1 - POLÍGONOS REGULARES E CIRCUNFERÊNCIAS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "1 - POLÍGONOS REGULARES E CIRCUNFERÊNCIAS"

Transcrição

1 Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA X 1 - POLÍGONOS REGULARES E CIRCUNFERÊNCIAS 1.2 Triângulo equilátero circunscrito A seguir, nós vamos analisar a relação entre alguns polígonos regulares e as circunferências. Uma propriedade interessante de qualquer polígono pode ser inscrito em ou circunscrito a uma circunferência (ou a um círculo). Os polígonos mais importantes e que serão estudados agora são o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular. 1.1 Triângulo equilátero inscrito Figura 2: triângulo equilátero circunscrito Como o triângulo é equilátero, o centro da circunferência inscrita no triângulo (que é o incentro) coincide com o baricentro e o ortocentro. Assim, a medida do segmento vale da altura do triângulo equilátero, pois é baricentro! Sejam o raio da circunferência inscrita e o lado do triângulo equilátero. Então, tem-se: Figura 1: triângulo equilátero inscrito Como o triângulo é equilátero, o centro da circunferência circunscrita ao triângulo (que é o circuncentro) coincide com o baricentro e o ortocentro. Assim, a medida do segmento vale da altura do triângulo equilátero, pois é baricentro! Sejam o raio da circunferência circunscrita e o lado do triângulo equilátero. Então, tem-se: Além disso, nota-se que o ângulo na figura é inscrito na circunferência e enxerga o arco. Logo,. Da mesma forma, pode-se deduzir que. Isso significa que o triângulo divide a circunferência circunscita em três arcos iguais a. Portanto, em uma circunferência qualquer, se uma corda é o lado do triângulo equilátero inscrito, ela vai determinar um arco de. Comparando o raio da cincunferência circunscrita com o raio da cincunferência inscrita, tem-se que. De fato: Observação: o raio da circunferência inscrita no triângulo equilátero também é denominado apótema do triângulo equilátero. Observação: quando se fala em um triângulo inscrito em uma circunferência (como na figura 1), diz-se que a circunferência é circunscrita ao triângulo. Quando se fala em um triângulo circunscrito a uma circunferência (como na figura 2), diz-se que a circunferência é inscrita ao triângulo. Então: A figura INscrita está dentro da outra; A figura CIRCUNscrita está fora da outra; Observação: o lado do triângulo equilátero inscrito determina um arco de CASD Vestibulares Geometria 1

2 1.3 Quadrado inscrito Seja o lado do quadrado, onde e são pontos médios de e, respectivamente. Então. No entanto, passa pelo centro da circunferência inscrita, portanto é um diâmetro. Seja o raio da circunferência inscrita. Então, tem-se que. Logo: Comparando o raio da cincunferência circunscrita com o raio da cincunferência inscrita, tem-se que. Figura 3: quadrado inscrito Seja o lado do quadrado. Então a diagonal vale. No entanto, passa pelo centro da circunferência circunscrita, portanto é um diâmetro. Seja o raio da circunferência circunscrita. Então, tem-se que. Logo: Observação: o raio da circunferência inscrita no quadrado também é denominado apótema do quadrado. 1.5 Hexágono regular inscrito Além disso, nota-se que o ângulo na figura é inscrito na circunferência e enxerga o arco. Logo,. Da mesma forma, pode-se deduzir que. Isso significa que o quadrado divide a circunferência circunscita em quatro arcos iguais a. Portanto, em uma circunferência qualquer, se uma corda é o lado do quadrado inscrito, ela vai determinar um arco de. Observação: o lado do quadrado inscrito determina um arco de 1.4 Quadrado circunscrito Figura 5: hexágono regular inscrito Seja o lado do hexágono regular. No triângulo, tem-se que. Logo, o triângulo é isósceles, portanto. O ângulo no triângulo é um ângulo interno ao hexágono, logo, com. Logo,. Além disso, a soma dos ângulos internos do triângulo é. Então: Além disso, nota-se que o ângulo na figura 13 é inscrito na circunferência e enxerga o arco. Logo,. Da mesma forma, pode-se deduzir que Figura 4: quadrado circunscrito. 2 Geometria CASD Vestibulares

3 Isso significa que o hexágono regular divide a circunferência circunscita em seis arcos iguais a. Portanto, em uma circunferência qualquer, se uma corda é o lado do hexágono regular inscrito, ela vai determinar um arco de. Observação: o lado do hexágono regular inscrito determina um arco de 1.7 Área do hexágono regular Vimos que o triângulo da figura 5 é equilátero de lado. Da mesma forma, os triângulos,,, e são todos equiláteros de lado. Assim, o hexágono regular pode ser dividido em 6 triãngulos equiláteros de lado, como na figura 7 abaixo. Então: Em particular, o arco vale. E no triângulo, o ângulo é um ângulo central que enxerga o arco, portanto. Seja o raio da circunferência circunscrita. No triângulo, tem-se que. Logo, o triângulo é isósceles, portanto. Além disso, a soma dos ângulos internos do triângulo é. Então: Como o triângulo possui todos os ângulos iguais a, ele é equilátero! Portanto,. Mas é o lado do hexágono regular, o que leva a: Figura 7: hexágono regular dividido em triângulos equiláteros Logo, a área de um hexágono regular de lado é Conclusão: em um hexágono regular, o lado é igual ao raio da circunferência circunscrita 1.6 Hexágono regular circunscrito 1.8 Polígono regular de lados A seguir, são listadas algumas propriedades que valem para qualquer polígono regular, inscrito ou circunscito: Em qualquer polígono regular, o centro da circunferência circunscrita e o centro da circunferência inscrita são pontos coincidentes. Esse ponto é o centro do polígono regular; Figura 6: hexágono regular circunscrito No hexágono regular, o centro da circunferência circunscrita coincide com o centro da circunferência inscrita. Sejam o raio da circunferência circunscrita e o raio da circunferência inscrita. Logo, no triângulo, e. O ângulo vale. Assim, como o triângulo é retângulo, pode-se utilizar as relações trigonométricas: Em qualquer polígono regular, o apótema é o segmento com uma extremidade no centro do polígono e outra no ponto médio de um lado do polígono; Em qualquer polígono regular, o apótema é o raio da circunferência inscrita; Em qualquer polígono regular de lados, os lados dividem a circunferência em arcos iguais a ; Em qualquer polígono regular de lados, o ângulo cêntrico (cujo vértice está no centro do polígono e cujos lados passam por vértices consecutivos do polígono) vale ; Observação: o raio da circunferência inscrita no hexágono regular também é denominado apótema do hexágono regular. Para calcular a área de um polígono regular de lados, divida-o em triângulos isósceles cujo lado é o raio da circunferência circunscrita e cuja base é o lado do polígono; CASD Vestibulares Geometria 3

