunto A é chamada anti-simétrica se, para quaisquer x, y A, se (x, y) R e (y, x) R, então x = y. Formalmente, x y ( (x, y) R (y, x) R (x = y) ) Se x está relacionado a y e y está relacionado a x, então x = y. Sejam as relações sobre o conjunto A = {1, 2, 3, 4} R 1 = { (1,1), (1,2), (2,1), (2,2),(3, 4)(4, 1), (4,4) } R 2 = { (1,1), (1,2), (2,1) } R 3 = { (1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4) } R 4 = {(2, 1),(3, 1),(3, 2),(4, 1),(4, 2),(4, 3)} R 5 = { (1,1),(1, 2),(1, 3),(1, 4), (2,2),(2, 3),(2, 4), (3,3),(3, 4), (4,4) } R 6 = {(3, 4)} Quais relações são anti-simétricas? Resp: R 4, R 5 e R 6. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

18 Relação Transitiva Definição (Relação Transitiva) Uma relação R em um conjunto A é chamada transitiva se, sempre que (x, y) R e (y, z) R, então (x, z) R, x, y, z A. ( ((x, ) ) Formalmente, x y z y) R (y, z) R (x, z) R). Se x está relacionado a y, e y está relacionado a z, então x está relacionado a z. Sejam as relações sobre o conjunto A = {1, 2, 3, 4} R 1 = {(1, 1),(1, 2),(2, 1),(2, 2),(3, 4)(4, 1),(4, 4)} R 2 = {(1, 1),(1, 2),(2, 1)} R 3 = {(1, 1),(1, 2),(1, 4),(2, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 1),(4, 4)} R 4 = {(2, 1),(3, 1),(3, 2),(4, 1),(4, 2),(4, 3)} R 5 = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 2),(2, 3),(2, 4),(3, 3),(3, 4),(4, 4)} R 6 = {(3, 4)} Quais relações são transitivas? diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

19 Relação Transitiva Definição (Relação Transitiva) Uma relação R em um conjunto A é chamada transitiva se, sempre que (x, y) R e (y, z) R, então (x, z) R, x, y, z A. ( ((x, ) ) Formalmente, x y z y) R (y, z) R (x, z) R). Se x está relacionado a y, e y está relacionado a z, então x está relacionado a z. Sejam as relações sobre o conjunto A = {1, 2, 3, 4} R 1 = {(1, 1),(1, 2),(2, 1),(2, 2),(3, 4)(4, 1),(4, 4)} R 2 = {(1, 1),(1, 2),(2, 1)} R 3 = {(1, 1),(1, 2),(1, 4),(2, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 1),(4, 4)} R 4 = {(2, 1),(3, 1),(3, 2),(4, 1),(4, 2),(4, 3)} R 5 = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 2),(2, 3),(2, 4),(3, 3),(3, 4),(4, 4)} R 6 = {(3, 4)} Quais relações são transitivas? Resp: R 4, R 5 e R 6. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

20 Resumo: Propriedades das Relações Propriedade Lógica Linguagem Natural Reflexiva x A ( (x, x) R ) Todo x está relacionado a sí mesmo Simétrica x y ( (x, y) R (y, x) R ) Se x está relacionado a y, então y está relacionado a x Anti- Simétrica Transitiva x y ( (x, y) R (y, x) R (x = y) ) x y z( ((x, y) R (y, z) R (x, z) R) )) Se x está relacionado a y e y está relacionado a x, então x = y Se x está relacionado a y, e y está relacionado a z, então x está relacionado a z diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

21 Propriedades das Relações Considere as relações no conjuntos Z: R 1 = {(a, b) a b} Reflexiva: a, a a. Simétrica: a b e b a apenas quando a = b. Anti-Simétrica: a b e b a apenas quando a = b. Transitiva: a b e b c implica que a c. R 2 = {(a, b) a > b} Reflexiva: a Ra pois a a. Simétrica: a > b e b > a não ocorrem. Anti-Simétrica: a > b e b > a são situações impossíveis. Transitiva: a > b e b > c implica que a > c. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

