2. (Uerj 2001) Um triângulo acutângulo ABC tem 4cm de área e seus lados åæ e åè medem, respectivamente, 2cm e 5cm.

Transcrição

1 1 Projeto Jovem Nota (Ufv 2001) Seja AB o diâmetro de uma circunferência de raio r, e seja C um ponto da mesma, distinto de A e B, conforme figura a seguir. a) Sendo o ângulo AïC=, determine a área do triângulo ABC, em função de e r. b) Esta área é máxima para qual valor de. 2. (Uerj 2001) Um triângulo acutângulo ABC tem 4cm de área e seus lados åæ e åè medem, respectivamente, 2cm e 5cm. Mantendo-se as medidas desses dois lados e dobrando-se o ângulo interno Â, calcule o aumento percentual de sua área. 3. (Puc-rio 2000) Considere um hexágono regular H inscrito em um círculo de raio 1 com seus vértices numerados consecutivamente. Unindo os vértices ímpares, formamos um triângulo eqüilátero T. Calcule a área da região interna a H e externa a T, sabendo que a área do polígono regular de n lados inscrito no círculo de raio 1 é igual a n/2 sen(2 /n) 4. (Uerj 2001) Uma piscina, cujas dimensões são 4 metros de largura por 8 metros de comprimento, está localizada no centro de um terreno ABCD, retangular, conforme indica a figura abaixo. Calcule a razão entre a área ocupada pela piscina e a área ABCD.

2 2 Projeto Jovem Nota (Uerj 2001) Um atleta está treinando em uma pista retilínea e o gráfico abaixo apresenta dados sobre seu movimento. A distância percorrida pelo corredor, no intervalo entre 0 e 5 segundos, é igual à área do trapézio sombreado. Calcule essa distância. 6. (Uerj 2003) Uma praça, em forma de círculo de raio 12 m, tem sua área aumentada e ganha forma triangular. Três postes de luz, localizados nos pontos A, B e C, são os únicos pontos comuns ao contorno antigo e ao contorno novo, conforme mostra o gráfico a seguir. Nele, O é o centro do círculo e P tem, como coordenadas, (0, 20). Calcule, em m, a área da praça com sua nova forma.

3 7. (Ufal 2000) Na figura, tem-se a planta de um terreno com forma de trapézio e área de 240m. Determine o perímetro do terreno. 8. (Uff 2002) Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas, distando 30 cm uma da outra e a reta t é perpendicular às duas, distando 25 cm do ponto M. Determine a área do retângulo MNPQ em função de (0< <45 ). 9. (Uff 2002) Na figura a seguir, o quadrado MNPQ, com 20 m de lado, representa o terreno reservado à área de lazer da chácara de João. A região limitada pelo quadrado MRST, com 10m de lado, está destinada ao salão de jogos e à churrasqueira. O círculo, contendo o ponto S e tangente ao quadrado MNPQ nos pontos U e V, representa a região destinada à construção da piscina. Determine a área da região que será ocupada pela piscina.

4 10. (Uff 2002) Os lados MQ e NP do quadrado MQPN estão divididos em três partes iguais, medindo 1cm cada um dos segmentos MU, UT, TQ, NR, RS e SP. Unindo-se os pontos N e T, R e Q, S e M, P e U por segmentos de reta, obtém-se a figura: Calcule a área da região sombreada na figura acima. 11. (Ufg 2001) Considere uma circunferência de raio R e quatro circunferência de raio r, todas tangentes entre si, conforme a figura abaixo. a) Obtenha uma expressão que relacione os raios r e R. b) Para R = 2 cm, calcule o valor da área sombreada na figura.

5 12. (Uflavras 2000) Um triângulo é cortado por dois segmentos paralelos à base, determinando 2 trapézios de áreas iguais (S e S ). Sabendo-se que a base mede 3cm e o segmento superior 1cm, determinar a medida do segmento x. Sugestão: - Em figuras semelhantes, a razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança. 13. (Ufpe 2000) O hexágono regular ABCDEF tem área 60. Qual a área do hexágono GHIJKL que tem vértices nos pontos médios dos lados de ABCDEF?