4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nível I 1. (UNIFESP - 08) Tem-se um triângulo equilátero em que cada lado mede cm. O raio do círculo circunscrito a esse triângulo, em centímetros, mede Nível II 9. (FUVEST - 00) Na figura abaixo, é um pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo é: a) b) c) d) e) 2. Um triângulo equilátero está inscrito em um círculo de raio. Calcule a área deste triângulo. 3. (PUC-RJ - 01) Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito de um triângulo equilátero de lado? a) b) c) d) e) 4. (ENEM - 12) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida do raio adequado para a plataforma em termos da medida do lado da base da estatua. Qual relação entre e o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida? a) b) c) d) e) 5. (UEL - 99) Se um círculo de de raio está inscrito em um hexágono regular, o perímetro do hexágono, em centímetros, é igual a a) b) c) d) e) 10. Na figura, é um diâmetro, a corda é o lado do triângulo equilátero inscrito e, o lado do quadrado inscrito. Calcule o ângulo, formado pelas tangentes e. 11. Atividade Proposta nº 8, Geometria Plana IV 12. (MACKENZIE - 03) Na figura,, é o centro da circunferência e é o lado do polígono regular inscrito na circunferência. Se o comprimento da circunferência é, a área desse polígono é: a) b) c) d) e) 6. (UFU - 01) Sabendo-se que um polígono regular de lados está inscrito num círculo de raio e que o polígono possui diagonais, encontre a medida do comprimento de seu lado. 7. Atividade Proposta nº 6, Geometria Plana V 8. Atividade Proposta nº 10, Geometria Plana V Correção da apostila do SAS: Na atividade Proposta nº 10, Geometria Plana V, na alternativa d), troque por a) b) c) d) e) 13. (UNICAMP - 04) Um triângulo equilátero tem o mesmo perímetro que um hexágono regular cujo lado mede. Calcule: a) O comprimento de cada lado do triângulo. b) A razão entre as áreas do hexágono e do triângulo. 14. Atividade para Sala nº 3, Geometria Plana IV 4 Geometria CASD Vestibulares

5 15. (UFSCAR - 05) A figura 1 representa um determinado encaixe no plano de ladrilhos poligonais regulares ( hexágono, triângulos, quadrados), sem sobreposições e cortes. 18. (UFSCAR - 03) Uma placa de aço quadrada vai ser transformada em um octógono regular, recortandose os quatro cantos do quadrado de forma a obter o maior polígono possível, como mostra a figura. Em relação aos ladrilhos triangulares colocados perfeitamente nos espaços da figura 1, como indicado na figura 2, é correto dizer que a) são triângulos equiláteros e são triângulos isósceles de ângulo da base medindo. b) são triângulos equiláteros e são triângulos isósceles de ângulo da base medindo. c) são triângulos isósceles de ângulo da base medindo e são triângulos isósceles de ângulo da base medindo. Sendo a medida do lado do quadrado igual a, calcule, em função de, a) a medida de. b) o perímetro do octógono obtido. 19. (PUC PR - 04) Quatro triângulos congruentes são recortados de um retângulo de. O octógono resultante tem oito lados iguais. d) são triângulos equiláteros e são triângulos retângulos isósceles. e) são triângulos equiláteros e são triângulos escalenos. 16. (ESPM - 11) Os pontos,, e são vértices consecutivos de um polígono regular com diagonais, cujo lado mede. O comprimento do segmento é igual a: a) b) c) d) e) 17. (FATEC - 07) O lado de um octógono regular mede. A área superfície desse octógono, em cetímetros quadrados, é igual a: O comprimento do lado deste octógono é: a) b) c) d) e) 20. A figura representa sete hexágonos regulares de lado e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) CASD Vestibulares Geometria 5

6 DICAS E FATOS QUE AJUDAM 1. O lado do triângulo equilátero é. Então: 8. Como é o lado de um octógono regular (com lados),. Além disso, seja o suplemento de. Como é tangente, é um ângulo d segmento que enxerga o arco. Assim, tem-se: 2. Como o triângulo equilátero está inscrito no círculo, o círculo está circunscrito ao triângulo. Assim, Como é o suplemento de, tem-se: Lembre que a área do triângulo equilátero é 3. Veja o final da seção Como a base (quadrada) da escultura está integralmente apoiada sobre a plataforma (circular), o quadrado está dentro do círculo, isto é, o quadrado está inscrito. 5. Como o círculo está inscrito no hexágono, o hexágono está circunscrito ao círculo. Então Note que o perímetro do hexágono é 6. Seja o número de lados do polígono. Como ele tem diagonais, tem-se: 9. Trace a circunferência que passa pelos pontos,,,,. Como é um pentágono regular (com lados), os seus lados dividem a circunferência em arcos iguais a. Assim, Como é um ângulo inscrito que enxerga o arcos : 10. Como é um diâmetro,. Como é o lado do triângulo equilátero inscrito,. Como é o lado do quadrado inscrito,. Como,, logo o polígono é um hexágono. Como o hexágono está inscrito no círculo, 7. Como é um octógono regular (com lados), os seus lados dividem a circunferência em arcos iguais a. Assim, temos: Como é um ângulo de vértice exterior que enxerga os arcos e, tem-se: Como é um ângulo de vértice exterior que enxerga os arcos e, tem-se: 11. Note que os hexágonos regulares possuem o mesmo lado que o quadrado, que por sua vez possui o mesmo lado que o triângulo. Como o hexágono regular e o triângulo possuem o mesmo lado, a área de cada hexágono é seis vezes a área do triângulo equilátero (veja a figura 7), ou seja, a área de cada hexágono é. Logo a ára total dos hexágonos é Note que cada um dos outros triângulos é retângulo (pois a soma dos ângulos ao redor de cada vértice do quadrado é ), com os dois catetos iguais ao lado do quadrado. Assim, a área de cada um dos triângulos é a área de metade do quadrado. Logo a área total dos triângulos é. Assim, a área do decágono é 6 Geometria CASD Vestibulares

7 12. Como é o ângulo inscrito que enxerga : Seja o número d lados do polígono. Como o polígono é regular, os seus lados dividem a circunferência em arcos iguais a. Assim, temos: Logo, o polígono é um hexágono inscrito! Como o comprimento da circunferência é, tem-se: Como o hexágono é inscrito: 15. Primeiro note que todos os triângulos hachurados são isósceles, pois todas os polígonos da figura 1 possuem o mesmo lado. Além disso, nos dois triângulos hachurados do meio, o ângulo oposto à base é (hexágono regular) (quadrado), logo o ângulo oposto à base é. Como os dois outros ângulos da base são iguais entre si, os outros ângulos também são iguais a. Já nos outros quatro triângulos, o ângulo oposto à base é (hexágono regular) (quadrado) (triângulo equilátero), logo o ângulo oposto à base é. Como os dois outros ângulos da base são iguais entre si, os outros ângulos são iguais a 16. Seja o número de lados do polígono. Como ele tem diagonais, tem-se: A área do hexágono é: 13. a) O perímetro do hexágono é. Então o perímetro do triângulo também é. Além disso, como o triângulo é equilátero, o perímetro é. Logo b) Como o triângulo é equilátero, a sua área é: Como,, logo o polígono é um octógono. O ângulo externo do polígono é Prolongue os segmentos e. Seja o ponto em que as retas e se cortam. Note que e são ângulos externos, logo Como o hexágono é regular, a sua área é: 14. Como o hexágono tem lado, a sua área é: Logo, o triângulo e é retângulo isósceles, com. Então: Como o triângulo tem lado, a sua área é: ( ) Note que e. Então o triângulo é retângulo isósceles Como o quadrado tem lado, a sua área é: ( ) CASD Vestibulares Geometria 7