22 Propriedades das Relações Considere as relações no conjuntos Z: R 3 = {(a, b) a = b ou a = b} Reflexiva: a, a = ±a. Simétrica: a = ±b, e b = ±a. Anti-Simétrica: 2 = ± 2 e 2 = ±2, mas 2 2. Transitiva: a = ±b e b = ±c implica que a = ±c. R 4 = {(a, b) a = b} Reflexiva: a, a = a. Simétrica: a = b e b = a ocorre sempre. Anti-Simétrica: a = b e b = a implica que a = b. Transitiva: a = b e b = c implica que a = c. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

23 Propriedades das Relações Considere as relações no conjuntos Z: R 5 = {(a, b) a = b + 1} Reflexiva: a a+1. Simétrica: a = b + 1 e b a+1 não ocorrem. Anti-Simétrica: impossível a = b + 1 e b = a+1. Transitiva: 2R1, pois 2 = 1+1; 1R0, pois 1 = 0+1; porém 2 R0 pois R 6 = {(a, b) a+b 3} Reflexiva: a Z, a+a 3. Simétrica: a+b 3 implica que b + a 3. Anti-Simétrica: a+b 3 e b + a 3 ocorrem quando a b. Transitiva: 2R1, pois 2+1 3; 1R2, pois 1+3 3; porém 2 R2, já que diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

24 Exercícios 1 Seja o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5}. Determine se, para cada uma das relações abaixo, elas são reflexivas, transitivas, simétricas e anti-simétricas. (a) R = {(1, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 4),(5, 5)} (b) R = {(1, 2),(2, 3),(3, 4),(4, 5)} (c) R = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4),(1, 5)} (d) R = {(1, 1),(1, 2),(2, 1),(3, 4),(4, 3)} (e) R = {1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 3, 4, 5} 2 Determine se a relação R no conjunto de todos os números reais é reflexiva, simétrica, anti-simétrica e/ou transitiva, em que (x, y) R se e somente se: (a) x + y = 0 (b) x = 2y (c) xy 0 (c) xy = 0 diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

25 Representando Relações Usando Matrizes São apropriadas para representar relações em programas computacionais. Matriz zero-um M R = [m ij ] representa cada par (i, j) R, onde { 0 se (ai, b M ij = j ) R; 1 se (a i, b j ) R. A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}. Seja R = {(a, b) a A, b B e a > b} Logo, R = {(2, 1),(3, 1),(3, 2)} Representação matricial de R: R = diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

26 Representando Relações Usando Dígrafos Definição (Dígrafo) Um grafo direcionado ou dígrafo consiste em um conjunto V de vértices e um conjunto E de pares ordenados de elementos de V (arestas) Uma relação R sobre um conjunto A é ilustrada por um dígrafo quando Cada elemento de A é representado por um vértice do dígrafo Cada par ordenado de R é representado por uma aresta direcionada Ex: A = {a, b, c, d} e R = {(a, b),(a, d),(b, b),(b, d),(c, a),(c, b),(d, b)}. a b d c diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

27 Exercícios 1 Suponha uma relação R representada pela seguinte matriz: R = Responda se R é (i) reflexiva, (ii) simétrica, (iii) anti-simétrica e/ou (iv) transitiva. 2 Liste os pares ordenados da relação sobre o conjunto A = {1, 2, 3, 4} descritos na matriz: (a) (b) (c) R = R = R = Represente as relações dos itens (a), (b) e (c) do exercício anterior por meio de dígrafos. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

28 Fecho de uma Relação (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

29 Fecho de uma Relação Assuma que R é uma relação binária sobre um conjunto A Assuma que R não possui uma dada propriedade P Podemos estender R para obter uma nova relação R que contenha P R conterá os pares de R: R R R conterá pares adicionais Tais pares adicionais fazem com que a propriedade P seja válida R é o menor conjunto com tal propriedade Se existir uma relação S que contém R e possui P, então R S Denominamos a relação R de fecho de R diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

