Projeto Jovem Nota 10 Áreas de Figuras Planas Lista 7 Professor Marco Costa

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1 1 Projeto Jovem Nota (Udesc 96) DETERMINE as áreas dos triângulos ABM e BCM. COMENTE estes resultados comparados com a área total. 2. (Fuvest 93) a) Calcule a área do quadrilátero inscrito numa circunferência de raio unitário, como indicado na figura a seguir. b) Expresse essa área em função de m = cos (Ufba 96) O triângulo ABC está inscrito num círculo de área igual a 16 cm, sendo Â=30, åæ=8cm e åè.æè=xcm. Determine o valor de xë3. 4. (Ufc 96) Quantos azulejos quadrados, medindo 15cm de lado, são necessários para revestir uma área retangular que mede 90cm de comprimento por 120cm de largura?

2 2 5. (Ufmg 95) Observe a figura Projeto Jovem Nota 10 Nessa figura, a circunferência de diâmetro OC=16 tangencia a reta OA. Para cada ponto P sobre a circunferência, P distinto de O e C, denote por x a medida do ângulo AÔP, onde 0<x< /2. a) Determine uma expressão para a área do triângulo OPC em função de x. b) Determine os valores de x para os quais a área do triângulo OPC seja 32. c) Determine x para que a área do triângulo OPC seja a maior possível. 6. (Ufmg 95) Seja P o ponto de interseção das diagonais do trapézio de altura h de bases AB=a e CD=b, com a>b. Expresse a diferença entre as áreas dos triângulos ABP e CDP, nessa ordem, em função de a, b e h. 7. (Ufpe 96) A figura a seguir possui x unidades de área. Determine o inteiro mais próximo de x.

3 8. (Ufpe 96) Num círculo, inscreve-se um quadrado de lado 7cm. Sobre cada lado do quadrado, considerase a semi-circunferência exterior ao quadrado com centro no ponto médio do lado e raio 3,5cm, como na figura a seguir. Calcule a área da região hachurada. 9. (Ufpe 96) Na figura a seguir P é o ponto médio do segmento AD do paralelogramo ABCD. Calcule a área, em m, do triângulo ÐAPB sabendo-se que a área do paralelogramo é 136m. 10.(Ufsc 96) A base de um triângulo mede 132m e sua altura, em metros é h. Se a base for aumentada em 22m e a altura, em 55m, obtém-se um novo triângulo cuja área é o dobro da área do primeiro. Calcule o valor de h.

4 11. (Unesp 90) O lado BC do triângulo ABC mede 20cm. Traça-se o segmento MN, paralelo a BC conforme a figura, de modo que a área do trapézio MNBC seja igual a 3/4 da área do triângulo ABC. Calcule o comprimento de MN. 12. (Unesp 92) A curva da figura a seguir representa o gráfico da função y=log x(i>1). Dos pontos B=(2,0) e C=(4,0) saem perpendiculares ao eixo das abscissas, as quais interceptam a curva em D e E, respectivamente. Se a área do trapézio retangular BCED vale 3, provar que a área do triângulo ABD, onde A=(1,0), vale 1/ (Unesp 93) Certos registros históricos babilônicos indicam o uso de uma regra para o cálculo da área do círculo equivalente à fórmula (em notação atual) A=c /12, onde c representa o comprimento da circunferência correspondente. Determine o valor de ocultos nesses registros. 14. (Unicamp 93) Prove que a soma das distâncias de um ponto qualquer do interior de um triângulo eqüilátero a seus três lados é igual à altura desse triângulo. 15. (Unicamp 93) Os vértices de um losango são os pontos médios dos lados de um retângulo. Mostre que a área do retângulo é o dobro da área do losango.

5 16. (Unicamp 93) No canto A de uma casa de forma quadrada ABCD, de 4 metros de lado, prende-se uma corda flexível e inextensível, em cuja extremidade livre é amarrada uma pequena estaca que serve para riscar o chão, o qual se supõe que seja plano. A corda tem 6 metros de comprimento, do ponto em que está presa até sua extremidade livre. Mantendo-se a corda sempre esticada de tal forma que inicialmente sua extremidade livre esteja encostada à parede BC, risca-se um contorno no chão, em volta da casa, até que a extremidade livre toque a parede CD. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule a área da região exterior à casa, delimitada pelo traçado da estaca. 17. (Unicamp 96) Em uma fotografia aérea, um trecho retilíneo de uma estrada que mede 12,5 km aparece medindo 5 cm e, na mesma fotografia, uma área queimada aparece com 9cm. Calcule: a) O comprimento que corresponde a 1 cm na mesma fotografia. b) A área da superfície queimada. 18. (Unicamp 96) Sejam A, B, C e D os vértices de um quadrado de lado a=10cm; sejam ainda E e F pontos nos lados AD e DC, respectivamente, de modo que BEF seja um triângulo eqüilátero. a) Qual o comprimento do lado desse triângulo? b) Calcule a área do mesmo. 19. (Unicamp 96) Uma folha retangular de cartolina mede 35cm de largura por 75cm de comprimento. Dos quatro cantos da folha são cortados quatro quadrados iguais, sendo que o lado de cada uma desses quadrados mede x cm de comprimento. a) Calcule a área do retângulo inicial. b) Calcule x de modo que a área da figura obtida, após o corte dos quatro cantos, seja igual a 1.725cm. 20. (Unicamp 96) A área A de um triângulo pode ser calculada pela fórmula: A = Ë[p(p-a)(p-b)(p-c)] onde a, b, c são os comprimentos dos lados e p é o semi-perímetro. a) Calcule a área do triângulo cujos lados medem 21, 17 e 10 centímetros. b) Calcule o comprimento da altura relativa ao lado que mede 21 centímetros.

6 GABARITO Projeto Jovem Nota Observe a figura a seguir: 2. a) S = cos 18 + sen 36 b) S = m [1+2Ë(1-m )] cm azulejos 5. a) A(x) = 64 sen (2x) b) { /12, 5 /12 } c) { /4 } 6. S ABP - S CDP = (a - b)h/ MN = Do gráfico, temos: D = (2; log 2) e E = (4; log 4) A área do trapézio BCDE é 3, logo (BD+CE).BC/2=3Ì (log 2 + log 4)/2 = 3 Ì log 2+log 4 = 3 Ì log (2.4) = 3 Ì log 8 = 3 Ì a =8Ì a = 2 Deste modo A = (1; log 1) = (1,0) e D = (2;log 2) = (2; 1). A área do Ð ABD, retângulo em B, é (AB.BD)/2=1/2 13. = 3

7 14. Observe a figura adiante: A soma das áreas dos triângulos PAB, PBC e CPA é igual a área do triângulo ABC. Assim: Øx/2 + Øy/2 + Øz = Ø.h/2 Ø/2(x + y + z) = Ø/2.hÌ x + y + z = h 15. Obseve a figura a seguir: Sendo M, N, P, Q pontos médios dos lados do retângulo ABCD, os triângulos AMQ, BMN, CPN, DPQ, OQM, OQP, ONM e ONP são congruentes pelo critério LAL. Assim Soma de ABCD = 8 Soma de OMQ Soma de MNPQ = 4 Soma de OMQ logo Soma de ABCD = 2 Soma de MNPQ

8 16. a) Observe a figura a seguir: b) A = 29 m 17. a) x = 2,5 km b) x = 56,25 km 18. a) 10 (Ë6 - Ë2) cm b) 100 ( 2Ë3-3) cm 19. a) 2625 cm b) x = 15 cm 20. a) A = 84 cm b) h = 8 cm