8 17. Seja um lado do octógono, o ponto médio de e o centro do octógono. Logo. Como, o triângulo é isósceles. Assim, a mediana também é bissetriz. Logo. Além disso, a mediana também é altura, logo. Finalmente,. Usando arco metade em trigonometria, note que. Usando trigonometria no triângulo retângulo : ( ) 20. O apótema de cada um dos hexágonos de lado é O lado do hexágono maior é o dobro desse apótema: A área do hexágono maior é e a área de cada hexágono menor é. Além disso, note que a diferença entre a área do hexágono maior e a área do hexágono menor central é vezes a área do pentágono hachurado. Então: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1. B GABARITO O triângulo tem base e altura, logo: ( ) ( ) Note que a área do octónogo é oito vezes a área do triângulo 18. Note que o lado do octógono é. Como o octógono é regular, é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos e. Usando Pitágoras: 2. A área do triângulo é 3. A 4. A 5. A 6. A medida do comprimento do seu lado é 7. C 8. D 9. C 10. O ângulo vale Note que 19. Sejam o cateto horizontal e o cateto vertical dos triângulos. Então o lado do octógono regular é, logo. Além disso, a hipotenusa do triângulo é o lado do octógono, que vale. Usando o Teorema de Pitágoras: 11. A 12. B 13. a) Cada lado do triângulo mede b) A razão entre as áreas é 14. C 15. D 16. B 17. A 18. a) A medida de é b) O perímetro do octógono obtido é ( ) O lado do octógono é ou. Como, 19. C 20. E 8 Geometria CASD Vestibulares

1 PONTOS NOTÁVEIS. 1.1 Baricentro. 1.3 Circuncentro. 1.2 Incentro. Matemática 2 Pedro Paulo

1 PONTOS NOTÁVEIS. 1.1 Baricentro. 1.3 Circuncentro. 1.2 Incentro. Matemática 2 Pedro Paulo Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA VIII 1 PONTOS NOTÁVEIS 1.1 Baricentro O baricentro é o encontro das medianas de um triângulo. Na figura abaixo, é o ponto médio do lado, é o ponto médio do lado

Leia mais

1 SOMA DOS ÂNGULOS 2 QUADRILÀTEROS NOTÀVEIS. 2.2 Paralelogramo. 2.1 Trapézio. Matemática 2 Pedro Paulo

1 SOMA DOS ÂNGULOS 2 QUADRILÀTEROS NOTÀVEIS. 2.2 Paralelogramo. 2.1 Trapézio. Matemática 2 Pedro Paulo Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA IX 1 SOMA DOS ÂNGULOS A primeira (e talvez mais importante) relação válida para todo quadrilátero é a seguinte: A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero

Leia mais

2 ÁREAS E VOLUME DO TETRAEDRO REGULAR 1 TETRAEDRO REGULAR. 2.1 Área lateral. 2.2 Área da base. 2.3 Área total. 2.4 Volume

2 ÁREAS E VOLUME DO TETRAEDRO REGULAR 1 TETRAEDRO REGULAR. 2.1 Área lateral. 2.2 Área da base. 2.3 Área total. 2.4 Volume Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL VI são 1 TETRAEDRO REGULAR É uma piramide regular triangular, cujas faces triângulos equiláteros de lado 2 ÁREAS E VOLUME DO TETRAEDRO REGULAR 2.1 Área lateral

Leia mais

2 CILINDRO E ESFERA 1 CUBO E ESFERA. 2.1 Cilindro inscrito. 1.1 Cubo inscrito. 2.2 Cilindro circunscrito. 1.2 Cubo circunscrito

2 CILINDRO E ESFERA 1 CUBO E ESFERA. 2.1 Cilindro inscrito. 1.1 Cubo inscrito. 2.2 Cilindro circunscrito. 1.2 Cubo circunscrito Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL XI A seguir, nós vamos analisar a relação entre alguns sólidos e as esferas. Os sólidos podem estar inscritos ou circunscritos a uma esfera. Lembrando: A figura

Leia mais

1 SEMELHANÇA EM TRIÂNGULOS RETÂNGULOS DICA DO MINGUADO. Matemática 2 Pedro Paulo. Semelhança entre e :

1 SEMELHANÇA EM TRIÂNGULOS RETÂNGULOS DICA DO MINGUADO. Matemática 2 Pedro Paulo. Semelhança entre e : Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA XIII 1 SEMELHANÇA EM TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Seja um triângulo retângulo, com ângulos agudos e. Traçando a altura relativa à hipotenusa, formamos os triângulos retângulos

Leia mais

1 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

1 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA XII 1 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são semelhantes quando possuem os lados respectivamente proporcionais, como está ilustrado na figura abaixo: Figura

Leia mais

1 POTÊNCIA DE PONTO 2 CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES. 1.1 Potência de ponto interior. 1.2 Potência de ponto exterior

1 POTÊNCIA DE PONTO 2 CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES. 1.1 Potência de ponto interior. 1.2 Potência de ponto exterior Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA XV 1 POTÊNCIA DE PONTO Sejam um ponto interior ou exterior a uma circunferência e uma reta que passa por e corta a circunferência nos pontos e. A potência do ponto

Leia mais

RETAS PARALELAS INTERCEPTADAS POR UMA TRANSVERSAL

RETAS PARALELAS INTERCEPTADAS POR UMA TRANSVERSAL GEOMETRIA PLANA MEDIDAS DE ÂNGULOS: Raso, se é igual a 180º; Nulo, se, é igual a 0º; Reto:é igual a 90 ; Agudo: é maior que 0 e menor que 90 ; Obtuso: é maior que 90 e menor que 180. IMPORTANTE: se a soma

Leia mais

Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II

Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Módulo I Aula 04 TRIÂNGULOS Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. Talvez seja o polígono mais importante

Leia mais

Lista de Exercícios Geometria Plana - Pontos notáveis do triângulo 3ª Série do Ensino Médio Prof. Lucas Factor

Lista de Exercícios Geometria Plana - Pontos notáveis do triângulo 3ª Série do Ensino Médio Prof. Lucas Factor Lista de Exercícios Geometria Plana - Pontos notáveis do triângulo 3ª Série do Ensino Médio Prof. Lucas Factor 1. Considere os pontos notáveis de um triângulo, sendo: B Baricentro C Circuncentro I Incentro

Leia mais

SAGRADO REDE DE EDUCAÇÃO PROFESSORA :MÁRCIA CONTE 3º ANO ENSINO MÉDIO 2012

SAGRADO REDE DE EDUCAÇÃO PROFESSORA :MÁRCIA CONTE 3º ANO ENSINO MÉDIO 2012 SAGRADO REDE DE EDUCAÇÃO PROFESSORA :MÁRCIA CONTE 3º ANO ENSINO MÉDIO 2012 -POLÍGONOS REGULARES -APÓTEMAS DE BASES REGULARES -PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO -COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA -ÁREA DO CÍRCULO

Leia mais

Exercícios sobre Estudo dos Polígonos

Exercícios sobre Estudo dos Polígonos Exercícios sobre Estudo dos Polígonos Material de apoio do Extensivo 1. (Uerj) Ao observar, em seu computador, um desenho como o apresentado a seguir, um estudante pensou tratar-se de uma curva. Porém,

Leia mais

Hewlett-Packard TRIÂNGULOS. AULAS 01 a 03. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

Hewlett-Packard TRIÂNGULOS. AULAS 01 a 03. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Hewlett-Packard TRIÂNGULOS AULAS 01 a 03 Sumário Triângulos... 1 DEFINIÇÃO E ELEMENTOS... 1 SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO... 1 ÂNGULO EXTERNO DE UM TRIÂNGULO... 1 SOMA DAS MEDIDAS

Leia mais

1 CLASSIFICAÇÃO 2 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS. Matemática 2 Pedro Paulo

1 CLASSIFICAÇÃO 2 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS. Matemática 2 Pedro Paulo Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA IV 1 CLASSIFICAÇÃO De acordo com o gênero (número de lados), os polígonos podem receber as seguintes denominações: Na figura 2, o quadrilátero foi dividido em triângulos.