30 Fechos de uma Relação Definição (Fecho de uma Relação) Seja A um conjunto, R uma relação binária em A e P uma propriedade. O fecho de R é uma relação binária R em A que possui a propriedade P e satisfaz: 1. R tem a propriedade P 2. R R 3. Se S é uma relação qualquer que contém R e satisfaz P, então R S Fechos: Fecho Reflexivo Fecho Simétrico Fecho Transitivo Se uma relação R já possui a propriedade em questão, então ela é o seu próprio fecho em relação à esta propriedade. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

31 Fecho Reflexivo Definição (Fecho Reflexivo) O fecho reflexivo R de uma relação binária R em A é R = R {(x, x) x A} Seja A = {1, 2, 3} e R = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(3, 1),(2, 3)} R não possui a propriedade reflexiva Fecho Reflexivo: R = R {(x, x) x A} R = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(3, 1), (2,2),(2, 3), (3,3) } R é uma relação reflexiva e R R. Não existe nenhuma relação reflexiva menor que contenha R. Se S é outra relação reflexiva que contém R, então R R e R S. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

32 Fecho Simétrico Definição (Fecho Simétrico) O fecho simétrico R de uma relação binária R em A é R = R {(y, x) (x, y) R} Seja A = {1, 2, 3} e R = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(3, 1),(2, 3)} R não possui a propriedade simétrica Fecho Simétrico: R = R {(y, x) (x, y) R (y, x) R} R = {(1, 1),(1, 2), (2,1),(1, 3),(3, 1),(2, 3), (3,2) } R é uma relação simétrica e R R. Não existe nenhuma relação simétrica menor que contenha R. Se S é outra relação simétrica que contém R, então R R e R S. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

33 Fecho Transitivo Para encontrar os fechos reflexivo e simétrico, foi necessário apenas 1 passo. Inspecionamos os pares ordenados (a, b) tal que arb Descobrimos quais pares ordenados precisam ser adicionados à R No entanto, o fecho transitivo pode exigir uma série de passos. Procedimento ad hoc para calcular o fecho transitivo Algoritmo 1 CalculaFechoTransitivo(R) 1: R R 2: while (R não for uma relação transitiva) do 3: Inspecionar os pares ordenados de R 4: Adicionar novos pares em R se necessário 5: end while 6: return R diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

34 Fecho Transitivo Definição (Fecho Transitivo) O fecho transitivo R de uma relação binária R em A é uma relação binária que satisfaz: 1. R é transitiva 2. R R 3. Se S é outra relação transitiva que contém R, R S. Seja A = {1, 2, 3} e R = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(3, 1),(2, 3)} R não possui a propriedade transitiva Aplicando passos sucessivos para encontrar o Fecho Transitivo R : 1) R = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(3, 1),(2, 3), (3,2), (3,3), (2,1) } 2) R = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(3, 1),(2, 3),(3, 2),(3, 3),(2, 1), (2,2) } R é uma relação transitiva e R R. Não existe nenhuma relação transitiva menor que contenha R. Se S é outra relação transitiva que contém R, então R R e R S. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

35 Exercícios 1 Desenhe o dígrafo do (i) fecho reflexivo e (ii) fecho simétrico das relações apresentadas nos dígrafos a seguir: (a) (b) (c) a b a b a b c d c c d diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

36 Relações de Equivalência (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

37 Relações de Equivalência Definição (Relações de Equivalência) Uma relação binária em um conjunto A que é reflexiva, simétrica e transitiva é chamada de relação de equivalência em A. Exemplos de relações de equivalência: R = {(x, y) x = y}, sobre qualquer conjunto S R = {(x, y) x + y é par }, sobre o conjunto N R = {(x, y) x é paralela ou coincide com y}, sobre o conjunto de todas as retas no plano R = {(x, y) x senta na mesma fileira de y }, sobre {x x é aluno da turma }. R = {(1, 1),(2, 2),(3, 3),(1, 2),(2, 1)} sobre A = {1, 2, 3}. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