6 14. (Ufpe 2000) Quatro tonéis cilíndricos idênticos de raio da base 1m e altura 3m devem ser transportados juntos num "container" da mesma altura dos cilindros conforme a ilustração abaixo. Qual o inteiro mais próximo da área lateral (em m ) do "container"? 15. (Ufrj 2002) A figura a seguir é formada por dois quadrados ABCD e A'B'C'D', cujos lados medem 1 cm, inscritos numa circunferência. A diagonal AC forma com a diagonal A'C' um ângulo de 45. Determine a área da região sombreada da figura. 16. (Ufrj 2003) Na figura a seguir, os círculos C, C e Cƒ estão inscritos nos quadrados ABCD, DEFG e GHIA, respectivamente. Sabendo-se que o ângulo AGD é reto e que a área de C é igual a 1, calcule a soma das áreas de C e de Cƒ. Justifique.

7 17. (Ufrn 99) Considerando o triângulo equilátero ABC, de lado Ø, representado na figura adiante. a) marque um ponto P no interior do triângulo. Esboce segmentos representativos das distâncias de P aos lados AB, BC e AC. Represente essas distâncias, respectivamente, por x, y e z. b) calcule a soma das áreas dos triângulos APB, BPC e APC em função de Ø, x, y e z. c) prove, utilizando os resultados do subitem B, que x+y+z=h, sendo h a altura do triângulo ABC. 18. (Ufrrj 2001) Na figura abaixo, o ponto "A" dista 4cm do centro da circunferência e as semi-retas AB e AC formam um ângulo de 60 e são tangentes à circunferência. Calcule a área do triângulo ABC.

8 19. (Ufg 2001) Um sítio de 40 hectares de área tem a forma de um triângulo, conforme mostrado na figura abaixo. O triângulo ACD representa uma reserva florestal, cuja área é 20% da área total do sítio. Sabendo que M é o ponto médio do segmento DC (observe que os triângulos BDM e BMC têm a mesma altura, em relação às bases DM e MC, respectivamente), julgue os itens a seguir. ( ) A área do triângulo BDM é igual à área do triângulo BCM. ( ) A área do triângulo ACM é igual a 20% da área do triângulo BCM. ( ) Sabendo-se que na região representada pelo triângulo BDM existe um rebanho bovino de 80 cabeças, então, nessa região, a média é de 5 cabeças por hectare. ( ) Para corrigir a acidez do solo na área representada pelo triângulo BCM, foram espalhadas 30 toneladas de calcário. Sabendo-se que o preço da tonelada de calcário é de R$15,00, o custo médio, por hectare, do calcário utilizado, foi superior a R$30, (Ufg 2001) Considere um triângulo ABC, inscrito em uma circunferência de centro O e raio r, conforme a figura abaixo. Sabendo que o ângulo mede 150 e o segmento AC mede 4cm, julgue os itens abaixo. ( ) sen(abc) = sen(adc) ( ) A área do triângulo ACD é 8Ë3cm. ( ) O raio da circunferência é r=4cm. ( ) O triângulo ACO é eqüilátero.

9 GABARITO Projeto Jovem Nota a) A = r. sen (2 ) b) = % 3. 3Ë(3/4) 4. 1/ ,5 m 6. área = 768 m m 8. [25 (30-25tg )]/cos (3-2Ë2 ) m 10. 4,5 cm. 11. a) R = ( 1 + Ë2) r b) A = 4 (4 - ) (3-2Ë2) 12. x = Ë5 cm (6-4Ë2) cm 16. Sejam r, r, rƒ os raios de C,C,Cƒ respectivamente. Como AD = 2r, DG = 2r e AG = 2rƒ, temos, pelo Teorema de Pitágoras, 4r = 4r + 4r ƒ. Multiplicando ambos os lados da igualdade acima por /4, obtemos r = r + r ƒ. Portanto, a soma das áreas de C e Cƒ é igual à área de C: área(c ) + área(cƒ) = área(c) = 1.

10 17. a) Observe a figura a seguir Projeto Jovem Nota 10 b) A = Ø(x + y + z)/2 c) A(APB) + A(BPC) + A(APC) = A(ABC) Ø(x + y + z)/2 = Ø. h/2. x + y + z = h 18. S = 3Ë3 cm 19. V F V F 20. V V V V