Leia mais

GEOMETRIA: POLÍGONOS

GEOMETRIA: POLÍGONOS Atividade: Polígonos (ECA 05 Atividade para 13/04/2015) Série: 1ª Série do Ensino Médio Etapa: 1ª Etapa 2014 Professor: Cadu Pimentel GEOMETRIA: POLÍGONOS ATENÇÃO: Estimados alunos, venho lembrar que somente

Leia mais

Conteúdo programático por disciplina Matemática 6 o ano

Conteúdo programático por disciplina Matemática 6 o ano 60 Conteúdo programático por disciplina Matemática 6 o ano Caderno 1 UNIDADE 1 Significados das operações (adição e subtração) Capítulo 1 Números naturais O uso dos números naturais Seqüência dos números

Leia mais

MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON

MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON PROFJWPS@GMAIL.COM DEFINIÇÕES GEOMETRIA PLANA Ponto: Um elemento do espaço que define uma posição. Reta: Conjunto infinito de pontos. Dois pontos são

Leia mais

Geometria Plana. Exterior do ângulo Ô:

Geometria Plana. Exterior do ângulo Ô: Geometria Plana Ângulo é a união de duas semiretas de mesma origem, não sendo colineares. Interior do ângulo Ô: Exterior do ângulo Ô: Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, apresentarem um lado

Leia mais

Geometria plana. Índice. Polígonos. Triângulos. Congruência de triângulos. Semelhança de triângulos. Relações métricas no triângulo retângulo

Geometria plana. Índice. Polígonos. Triângulos. Congruência de triângulos. Semelhança de triângulos. Relações métricas no triângulo retângulo Índice Geometria plana Polígonos Triângulos Congruência de triângulos Semelhança de triângulos Relações métricas no triângulo retângulo Quadriláteros Teorema de Tales Esquadros de madeira www.ser.com.br

Leia mais

Circunferência. MA092 Geometria plana e analítica. Interior e exterior. Circunferência e círculo. Francisco A. M. Gomes

Circunferência. MA092 Geometria plana e analítica. Interior e exterior. Circunferência e círculo. Francisco A. M. Gomes Circunferência MA092 Geometria plana e analítica Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Setembro de 2016 A circunferência é o conjunto dos pontos de um plano que estão a uma mesma distância (denominada

Leia mais

1 ÁREA DO CÍRCULO E SUAS PARTES

1 ÁREA DO CÍRCULO E SUAS PARTES Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA XVII 1 ÁREA DO CÍRCULO E SUAS PARTES As principais figuras curvas que aparecem na Geometria Plana são o círculo e as suas partes. A seguir, nós vamos ver como calcular

Leia mais

3 PIRÂMIDE RETA 1 ELEMENTOS DA PIRÂMIDE 4 PIRÂMIDE REGULAR 2 CLASSIFICAÇÃO DE PIRÂMIDES. Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL V

3 PIRÂMIDE RETA 1 ELEMENTOS DA PIRÂMIDE 4 PIRÂMIDE REGULAR 2 CLASSIFICAÇÃO DE PIRÂMIDES. Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL V Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL V 1 ELEMENTOS DA PIRÂMIDE Pirâmide é um poliedro formado por um polígono que é a base e um ponto fora do plano da base que é o vértice. Cada lado do polígono da

Leia mais

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TRIÂNGULOS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TRIÂNGULOS 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TRIÂNGULOS 1. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ESCALENO DE BASE 10 CM E ÂNGULOS ADJASCENTES À BASE DE 75 E 45. Sejam dados a base AB e os ângulos adjacentes à base. Primeiro transporte o

Leia mais

DESENHO GEOMÉTRICO Matemática - Unioeste Definição 1. Poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos (vértices)

DESENHO GEOMÉTRICO Matemática - Unioeste Definição 1. Poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos (vértices) DESENHO GEOMÉTRICO Matemática - Unioeste - 2010 1 Polígonos Definição 1. Poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos (vértices) A 1, A 2,..., A n e pelos segmentos (lados) A 1 A 2, A 2 A

Leia mais

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE. Professor: João Carmo

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE. Professor: João Carmo INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE Professor: João Carmo DEFINIÇÃO Triângulo ou trilátero é um polígono de três lados. Observações: a) O triângulo não possui diagonais;

Leia mais

1 ELEMENTOS DO CONE 3 ÁREAS E VOLUME DO CONE 2 SECÇÃO MERIDIANA. 3.1 Área lateral. 3.2 Área da base. 3.3 Área total. 3.4 Volume

1 ELEMENTOS DO CONE 3 ÁREAS E VOLUME DO CONE 2 SECÇÃO MERIDIANA. 3.1 Área lateral. 3.2 Área da base. 3.3 Área total. 3.4 Volume Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL VII 1 ELEMENTOS DO CONE Cone é um sólido formado por um círculo que é a base e um ponto fora do plano da base que é o vértice, que é ligado a todos os pontos do

Leia mais

1. (Uece) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diagonais, então o valor de n é a) 9. b) 11. c) 13. d) 15.

1. (Uece) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diagonais, então o valor de n é a) 9. b) 11. c) 13. d) 15. 1. (Uece) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diagonais, então o valor de n é a) 9. b) 11. c) 13. d) 15. 2. (Espm) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, BDE é um triângulo

Leia mais

1. Considere os pontos notáveis de um triângulo, sendo: B Baricentro C Circuncentro I Incentro O Ortocentro

1. Considere os pontos notáveis de um triângulo, sendo: B Baricentro C Circuncentro I Incentro O Ortocentro Lista de Exercícios Geometria Plana - loco I - Pontos notáveis do triângulo 1. Considere os pontos notáveis de um triângulo, sendo: aricentro C Circuncentro I Incentro rtocentro Preencha os parênteses:

Leia mais

Lista de Exercícios: Geometria Plana. Um triângulo isósceles tem base medindo 8 cm e lados iguais com medidas de 5 cm. A área deste triângulo é:

Lista de Exercícios: Geometria Plana. Um triângulo isósceles tem base medindo 8 cm e lados iguais com medidas de 5 cm. A área deste triângulo é: Lista de Exercícios: Geometria Plana Questão 1 Um triângulo isósceles tem base medindo 8 cm e lados iguais com medidas de 5 cm. A área deste triângulo é: A( ) 20 cm 2. B( ) 10 cm 2. C( ) 24 cm 2. D( )

Leia mais

Geometria plana. Índice. Polígonos. Triângulos. Congruência de triângulos. Semelhança de triângulos. Relações métricas no triângulo retângulo

Geometria plana. Índice. Polígonos. Triângulos. Congruência de triângulos. Semelhança de triângulos. Relações métricas no triângulo retângulo Índice Geometria plana Polígonos Triângulos Congruência de triângulos Semelhança de triângulos Relações métricas no triângulo retângulo Quadriláteros Teorema de Tales Esquadros de madeira www.ser.com.br

Leia mais

Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1

Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos Polígono é uma figura geométrica plana e fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam no mesmo plano. Exemplos 11.1 Elementos de um polígono

Leia mais

Lista de exercícios para a P8 Conteúdo: Pontos notáveis do triângulo, quadriláteros e polígonos. Prof. Rafa, Prof. Bill, Prof. Marcelo C. e Marcelo L.