38 Relações de Equivalência Exemplo 1: Seja R uma relação sobre o conjuntos dos números reais tal que arb se e somente se a b Z. Pergunta-se: R é uma relação de equivalência? Reflexiva: Suponha ara. Logo, a a = 0, a R. Como 0 é um inteiro, então ara e R é uma relação reflexiva. Simétrica: Suponha que arb. Logo, a b = k, onde k é um inteiro. a b = k a = k + b b = a k b a = k b a resulta em um inteiro k. Portanto, bra e R é simétrica. Transitiva: Suponha arb e brc. Logo,(a b) Z e (b c) Z a c = (a b)+(b c). (a c) R Portanto, arc e R é uma relação transitiva. Conclusão: R é uma relação de equivalência. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

39 Relações de Equivalência Exemplo 2: Seja R uma relação sobre strings de letras do alfabeto Latino tal que arb se e somente se l(a) = l(b), onde l(x) é o comprimento (em caracteres) da string x. Pergunta-se: R é uma relação de equivalência? Reflexiva: l(a) = l(a). Então ara e R é uma relação reflexiva. Simétrica: Se arb, então l(a) = l(b). Porém, l(b) = l(a). Portanto, bra e R é uma relação simétrica. Transitiva: Se arb e brc, então l(a) = l(b) e l(b) = l(c). Portanto l(a) = l(c). arc e R é uma relação transitiva. Conclusão: R é uma relação de equivalência. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

40 Relações de Equivalência Exemplo 3: Seja R a relação x divide y no conjunto dos números inteiros. Pergunta-se: R é uma relação de equivalência? Reflexiva: a Z, a a, pois a /a = 1 Z Simétrica: a b Z, mas b a Z. Exemplo: 2 4, porém 4 2. Transitiva: se a b, então b é um múltiplo de a se b c, então c é um múltiplo de b Logo, c também é um múltiplo de a. Conclusão: R não é uma relação de equivalência. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

41 Partições de um Conjunto Definição (Partições de um Conjunto) Uma partição de um conjunto A é uma coleção de subconjuntos disjuntos não vazios cuja união é igual a A. Toda relação de equivalência R sobre A divide A em uma partição Exemplo: S = {x x é um aluno da classe } R = {(x, y) x senta-se na mesma fileira que y } S é dividido em subconjuntos tal que cada aluno pertence à um destes Tais subconjuntos são disjuntos. A união destes subconjuntos forma S fileira 2 fileira 1 fileira 3 fileira 4 fileira 5 diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

42 Classes de Equivalência e Partições Definição (Classes de Equivalência) Seja R uma relação de equivalência sobre um conjunto A. O conjunto de todos os elementos que estão relacionados com um dado elemento x A é denominado de classe de equivalência de x. Denotamos a classe de equivalência de x por [x] [x] é o conjunto de todos os elementos relacionados a x em A. Formalmente, [x] = {y y A (x, y) R} Se y [x], então y é denominado um representante dessa classe de equivalência. Se y [x] e z [x], [x] = [y] = [z] diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

43 Classes de Equivalência e Partições Seja a relação de equivalência R = {(x, y) x senta-se na mesma fileira que y } Suponha que João, Carlinhos, José, Maria e Ana sentam-se na mesma fileira Então, [João] = [Maria] = [Carlinhos] = [Ana] [João] [Ana] Estas não são classes distintas, mas sim a mesma classe de equivalência Uma classe de equivalência pode usar o nome de qquer de seus elementos diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

44 Classes de Equivalência e Partições Seja a relação de equivalência R = {(x, y) x + y é par } sobre N Essa relação particiona N em duas classes de equivalência: Se x é par, para todo y par temos x + y par Se x é ímpar, para todo y ímpar temos x + y par Todos os números pares formam uma classe de equivalência. Todos os números ímpares formam outra classe de equivalência. Neste exemplo, [2] = [8] = [600]; [1] = [7] = [1013]. Pares Impares diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

