1 ÁREA DO CÍRCULO E SUAS PARTES

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1 Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA XVII 1 ÁREA DO CÍRCULO E SUAS PARTES As principais figuras curvas que aparecem na Geometria Plana são o círculo e as suas partes. A seguir, nós vamos ver como calcular a área de cada uma delas. 1.3 Área do setor circular Se um setor circular possui raio e ângulo central, como está ilustrado na figura abaixo, a sua área será diretamente proporcional à área do círculo. Se medido em radianos, tem-se: 1.1 Área do círculo Se um círculo possui raio, como está ilustrado na figura abaixo, a sua área será: Figura 3 área do setor circular 1.4 Área do segmento circular Figura 1 área do círculo Observação: a circunferência o contorno do círculo e possui um comprimento. A rigor, a circunferência uma curva (logo possui comprimento) e o círculo uma região (logo possui área). Um segmento circular a região interior ao setor circular de raio e ângulo central e exterior ao triângulo isósceles, como está ilustrado na figura abaixo: Observação: o comprimento do arco de circunferência diretamente proporcional ao da circunferência. Se medido em radianos,. Assim, a circunferência um arco com ângulo central 1.2 Área da coroa circular Se uma coroa circular possui raio externo e raio interno, como está ilustrado na figura abaixo, a sua área será: Figura 4 área do segmento circular ( ) Figura 2 área da coroa circular CASD Vestibulares Geometria 1

2 Exercício Resolvido 1: Na coroa circular abaixo de centro, sabe-se que são colineares, e. Qual a área da coroa? Resolução: Calculando a área do círculo: Como o arco de circunferência delimitado pelo setor mede, o ângulo central do setor tambm. Uma maneira prática de determinar a área do setor simplesmente utilizar uma regra de três. Lembrando que um círculo pode ser enxergado como um setor de ângulo central, tem-se: Resposta: A área do setor circular Exercício Resolvido 3: Determine a área do segmento circular abaixo. Figura 5: figura do exercício resolvido 1 Resolução: Na coroa, o raio interno externo área da coroa e o raio. Então a Resolução: Figura 7: figura do exercício resolvido 3 Calculando a área do círculo: Resposta: A área da coroa circular Exercício Resolvido 2: Calculando a área do setor circular: Determine a área do setor circular abaixo. Calculando a área do triângulo isóscele Calculando a área do segmento circular: Figura 6: figura do exercício resolvido 2 ( ) Resposta: A área do segmento circular ( ) 2 Geometria CASD Vestibulares

3 Nível I EXERCÍCIOS PROPOSTOS 4. (UNICAMP - 13) O segmento o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo isósceles, conforme a figura abaixo. 1. (UFMG - 10) Por razões antropológicas desconhecidas, certa comunidade utilizava uma unidade de área singular, que consistia em um círculo, cujo raio media, e a que se dava o nome de anelar. Adotando-se essa unidade, CORRETO afirmar que a área de um quadrado, cujo lado mede, a) anelar b) anelar c) anelar d) anelares 2. (UNIFESP - 07) Se um arco de num círculo tem o mesmo comprimento de um arco de num círculo, então, a razão da área do círculo pela área do círculo Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por ( ) e ( ) podemos afirmar que quando radianos, a razão ( ) ( ) a) b) c) d) 3. (FATEC - 08) Na figura, o raio do círculo de centro três vezes o raio do círculo de centro e os ângulos centrais sombreados, e, são tais que a medida de a metade da medida de. 5. (UNICAMP - 12) Um vulcão que entrou em erupção gerou uma nuvem de cinzas que atingiu rapidamente a cidade de Rio Grande, a de distância. Os voos com destino a cidades situadas em uma região circular com centro no vulcão e com raio maior que a distância entre o vulcão e Rio Grande foram cancelados. Nesse caso, a área da região que deixou de receber voos a) maior que b) menor que c) maior que e menor que d) maior que e menor que Se, no círculo de centro, a área do setor circular sombreado igual a, então, no círculo de centro, a área do setor circular sombreado : 6. (FATEC - 08) Na figura a seguir tem-se o quadrado, cujo lado mede. As retas verticais dividem os lados e em partes iguais; as retas horizontais dividem os lados e em partes iguais. Considere o maior número possível de círculos que podem ser construídos com centros nos pontos assinalados, raios medindo e sem pontos internos comuns. Se do quadrado forem retirados todos esses círculos, a área da região remanescente, em centímetros quadrados, será igual a a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) CASD Vestibulares Geometria 3