Lista de exercícios para a P8 Conteúdo: Pontos notáveis do triângulo, quadriláteros e polígonos. Prof. Rafa, Prof. Bill, Prof. Marcelo C. e Marcelo L. Lista de exercícios para a P8 Conteúdo: Pontos notáveis do triângulo, quadriláteros e polígonos. Prof. Rafa, Prof. Bill, Prof. Marcelo C. e Marcelo L. Mas antes de começar, atente para as seguintes dicas:

Leia mais

Circunferência e círculo. Posições relativas de ponto e circunferência. Posições relativas de reta e circunferência

Circunferência e círculo. Posições relativas de ponto e circunferência. Posições relativas de reta e circunferência Circunferência e círculo Circunferência de centro O e raio r é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão a uma distância r do ponto O. Observação O conjunto constituído dos pontos de uma circunferência

Leia mais

1ª Aula. Introdução à Geometria Plana GEOMETRIA. 3- Ângulos Consecutivos: 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A. b) Reta c) Semi-reta

1ª Aula. Introdução à Geometria Plana GEOMETRIA. 3- Ângulos Consecutivos: 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A. b) Reta c) Semi-reta 1ª Aula 3- Ângulos Consecutivos: Introdução à Geometria Plana 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A Na figura, os ângulos AÔB e BÔC são consecutivos, portanto AÔC=AÔB+AÔC b) Reta c) Semi-reta d) Segmento

Leia mais

Os problemas em Desenho Geométrico resumem-se em encontrar pontos. E para determinar um ponto basta obter o cruzamento entre duas linhas.

Os problemas em Desenho Geométrico resumem-se em encontrar pontos. E para determinar um ponto basta obter o cruzamento entre duas linhas. 31 4 LUGARES GEOMÉTRICOS Os problemas em Desenho Geométrico resumem-se em encontrar pontos. E para determinar um ponto basta obter o cruzamento entre duas linhas. Definição: Um conjunto de pontos do plano

Leia mais

GEOMETRIA PLANA. Prof. Fabiano

GEOMETRIA PLANA. Prof. Fabiano GEOMETRIA PLANA Prof. Fabiano POLÍGONOS REGULARES R.. a. O O O a R a R R = Raio - raio da circunf. circunscrita - distância do centro a um vértice a = Apótema - Raio da circunferência inscrita - distância

Leia mais

Geometria Plana - Aula 05

Geometria Plana - Aula 05 Geometria Plana - Aula 05 Elaine Pimentel Universidade Federal de Minas Gerais, Departamento de Matemática Geometria Plana Especialização 2008 - p. 1 Esquema da aula Quadrilátero - definição e. Quadriláteros

Leia mais

GEOMETRIA PLANA. 1) (UFRGS) Na figura abaixo, o vértice A do retângulo OABC está a 6 cm do vértice C. O raio do círculo mede

GEOMETRIA PLANA. 1) (UFRGS) Na figura abaixo, o vértice A do retângulo OABC está a 6 cm do vértice C. O raio do círculo mede GEOMETRI PLN 1) (UFRGS) Na figura abaixo, o vértice do retângulo O está a 6 cm do vértice. O raio do círculo mede O (a) 5 cm (b) 6 cm (c) 8 cm (d) 9 cm (e) 10 cm ) (UFRGS) Na figura abaixo, é o centro

Leia mais

GEOMETRIA PLANA. Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.

GEOMETRIA PLANA. Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas. PARTE 01 GEOMETRIA PLANA Introdução A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada

Leia mais

Aula 09 (material didático produzido por Paula Rigo)

Aula 09 (material didático produzido por Paula Rigo) EMBAP ESCOLA DE MÚSICA E BELAS ARTES DO PARANÁ DISCIPLINA DE DESENHO GEOMÉTRICO E GEOMETRIA DESCRITIVA Profª Eliane Dumke e-mail: eliane.dumke@gmail.com Aula 09 (material didático produzido por Paula Rigo)

Leia mais

Lugares geométricos básicos I

Lugares geométricos básicos I Lugares geométricos básicos I M13 - Unidade 5 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT Definição Lugar Geométrico da propriedade P é o conjunto

Leia mais

Professor Alexandre Assis. Lista de exercícios de Geometria

Professor Alexandre Assis. Lista de exercícios de Geometria 1. A figura representa três círculos idênticos no interior do triângulo retângulo isósceles ABC. 3. Observando a figura a seguir, determine (em cm): a) o valor de x. b) a medida do segmento AN, sabendo

Leia mais

Grupo de exercícios II.2 - Geometria plana- Professor Xanchão

Grupo de exercícios II.2 - Geometria plana- Professor Xanchão Grupo de exercícios II. - Geometria plana- Professor Xanchão 1. (Pucrj 015) A medida da área, em círculo de raio igual a 5 cm é? a) 0 b) 5 c) 5 d) 50 e) 50 cm, de um quadrado que pode ser inscrito em um.

Leia mais

COLÉGIO MARQUES RODRIGUES - SIMULADO

COLÉGIO MARQUES RODRIGUES - SIMULADO COLÉGIO MRQUES RODRIGUES - SIMULDO PROFESSOR HENRIQUE LEL DISCIPLIN MTEMÁTIC SIMULDO: P5 Estrada da Água Branca, 2551 Realengo RJ Tel: (21) 3462-7520 www.colegiomr.com.br LUNO TURM 801 Questão 1 Qual dos

Leia mais

Aula 9 Triângulos Semelhantes

Aula 9 Triângulos Semelhantes MUL 1 - UL 9 ula 9 Triângulos Semelhantes efinição: ois triângulos são semelhantes se os três ângulos são ordenadamente congruentes e se os lados homólogos são proporcionais. figura mostra dois triângulos

Leia mais

13. (Uerj) Em cada ponto (x, y) do plano cartesiano, o valor de T é definido pela seguinte equação:

13. (Uerj) Em cada ponto (x, y) do plano cartesiano, o valor de T é definido pela seguinte equação: 1. (Ufc) Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A(2,0); B(0,4) e C(2Ë5, 4+Ë5). Determine o valor numérico da altura relativa ao lado AB, deste triângulo. 2. (Unesp) A reta r é perpendicular

Leia mais

(A) 30 (B) 6 (C) 200 (D) 80 (E) 20 (A) 6 (B) 10 (C) 15 (D) 8 (E) 2 (A) 15 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4 (A) 3 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4

(A) 30 (B) 6 (C) 200 (D) 80 (E) 20 (A) 6 (B) 10 (C) 15 (D) 8 (E) 2 (A) 15 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4 (A) 3 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4 TEOREMA DE TALES 1. Na figura abaixo as retas r, s e t são (A) 0 (B) 6 (C) 00 (E) 0. Três retas paralelas são cortadas por duas Se AB = cm; BC = 6 cm e XY = 10 cm a medida, em cm, de XZ é: (A) 0 (B) 10

Leia mais

Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Poĺıgonos Regulares. 9 o ano E.F.

Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Poĺıgonos Regulares. 9 o ano E.F. Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e ossenos, Poĺıgonos Regulares. Relações Métricas em Poĺıgonos Regulares 9 o ano.. Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e ossenos, Polígonos Regulares. Relações

Leia mais

E.E.M.FRANCISCO HOLANDA MONTENEGRO PLANO DE CURSO ENSINO MÉDIO

E.E.M.FRANCISCO HOLANDA MONTENEGRO PLANO DE CURSO ENSINO MÉDIO E.E.M.FRANCISCO HOLANDA MONTENEGRO PLANO DE CURSO ENSINO MÉDIO DISCIPLINA: GEOMETRIA SÉRIE: 1º ANO (B, C e D) 2015 PROFESSORES: Crislany Bezerra Moreira Dias BIM. 1º COMPETÊNCIAS/ HABILIDADES D48 - Identificar

Leia mais

PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria

PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria QUESTÕES DISCURSIVAS Questão 1. (PROFMAT-2012) As figuras a seguir mostram duas circunferências distintas, com centros C 1 e C 2 que se intersectam nos pontos A e

Leia mais

Triângulos DEFINIÇÃO ELEMENTOS

Triângulos DEFINIÇÃO ELEMENTOS Triângulos DEFINIÇÃO Do latim - triangulu, é um polígono de três lados e três ângulos. Os três ângulos de um triângulo são designados por três letras maiúsculas, B e C e os lados opostos a eles, pelas

Leia mais

Lista 3. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante.

Lista 3. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante. MA13 Exercícios das Unidades 4 e 5 2014 Lista 3 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante. 1) Seja ABCD um quadrilátero qualquer. Prove que os pontos médios

Leia mais

Projeto Jovem Nota 10 Áreas de Figuras Planas Lista 4 Professor Marco Costa

Projeto Jovem Nota 10 Áreas de Figuras Planas Lista 4 Professor Marco Costa 1 Projeto Jovem Nota 10 1. (Ufscar 2001) Considere o triângulo de vértices A, B, C, representado a seguir. a) Dê a expressão da altura h em função de c (comprimento do lado AB) e do ângulo A (formado pelos

Leia mais

I - INTRODUÇÃO II LUGARES GEOMÉTRICOS, ÂNGULOS E SEGMENTOS 1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO

I - INTRODUÇÃO II LUGARES GEOMÉTRICOS, ÂNGULOS E SEGMENTOS 1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA Professores: Deise Maria Bertholdi Costa, Luzia Vidal de Souza, Paulo Henrique Siqueira,

Leia mais

Exercícios Propostos. Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir.

Exercícios Propostos. Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir. Exercícios Propostos Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir. Exercício 2: As bissetrizes de dois ângulos adjacentes AÔB e BÔC são,

Leia mais

Ortocentro, Reta de Euler e a Circunferência dos 9 pontos

Ortocentro, Reta de Euler e a Circunferência dos 9 pontos Prof. ícero Thiago - cicerothmg@gmail.com rtocentro, Reta de uler e a ircunferência dos 9 pontos Propriedade 1. Seja o centro da circunferência circunscrita ao triângulo acutângulo e seja a projeção de

Leia mais

Lista 5. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.1, pág. 147 em diante.

Lista 5. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.1, pág. 147 em diante. MA13 Exercícios das Unidades 8, 9 e 10 2014 Lista 5 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.1, pág. 147 em diante. 1) As retas r, s e t são paralelas com s entre r e t. As transversais

Leia mais

. Calcule a medida do segmento CD. 05. No triângulo retângulo da figura ao lado, BC = 13m

. Calcule a medida do segmento CD. 05. No triângulo retângulo da figura ao lado, BC = 13m 05. No triângulo retângulo da figura ao lado, = 1m, D = 8m e D = 4m. alcule a medida do segmento D. LIST DE EXERÍIOS GEOMETRI PLN PROF. ROGERINHO 1º Ensino Médio Triângulo retângulo, razões trigonométricas,

Leia mais

Inscrição e circunscrição de sólidos geométricos. Esfera e cubo Esfera e cilindro Esfera e cone reto Cilindro e cone reto

Inscrição e circunscrição de sólidos geométricos. Esfera e cubo Esfera e cilindro Esfera e cone reto Cilindro e cone reto Inscrição e circunscrição de sólidos geométricos Esfera e cubo Esfera e cilindro Esfera e cone reto Cilindro e cone reto Introdução Nosso último estudo em Geometria será destinado aos sólidos inscritos

Leia mais

Turma preparatória para Olimpíadas.

Turma preparatória para Olimpíadas. p: João Alvaro w: www.matemaniacos.com.br e: joao.baptista@iff.edu.br Turma preparatória para Olimpíadas. TRIÂNGULOS - V01 DEFINIÇÃO Sejam três pontos não colineares A, B e C, o triângulo ABC é uma figura

Leia mais

Lista de exercícios sobre triângulos. (Comitê olímpico)

Lista de exercícios sobre triângulos. (Comitê olímpico) Lista de exercícios sobre triângulos. (Comitê olímpico) 1. (Ufpe) Na figura ilustrada abaixo, os segmentos AB, BC, CD, DE e EA são congruentes. Determine, em graus, a medida do ângulo CAD. 2. (Ufrj) O

Leia mais

Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Cartesianas 1 Coordenadas Cartesianas 1.1 O produto cartesiano Para compreender algumas notações utilizadas ao longo deste texto, é necessário entender o conceito de produto cartesiano, um produto entre conjuntos

Leia mais

Matemática Básica II - Trigonometria Nota 01 - Sistema de Coordenadas no Plano

Matemática Básica II - Trigonometria Nota 01 - Sistema de Coordenadas no Plano Matemática Básica II - Trigonometria Nota 01 - Sistema de Coordenadas no Plano Márcio Nascimento da Silva Universidade Estadual Vale do Acaraú - UVA Curso de Licenciatura em Matemática marcio@matematicauva.org

Leia mais

17 TRIÂNGULOS 17.1 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO. Definição: O encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo é único e chama-se circuncentro.

17 TRIÂNGULOS 17.1 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO. Definição: O encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo é único e chama-se circuncentro. 97 17 TRIÂNGULOS 17.1 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO Definição: O encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo é único e chama-se circuncentro. Propriedades: 1) O circuncentro é o centro da circunferência

Leia mais

1. Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x,...) e (12, y, 4,...) são grandezas inversamente proporcionais.

1. Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x,...) e (12, y, 4,...) são grandezas inversamente proporcionais. Nome: nº Professor(a): Série: 1ª EM. Turma: Data: / /2013 Sem limite para crescer Bateria de Exercícios de Matemática II 1º Trimestre 1. Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x,...) e (12, y, 4,...) são

Leia mais

Cevianas: Baricentro, Circuncentro, Incentro e Mediana.

Cevianas: Baricentro, Circuncentro, Incentro e Mediana. Cevianas: Baricentro, Circuncentro, Incentro e Mediana. 1. (Ita 014) Em um triângulo isósceles ABC, cuja área mede 48cm, a razão entre as medidas da altura AP e da base BC é igual a. Das afirmações abaixo:

Leia mais

III CAPÍTULO 21 ÁREAS DE POLÍGONOS

III CAPÍTULO 21 ÁREAS DE POLÍGONOS 1 - RECORDANDO Até agora, nós vimos como calcular pontos, retas, ângulos e distâncias, mas não vimos como calcular a área de nenhuma figura. Na aula de hoje nós vamos estudar a área de polígonos: além

Leia mais

Semi-Reta: é uma parte da reta limitada por apenas um ponto. É representada como mostra a figura acima.

Semi-Reta: é uma parte da reta limitada por apenas um ponto. É representada como mostra a figura acima. 01. Conceitos Primitivos: Ponto: é representado por uma letra maiúscula do nosso alfabeto. Reta: é representado por uma letra minúscula do nosso alfabeto. Plano: é representado por uma letra grega. 0.

Leia mais

3 ÁREAS E VOLUME DO TRONCO DE PIRÂMIDE 1 TRONCO DE PIRÂMIDE 2 SEMELHANÇA ENTRE AS PIRÂMIDES. 3.1 Área lateral. 3.2 Área das bases. 3.

3 ÁREAS E VOLUME DO TRONCO DE PIRÂMIDE 1 TRONCO DE PIRÂMIDE 2 SEMELHANÇA ENTRE AS PIRÂMIDES. 3.1 Área lateral. 3.2 Área das bases. 3. Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL VIII 1 TRONCO DE PIRÂMIDE Chamaremos de tronco de pirâmide de bases paralelas a porção da pirâmide limitada por sua base e por uma secção transversal qualquer

Leia mais

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Trigonometria no Triângulo Retângulo Trigonometria no Triângulo Retângulo Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina:

Leia mais

C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O. matemática. Calculando áreas de figuras geométricas planas

C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O. matemática. Calculando áreas de figuras geométricas planas C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O 05 matemática Calculando áreas de figuras geométricas planas Elizabete Alves de Freitas Governo Federal Ministério da Educação Projeto

Leia mais

Av. João Pessoa, 100 Magalhães Laguna / Santa Catarina CEP

Av. João Pessoa, 100 Magalhães Laguna / Santa Catarina CEP Disciplina: Matemática Curso: Ensino Médio Professor(a): Flávio Calônico Júnior Turma: 3ª Série E M E N T A II Trimestre 2013 Conteúdos Programáticos Data 21/maio 28/maio Conteúdo FUNÇÃO MODULAR Interpretação

Leia mais

Geometria Espacial - AFA

Geometria Espacial - AFA Geometria Espacial - AFA 1. (AFA) O produto da maior diagonal pela menor diagonal de um prisma hexagonal regular de área lateral igual a 1 cm e volume igual a 1 cm é: 10 7. 0 7. 10 1. (D) 0 1.. (AFA) Qual

Leia mais

Aula 11 Polígonos Regulares

Aula 11 Polígonos Regulares MODULO 1 - AULA 11 Aula 11 Polígonos Regulares Na Aula 3, em que apresentamos os polígonos convexos, vimos que um polígono regular é um polígono convexo tal que: a) todos os lados são congruentes entre

Leia mais

Ângulos nos triângulos Teorema angular de Tales: a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º. a a + b + c = 180º

Ângulos nos triângulos Teorema angular de Tales: a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º. a a + b + c = 180º RANILDO LOPES Ângulos nos triângulos Teorema angular de Tales: a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º. b a c a + b + c = 180º Teorema do ângulo externo: em qualquer triângulo,

Leia mais

Matemática Régis Cortes GEOMETRIA PLANA

Matemática Régis Cortes GEOMETRIA PLANA GEOMETRIA PLANA 1 GEOMETRIA PLANA Congruência: dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.  + Î = 180 graus Ê + Ô = 180 graus  + Ê + Î + Ô = 360 graus Quadrado l A = l 2 d

Leia mais

Geometria Plana 03 Prof. Valdir

Geometria Plana 03 Prof. Valdir eometria lana 03 rof. Valdir TS TÁVEIS E U TRIÂUL 1. RIETR É o ponto de equilíbrio ou centro de gravidade do triângulo. baricentro coincide com o ponto de intersecção das medianas do triângulo (na figura

Leia mais

PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIÇÃO Á DOCENCIA PROJETO MATEMÁTICA 1 TRIGONOMETRIA

PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIÇÃO Á DOCENCIA PROJETO MATEMÁTICA 1 TRIGONOMETRIA PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIÇÃO Á DOCENCIA PROJETO MATEMÁTICA 1 TRIGONOMETRIA Curitiba 2014 TÓPICOS DE GEOMETRIA PLANA Ângulos classificação: Ângulo reto: mede 90. Med(AôB) = 90 Ângulo agudo:

Leia mais

2. (Fgv 2005) a) Obtenha a área de um triângulo eqüilátero em função da medida h da altura.

2. (Fgv 2005) a) Obtenha a área de um triângulo eqüilátero em função da medida h da altura. 1 Projeto Jovem Nota 10 1. (Uerj 2004) No triângulo ABC abaixo, os lados BC, AC e AB medem, respectivamente, a, b e c. As medianas AE e BD relativas aos lados BC e AC interceptam-se ortogonalmente no ponto

Leia mais

CONE Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.

CONE Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. CONE Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma

Leia mais

Exercícios de Geometria Plana Tchê Concursos Prof. Diego

Exercícios de Geometria Plana Tchê Concursos Prof. Diego (001). Se a diferença entre o número de diagonais de dois polígonos convexos é 30 e um deles tem 5 lados a mais que o outro, então o número de lados de cada um dos polígonos é: (A) 5 e 10 (B) 6 e 11 (C)

Leia mais

DEMONSTRAÇÃO DOS TEOREMAS DE NAPOLEÃO E PITÁGORAS COM AUXÍLIO DO GEOGEBRA

DEMONSTRAÇÃO DOS TEOREMAS DE NAPOLEÃO E PITÁGORAS COM AUXÍLIO DO GEOGEBRA DEMONSTRAÇÃO DOS TEOREMAS DE NAPOLEÃO E PITÁGORAS COM AUXÍLIO DO GEOGEBRA Ana Clecia Capistrano de Maria 1, Leandro Santos Ribeiro 2, Ana Clívia Capistrano de Maria 3. 1. Instituto Federal de Educação,

Leia mais

Relações métricas nos triângulos retângulos 1) Usando o teorema de Pitágoras, determine os elementos indicados por x ou y nas figuras seguintes:

Relações métricas nos triângulos retângulos 1) Usando o teorema de Pitágoras, determine os elementos indicados por x ou y nas figuras seguintes: AS RESPOSTAS ESTÃO NO FINAL DOS EXERCÍCIOS. Relações métricas nos triângulos retângulos ) Usando o teorema de Pitágoras, determine os elementos indicados por ou nas figuras seguintes: d) e) f) g) h) 0

Leia mais

Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em a) 8 π. b) 12 π. c) 16 π. d) 32 π. e) 64 π.

Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em a) 8 π. b) 12 π. c) 16 π. d) 32 π. e) 64 π. GEOMETRIA PLANA LISTA 08 1. (Enem 01) Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são

Leia mais

Unidade 11 Geometria Plana I. Congruência e semelhança de figuras planas Relações métricas do triângulo retângulo Triângulo qualquer

Unidade 11 Geometria Plana I. Congruência e semelhança de figuras planas Relações métricas do triângulo retângulo Triângulo qualquer Unidade 11 Geometria Plana I Congruência e semelhança de figuras planas Relações métricas do triângulo retângulo Triângulo qualquer Congruência e Semelhança de Figuras Planas TRIÂNGULOS SEMELHANTES Dois

Leia mais

» Teorema (CROSSBAR) Seja ABC um triângulo e seja X um ponto em seu interior. Então todo raio AX corta o lado BC.

» Teorema (CROSSBAR) Seja ABC um triângulo e seja X um ponto em seu interior. Então todo raio AX corta o lado BC. » Teorema (CROSSBAR) Seja ABC um triângulo e seja X um ponto em seu interior. Então todo raio AX corta o lado BC. Iniciamos, nesta seção, o estudo sistemático da geometria dos quadriláteros. Dentre os

Leia mais

2. (Pucrj 2013) O retângulo DEFG está inscrito no triângulo isósceles ABC, como na figura abaixo: Utilize 1,7 como aproximação para 3.

2. (Pucrj 2013) O retângulo DEFG está inscrito no triângulo isósceles ABC, como na figura abaixo: Utilize 1,7 como aproximação para 3. 1. A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º. A soma das medidas dos ângulos internos de um hexágono é: a) 180º b) 360º c) 540º d) 70º e) 900º 4. (Enem 013) Em um sistema de dutos,

Leia mais

Polígonos Regulares Inscritos e Circunscritos

Polígonos Regulares Inscritos e Circunscritos Polígonos Regulares Inscritos e Circunscritos 1. (Fgv 013) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele. O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é

Leia mais

Grupo de exercícios I - Geometria plana- Professor Xanchão

Grupo de exercícios I - Geometria plana- Professor Xanchão Grupo de exercícios I - Geometria plana- 1. (G1 - ifce 01) Na figura abaixo, R, S e T são pontos sobre a circunferência de centro O. Se x é o número real, tal que a = 5x e b = 3x + 4 são as medidas dos

Leia mais

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 2 1 NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA 1.1 GEOMETRIA A necessidade de medir terras

Leia mais

PONTOS NOTÁVEIS DE UM. Professora Joseane Fernandes TRIÂNGULO

PONTOS NOTÁVEIS DE UM. Professora Joseane Fernandes TRIÂNGULO PONTOS NOTÁVEIS DE UM Professora Joseane Fernandes TRIÂNGULO PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO. Baricentro; Incentro; Circuncentro; Ortocentro. BARICENTRO - MEDIANA Mediana segmento de reta que liga o ponto

Leia mais

CONTEÚDO: Razões trigonométricas no Triangulo Retângulo e em Triângulo qualquer.

CONTEÚDO: Razões trigonométricas no Triangulo Retângulo e em Triângulo qualquer. LISTA DE EXERCICIOS - ESTUDO PARA A PROVA PR1 3ºTRIMESTRE PROF. MARCELO CONTEÚDO: Razões trigonométricas no Triangulo Retângulo e em Triângulo qualquer. (seno, cosseno e tangente; lei dos senos e lei dos

Leia mais

Unidade 6 Geometria: polígonos e circunferências

Unidade 6 Geometria: polígonos e circunferências Sugestões de atividades Unidade 6 Geometria: polígonos e circunferências 9 MATEMÁTICA Matemática. Considere um decágono regular dividido em 0 triângulos isósceles congruentes, conforme a figura a seguir..

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS DE REVISÃO DE MATEMÁTICA 2º ANO PROF.: ARI

LISTA DE EXERCÍCIOS DE REVISÃO DE MATEMÁTICA 2º ANO PROF.: ARI 01.: (FATEC) Um terreno retangular tem 170 m de perímetro. e a razão entre as medidas dos lados é 0,7, então a área desse terreno, em metros quadrados, é igual a: a) 7000 b) 5670 c) 4480 d) 1750 e) 1120

Leia mais

CONCURSO DE ADMISSÃO AO COLÉGIO MILITAR DO RECIFE - 96 / 97 MÚLTIPLA ESCOLHA

CONCURSO DE ADMISSÃO AO COLÉGIO MILITAR DO RECIFE - 96 / 97 MÚLTIPLA ESCOLHA 18 1 a QUESTÃO. (VALOR: 0 ESCORES) - ESCORES OBTIDOS MÚLTIPLA ESCOLHA ESCOLHA A ÚNICA RESPOSTA CERTA, ASSINALANDO-A COM X NOS PARÊNTESES ABAIXO. Item 01. A representação gráfica de M ( M N) P é a. ( )

Leia mais

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO IRUNFRÊNI ÍRUL 01 ( FUVST) medida do ângulo ˆ inscrito na circunferência de centro é, em graus, ) 100 ) 110 ) 10 ) 15 35º 0 0 ( U ) bserve a figura. la mostra dois círculos de mesmo raio com centros em

Leia mais

1º Banco de Questões do 4º Bimestre de Matemática (REVISÃO)

1º Banco de Questões do 4º Bimestre de Matemática (REVISÃO) Aluno(a): Professora: Deise Ilha Turno: Matutino. Componente Curricular: Matemática Data: / / 2016.. 1º Banco de Questões do 4º Bimestre de Matemática (REVISÃO) QUESTÃO 01 Tipo A (Julgar Certo ou Errado)

Leia mais

Aula 11 Conseqüências da semelhança de

Aula 11 Conseqüências da semelhança de onseqüências da semelhança de triângulos MÓULO 1 - UL 11 ula 11 onseqüências da semelhança de triângulos Objetivos presentar o Teorema de Pitágoras presentar o teorema da bissetriz interna. O Teorema de

Leia mais

Interbits SuperPro Web

Interbits SuperPro Web POLÍGONOS REGULARES 1. No estudo da distribuição de torres em uma rede de telefonia celular, é comum se encontrar um modelo no qual as torres de transmissão estão localizadas nos centros de hexágonos regulares,

Leia mais

Desenho Geométrico. Desenho Geométrico. Desenho Geométrico. Desenho Geometrico

Desenho Geométrico. Desenho Geométrico. Desenho Geométrico. Desenho Geometrico UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ- UVA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Desenho Geométrico Desenho Geométrico Desenho Geométrico Desenho Geometrico Daniel Caetano de Figueiredo Daniel Caetano de Figueiredo

Leia mais