45 Exercícios 1 Para cada uma das relações de equivalência a seguir, descreva as classes de equivalência correspondentes: (a) No conjunto de todas as retas no plano, xry x é paralela a y ou x coincide com y (b) No conjunto N, xry x = y (c) Em {1, 2, 3}, R = {(1, 1),(2, 2),(3, 3),(1, 2),(2, 1)} 2 Para a relação de equivalência R = {(a, a),(b, b),(c, c),(a, c),(c, a)}, qual é o conjunto[a]? Este conjunto tem outro nome? 3 Para a relação de equivalência R = {(1, 1),(2, 2),(1, 2),(2, 1),(1, 3),(3, 1),(3, 2),(2, 3),(3, 3), (4, 4),(5, 5),(4, 5),(5, 4)}, qual é o conjunto[3]? E o conjunto [4]? diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

46 Congruência Módulo m Definição (Congruência Módulo m) Se x e y são inteiros e m > 1 é um inteiro positivo, x y (mod m) se x y é um múltiplo inteiro de m Exemplo: 27 e 2 são congruentes módulo 5, pois 27 2 (mod 5) Exemplos: 10 2 (mod 4), pois 4 divide (mod 5), pois 5 divide (mod 12), pois 12 divide 38-2 Exemplo: Relógio de Ponteiros 15 3 (mod 12) 19 7 (mod 12) (mod 12) 5 5 (mod 12) (mod 12) diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

47 Congruência Módulo m Mostre que a relação R = {(x, y) x y (mod m)} é uma relação de equivalência em Z x y (mod m) se e somente se m > 1 divide x y Reflexiva: como x x = 0 e m divide 0, x x (mod m) Simétrica: Suponha x y (mod m). Logo, x y é divisível por m x y = km, k Z x y = km x = km+y km = y x y x = km, k Z Se y x é divisível por m, então y x (mod m). Transitiva: Suponha que x y (mod m) e y z (mod m). Então m divide (x y) e (y z), ou seja, x y = k 1 m e y z = k 2 m x y + y z = k 1 m+k 2 m x z = m(k 1 + k 2 ) x z (mod m) diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

48 Exercícios 1 Seja R a relação de congruência módulo m sobre o conjunto Z. Quantos subconjuntos a partição de Z cria quando m é igual a: (a) 2 (b) 3 (c) 5 diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

49 Ordenação Parcial (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

50 Ordenação Parcial Definição (Ordenação Parcial) Uma relação binária R sobre um conjunto S que seja reflexiva, anti-simétrica e transitiva é chamada de ordenação parcial em S. Exemplos: Em N, xry x y Em P(N) ARB A B Em N, xry x divide y Em {0, 1}, xry x = y 2 Se R é uma ordenação parcial em S, então o par (S, R) é chamado de conjunto parcialmente ordenado ou poset. Os membros de S são denominados de elementos do poset diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

51 Ordenação Parcial Exemplo 1: Mostre que a relação maior ou igual a é uma ordenação parcial sobre o conjunto dos inteiros a Z, a a: reflexiva se existe a b e b a, então a = b: anti-simétrica se a b e b c, então a c: transitiva Logo, é uma ordenação parcial sobre Z e (Z, ) é um poset. Exemplo 2: Mostre que a relação x divide y é uma ordenação parcial no conjunto dos inteiros positivos. a Z +, a a: reflexiva. se a b e b a, então a = b: anti-simétrica. se a b e b c, então a c: transitiva. Logo, é uma ordenação parcial sobre Z + e (Z +, ) é um poset. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

52 Ordenação Parcial Em diferentes posets, diferentes símbolos são usados para denotar uma ordenação parcial. Ex:, para a relação é menor ou igual a, para a relação é subconjunto de, para a relação divide Para um poset arbitrário (S, R), o símbolo denota que (x, y) R. O símbolo denota a relação R em qualquer poset. Possíveis significados: menor ou igual a é subconjunto de divide outras ordenações parciais diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