4 Nível II 7. (FUVEST - 09) Na figura, estão representadas a circunferência, de centro e raio, e os pontos,, e, de tal modo que: 1. O ponto pertence ao segmento 2., 3. e são pontos da circunferência, perpendicular a e perpendicular a Dados e e sabendo que a altura mdia da lâmina de óleo sobre as águas era de e que barril de petróleo cru contm litros de óleo, o número aproximado de barris que vazaram no incidente foi Assim sendo, determine: a) A área do triangulo b) Os comprimentos dos arcos determinados por e em c) A área da região hachurada. 8. (UNESP - 12) No vazamento de petróleo da empresa americana Chevron do último dia 7 de novembro, na bacia de Campos/RJ, a mancha de óleo na superfície do mar assumiu grandes dimensões e teve seu pico de área entre os dias 12 e 14 daquele mês. O vazamento levou dias para ser contido, pois o petróleo continuava a escapar por fissuras, como mostrado na foto. 9. (ENEM CANCELADO - 09) Dois holofotes iguais, situados em e, respectivamente, iluminam regiões circulares, ambas de raio. Essas regiões se sobrepõem e determinam uma região de maior intensidade luminosa, conforme figura. Área do setor circular:, em radianos. A área da região, em unidades de área, igual a a) b) ( ) c) d) e) A figura mostra, de forma hipottica e aproximada, em tom escuro, as áreas da mancha de óleo na superfície do mar. 4 Geometria CASD Vestibulares

5 10. (UFRGS - 13) Observe a figura abaixo. de circunferência e tangencia as arestas e nos pontos e, respectivamente. No quadrado de lado, os lados e são diâmetros dos semicírculos. A área da região sombreada 11. (FUVEST - 07) Na figura, um setor circular com centro em, um retângulo e o segmento tangente em ao arco de extremos e do setor circular. a) Calcule a área do quadrilátero de papel que forma o papagaio. b) Calcule o comprimento da vareta de bambu que liga os pontos e. 14. (UFSCAR - 08) A figura representa três semicírculos, mutuamente tangentes dois a dois, de diâmetros, e. Se e, então a área do setor igual a (UNICAMP - 07) Em um triângulo com vrtices, e, inscrevemos um círculo de raio. Sabe-se que o ângulo tem e que o círculo inscrito tangencia o lado no ponto, dividindo esse lado em dois trechos com comprimentos e. Sendo perpendicular a, e sabendo-se que e, a medida da área da região sombreada na figura, em, igual a 15. (FUVEST - 12) a) Determine b) Determine e c) Determine a área da região que, ao mesmo tempo, interna ao triângulo e externa ao círculo 13. (UNICAMP - 10) O papagaio (tambm conhecido como pipa, pandorga ou arraia) um brinquedo muito comum no Brasil. A figura a seguir mostra as dimensões de um papagaio simples, confeccionado com uma folha de papel que tem o formato do quadrilátero, duas varetas de bambu (indicadas em cinza) e um pedaço de linha. Uma das varetas reta e liga os vrtices e da folha de papel. A outra, que liga os vrtices e, tem o formato de um arco Na figura, a circunferência de centro tangente à reta no ponto, o qual pertence à reta. Alm disso, e são pontos da circunferência, e. Nessas condições, determine a) a medida do segmento ; b) o raio da circunferência; c) a área do triângulo ; d) a área da região hachurada na figura. CASD Vestibulares Geometria 5

6 16. (FUVEST - 07) A figura representa um trapzio de bases e, inscrito em uma circunferência cujo centro está no interior do trapzio. Sabe-se que, e. DICAS E FATOS QUE AJUDAM 1. Note que anelar corresponde a 2. Sejam o raio do círculo e o raio do círculo. No círculo, o comprimento do arco de (ou ). No círculo, o comprimento do arco de (ou ). Como os comprimentos são iguais, tem-se: A razão entre as áreas ( ) ( ) 3. Sejam o raio do círculo de centro e o raio do círculo de centro. Então a razão entre as áreas dos setores circulares e a) Determine a altura do trapzio. b) Calcule o raio da circunferência na qual ele está inscrito. ( ) c) Calcule a área da região exterior ao trapzio e delimitada pela circunferência. 17. (UFMG - 11) Nesta figura plana, um triângulo equilátero de lado e, sobre os lados desse triângulo, estão construídos os quadrados, e 4. Seja. Use Pitágoras no triângulo e note que. Seja o raio da região semicircular. Então note que. Note que ( ) e que ( ) 5. O raio da região circular que deixou de receber vôos, logo a área da região 6. Note que possível colocar 3 círculos lado a lado na metade de cima do quadrado e mais 3 círculos lado a lado na metade de baixo do quadrado. Assim, a área do quadrado e a área dos círculos. Logo a área remanescente Considerando essas informações, a) Determine o perímetro do hexágono b) Determine a área do hexágono c) Determine o raio da circunferência que passa pelos vrtices do hexágono 6 Geometria CASD Vestibulares