53 Elementos Comparáveis e Incomparáveis Definição (Elementos Comparáveis) Os elementos x e y de um poset (S, ) são chamados comparáveis se x y ou y x Exemplo: No poset (N, ), os inteiros 3 e 9 são comparáveis? E 5 e 7? 3 divide 9, logo 3 e 9 são comparáveis 5 não divide 7 7 não divide 5. Logo, 5 e 7 são incomparáveis O adjetivo parcial é usado para denotar a ordenação porque alguns pares de elementos podem ser incomparáveis. Se cada dois elementos do conjunto forem comparáveis, então a relação é chamada de ordenação total Quando x, y S mas nem x y nem y x, então x e y são incomparáveis diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

54 Predecessores e Sucessores Seja (S, ) um poset. Se x y, então x = y ou x ± y Se x y e x ± y, então Escrevemos x < y Chamamos x de predecessor de y Chamamos y de sucessor de x Se x < y tal que não existe x < z < y, então x é predecessor imediato de y Exemplo: Seja S = {1, 2, 3, 6, 12, 18} e R a relação x divide y (a) Escreva os pares ordenados (x, y) desta relação (b) Escreva os predecessores de 6 (c) Escreva os predecessores imediatos de 6 diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

55 Diagrama de Hasse Se S é finito, o conjunto parcialmente ordenado (S, ) pode ser representado por um grafo denominado diagrama de Hasse Cada elemento de S é um nó do grafo Se x é predecessor imediato de y, então y é desenhado acima de x Se x é predecessor imediato de y, então x e y são ligados por arco Algoritmo 2 ConstroiDiagramaHasse(R) 1: Desenhe o dígrafo G da relação R 2: G G 3: Elimine de G todos os laços 4: Elimine de G todos os arcos que existem devido à transitividade 5: Rearranje cada arco (i, j) de G tal que o nó i esteja abaixo do nó j 6: Elimine a direção dos arcos de G 7: return G Nota: Podemos reconstruir o conjunto de pares ordenados da ordenação parcial a partir do diagrama de Hasse. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

56 Diagrama de Hasse Exemplo: Seja o conjunto parcialmente ordenado (P({1, 2}), ). Dê o diagrama de Hasse deste poset. Os elementos de P({1, 2}) = {,{1},{2},{1, 2}}. Pares ordenados da relação: (, ), ({1},{1}), ({2},{2}), ({1, 2},{1, 2}), (,{1}), (,{2}), (,{1, 2}), ({1},{1, 2}), ({2},{1, 2}). {1, 2} {1, 2} {1} {2} {1} {2} Dígrafo da relação R Diagrama de Hasse diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

57 Diagrama de Hasse Exemplo: Desenhe o diagrama de Hasse que representa a ordenação parcial {(a, b) a divide b} sobre o conjunto {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12} Dígrafo da relação R Diagrama de Hasse diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

58 Elementos Minimal e Maximal no poset (S, ) Elemento Minimal x é minimal se não houver y S tal que y x (i.e., predecessores) x não é maior do que nenhum outro elemento do poset está na parte de baixo do diagrama de Hasse Elemento Maximal: x é maximal se não houver y S tal que x y (i.e., sucessores) x não é menor do que nenhum outro elemento do poset está na parte de cima do diagrama de Hasse Exemplo: Quais os minimais e maximais do poset ({2, 4, 5, 10, 12, 20, 25}, )? Minimais: 2 e Maximais: 12, 20 e 25 diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

59 Elementos Mínimo e Máximo no poset (S, ) Elemento Mínimo (Menor) Ocorre quando há um elemento no poset que é menor que todos os demais Quando ocorre, é único x é o elemento mínimo do poset (S, ) se x y, y S Elemento Máximo (Maior) Ocorre quando há um elemento no poset que é maior que todos os demais Quando ocorre, é único x é o elemento máximo do poset (S, ) se y x, y S Exemplos: d c e d e d d b c c b c a a b a b a diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

60 Exercícios 1 Liste os pares ordenados nas ordenações parciais cujos diagramas de Hasse são dados abaixo. c d e d b b c a (a) a (b) 2 Identifique os elementos maximais, minimais, mínimo e máximo dos diagramas de Hasse apresentados no exercício anterior. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

61 Ordenação Topológica e Diagramas PERT Exemplo: problema de agendamento de tarefas: contrução de cadeira de balanço x y (tarefa x = tarefa y) ou (tarefa x é pré-requisito para tarefa y) Atividade Req. Hrs 01) Seleção da madeira N/A 3 02) Entalhamento dos arcos ) Entalhamento do acento ) Entalhamento do encosto ) Entalhamento dos braços ) Escolha do tecido N/A 1 07) Costura da almofada ) Montagem: acento e encosto 3;4 2 09) Fixação dos braços 5;8 2 10) Fixação dos arcos 2;8 3 11) Verniz 9; ) Instalação almofada 7; Elementos mais à esquerda são minimais; mais à direita são maximais diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

62 Ordenação Topológica e Diagramas PERT O somatório dos tempos das atividades dá um limite superior do tempo de duração do projeto Não leva em conta que tarefas podem ser executadas em paralelo Tempo mínimo para realizar o projeto Caminha-se no diagrama, da esquerda para a direita; Calcula-se o tempo mínimo para realizar o trabalho, do início do projeto até o término da tarefa Todos os pré-requisitos de uma tarefa x devem ser concluídos antes de iniciar x Adiciona-se à tarefa x o maior tempo de realização dentre os seus pré-requisitos Caminho crítico do projeto: menor tempo para realizar o projeto por inteiro. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

63 Ordenação Topológica e Diagramas PERT 1(3hr) 6(1hr) 2(4hr) 3(6hr) 4(7hr) 5(3hr) 7(2hr) 8(2hr) 10(3hr) 9(2hr) 11(5hr) 12( 1/2hr) Tarefa 01: 3 hrs Tarefa 02: 3 hrs + 4 hrs = 7 hrs Tarefa 03: 3 hrs + 6 hrs = 9 hrs Tarefa 04: 3 hrs + 7 hrs = 10 hrs Tarefa 05: 3 hrs + 3 hrs = 6 hrs Tarefa 06: 1 hr Tarefa 07: 1 hr + 2 hrs = 3 hrs Tarefa 08: max(9, 10) hrs + 2 hrs = 12 hrs Tarefa 09: max(6, 12) hrs + 2 hrs = 14 hrs Tarefa 10: max(7, 12) hrs + 3 hrs = 15 hrs Tarefa 11: max(14, 15) hrs + 5 hrs = 20 hrs Tarefa 12: max(3, 20) hrs + 1 /2 hr = 20.5 hrs Caminho crítico: 1, 4, 8, 10, 11, 12, que custa 20.5 hrs se executado em paralelo O caminho crítico é determinado na ordem inversa, do último nó em direção ao primeiro Faz parte do caminho crítico a tarefa pré-requisito de x que contribui com o valor máximo. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

64 Ordenação Topológica O processo de ordenação topológica encontra uma ordenação total que é a extensão de uma ordenação parcial. Nela, x 1 x 2 x 3 x n 1 x n Em um conjunto parcialmente ordenado finito sempre existe pelo menos um elemento minimal um elemento minimal não tem predecessores Algoritmo 3 OrdenacaoTopologica ( (S, ) ) 1: k 1 2: while (S ) do 3: a k algum elemento minimal de S 4: S S {a k } 5: k k + 1 6: end while 7: return a 1, a 2,...,a n diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

65 Ordenação Topológica Min: 1 e 6 Ord: Min: 1 e 7 Ord: Min: 2, 3, 4, 5 e 7 Ord: 6, Min: 3, 4, 5 e 7 Ord: 6, 1, Min: 4, 5 e 7 Ord: 6, 1, 2, Min: 4 e 7 Ord: 6, 1, 2, 3, 5 12 diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