7 7. No item a), note que. Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo : 10. A figura do problema a seguinte: Note que a área do triângulo No item b), no triângulo retângulo, tem-se No triângulo retângulo, tem-se Logo, os ângulos centrais determinados por e são e. No item c), aplicando Pitágoras no triângulo retângulo : Sejam,,, os pontos mdios dos lados,, e, respectivamente. Seja o centro do quadrado. Então, e são quadrados de lado, logo cada um deles têm área. Note que dentro de cada um dos quadrados e há um quarto de um círculo de raio, logo a área de cada um dos quartos de círculo Note que á area da região sombreada a diferença entre a soma das áreas dos quadrados, e e a soma das áreas dos quartos de círculo: Note que a área do triângulo A área do setor circular.. 8. Note que a área do triângulo retângulo ( ) ( ), a área do círculo, a área do quarto de círculo e a área de cada semicírculo. Assim, a área da lâmina de óleo aproximadamente ( ), o que equivale a. Alm disso, sabe-se que a espessura da lâmina. Logo, o volume da lâmina 9. A figura do problema a seguinte 11. A figura do problema a seguinte: Como tangente em ao arco de extremos e, tem-se que perpendicular a e a. Seja o ponto em que corta e. Então e Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo : ( ) Sejam e os centros dos círculos, e e as extremiddes de. Note que a região pode ser dividida em duas regiões de área, sendo cada região equivalente a um segmento circular de raio e ângulo central (o ângulo central, pois os triângulos e são equiláteros de lador ), logo o ângulo central ). Então: Logo a área do setor 12. No item a), use o Teorema do Bico para os vrtices, e e note que e. Alm disso,. Usando Pitágoras: ( ) ( ) No item b), basta trocar em e No item c), note que a área do triângulo CASD Vestibulares Geometria 7

8 13. No item a), a figura do problema a seguinte: 14. Como um ângulo inscrito em um semicírculo, ele enxerga um arco de, logo que. Então, aplicando Pitágoras no triângulo retângulo : No triângulo, sejam e. No triângulo, note que. Então os triângulos e são semelhantes. : oposto aos lados (no ) e (no ); Seja o ponto mdio de. Sejam e. Então, no triângulo retângulo, tem-se: : oposto aos lados (no ) e (no ); : oposto aos lados (no ) e (no ); Semelhança entre e : No triângulo retângulo, tem-se: Note que a área do triângulo e que a área do triângulo No item b), a figura do problema a seguinte: O semicírculo de diâmetro possui raio e área. O semicírculo de diâmetro possui raio e área. O semicírculo de diâmetro possui raio e área. Note que a área da região sombreada a diferença entre a área do semicírculo de diâmetro e a soma das áreas dos semicírculos de diâmetros e : ( ) Seja o centro do arco que liga a. Como o arco tangencia as arestas e nos pontos e, temse que, logo. Então. Seja ainda o raio do arco que liga a. Então,. Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo : Como e, o comprimento do arco que liga a 8 Geometria CASD Vestibulares

9 15. No item a), GABARITO Usando potência de ponto no ponto : 1. A 2. B No item b), aplicando Pitágoras no triângulo, calcule. Lembre-se que o dobro do raio. No item c), note que e use trigonometria para calcular. Como, o triângulo isósceles, logo e. Use a fórmula trigonomtrica para calcular a área do triângulo No item d), note que a área da região hachurada a área do setor menos a área do triângulo 16. No item a), como o trapzio inscritível,. Alm disso,, logo, então o trapzio isósceles. Trace uma perpendicular a por que corta em. Então, e a altura do trapzio. Use Pitágoras no triângulo para calcular a altura. No item b), use Pitágoras no triângulo para calcular. No triângulo retângulo, calcule. Então use a trigonometria para calcular. Finalmente, use a lei dos senos no triângulo para achar o raio. No item c), tome a diferença entre a área do círculo e a área do trapzio. 17. No item a), note que (afinal, ). Usando a lei dos cossenos nos triângulos, e, note que No item b), use a fórmula trigonomtrica para calcular a área dos triângulos, e : cada um deles tem uma área de. Alm disso, cada um dos quadrados, e tem área e o triângulo equilátero tem área No item c), seja o centro da circunferência. Por, trace uma perpendicular a que corta em e em. Note que,, um terço da altura do triângulo equilátero, logo ( ) 3. C 4. A 5. B 6. A 7. a) b) Os comprimentos dos arcos são e c) A área da região hachurada 8. B 9. A 10. E 11. C 12. a) b) e c) A área da região que, ao mesmo tempo, interna ao triângulo e externa ao círculo 13. a) A área do quadrilátero ( ) b) O comprimento da vareta de bambu 14. D 15. a) b) O raio c) d) A área hachurada ( ) 16. a) A altura do trapzio b) O raio da circunferência c) A área da região exterior ao trapzio e delimitada pelo trapzio 17. a) O perímetro do hexágono ( ) b) A área do hexágono ( ) O raio da circunferência a medida de encontrar, use Pitágoras no triângulo :. Para c) O raio da circunferência ( ) ( ( ) ) CASD Vestibulares Geometria 9