66 Ordenação Topológica Min: 4 Ord: 6, 1, 2, 3, 5, Min: 8 Ord: 6, 1, 2, 3, 5, 7, Min: 9 e 10 Ord: 6, 1, 2, 3, 5, 7, 4, 8 9 Min: 9 Ord: 6, 1, 2, 3, 5, 7, 4, 8, Min: 11 Ord: 6, 1, 2, 3, 5, 7, 4, 8, 10, 9 Ordenação Topológica: 6, 1, 2, 3, 5, 7, 4, 8, 10, 9, 11, 12 diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

67 Ordenação Topológica A ordenação topológica retorna uma ordenação linear de atividades que podem ser executadas em sequência. Neste caso, Atividade Req. Hrs 01) Seleção da madeira N/A 3 02) Entalhamento dos arcos ) Entalhamento do acento ) Entalhamento do encosto ) Entalhamento dos braços ) Escolha do tecido N/A 1 07) Costura da almofada ) Montagem: acento e encosto 3;4 2 09) Fixação dos braços 5;8 2 10) Fixação dos arcos 2;8 3 11) Verniz 9; ) Instalação almofada 7; Possível ordem sequencial: 06) Escolha do tecido 01) Seleção da madeira 02) Entalhamento dos arcos 03) Entalhamento do acento 05) Entalhamento dos braços 07) Costura da almofada 04) Entalhamento do encosto 08) Montagem: acento e encosto 10) Fixação dos arcos 09) Fixação dos braços 11) Verniz 12) Instalação almofada Pergunta 01: esta é a única ordenação topológica possível? Pergunta 02: quais as diferenças entre o resultado da ordenação topológica e o caminho crítico? diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

68 Exercícios 1 Encontre uma ordenação linear de tarefas para um projeto de software cujo diagrama de Hasse é dado a seguir. 8 ID Atividade 01 Levantar necessidades do usuário 02 Escrever requisitos funcionais 6 03 Desenvolver requisitos do sistema 5 04 Desenvolver Módulo B 05 Integrar módulos 06 Testes α Testes β 08 Entrega do software 3 09 Desenvolver Módulo A 10 Escrever documentação 2 11 Desenvolver Módulo C 12 Configurar site de testes diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

69 Atividades Sugeridas (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

70 Atividades Sugeridas Leitura da Seção 4.1 de [Gersting, J. L.] Leitura do Capítulo 8 de [Rosen, K. H.] Resolver os exercícios de [Rosen, K. H.]: Pág. 527: ex1, ex2, ex4, ex5, ex7. Pág. 542: ex1, ex2, ex3, ex5, ex6, ex7, ex8, ex18, ex19, ex20, ex21, ex22, ex23 ex24, ex25, ex26, ex27, ex28, ex31, ex32. Pág. 553: ex3, ex4, ex8, ex9, ex10, ex11, ex25, ex26. Pág. 562: ex1, ex2, ex4, ex5, ex6, ex8, ex14, ex19, ex21, ex22, ex23, ex24, ex26, ex27, ex41, ex42, ex44, ex45, ex47, ex48. Pág. 578: ex1, ex2, ex3, ex4, ex7, ex8, ex9, ex10, ex11, ex20, ex21, ex22, ex23, ex25, ex27, ex32, ex64, ex65. Pág. 582: ex1, ex2, ex3, ex4, ex6, ex7, ex8, ex10. Resolver os exercícios de [Gersting, J. L.]: Pág. 209: ex1, ex2, ex3, ex4, ex5, ex8, ex9, ex12, ex14, ex15, ex16a, ex16b, ex20, ex21, 23, ex24, ex25, ex33a, ex33b, ex34a, ex34b, ex36, ex37. Pág 222: ex1, ex2, ex3, ex4, ex5, ex6, ex7, ex8, ex9, ex10. diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

71 Referências Bibliográficas (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72

72 Rosen, K. H. Matemática Discreta e suas Aplicações, Tradução da 6a. Edição em Inglês. Editora Mc-Graw Hill Brasil, ISBN , Gersting, J. L. Fundamentos Matemáticos para Ciência da Computação, 3a. edição. Editora LTC, ISBN , diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 19 de fevereiro de / 72