Triângulo Retângulo. Relações Métrica e Teorema de Pitágoras

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1 Triângulo Retângulo Relações Métrica e Teorema de Pitágoras 1. (Pucrj 013) Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 8 metros a leste de um hidrante, andou 6 metros na direção norte e parou. Assim, a distância entre a bicicleta e o hidrante passou a ser: a) 8 metros b) 10 metros c) 1 metros d) 14 metros e) 16 metros. (G1 - ifsp 013) Um instrumento musical é formado por 6 cordas paralelas de comprimentos diferentes as quais estão fixadas em duas hastes retas, sendo que uma delas está perpendicular às cordas. O comprimento da maior corda é de 50 cm, e o da menor é de 30 cm. Sabendo que a haste não perpendicular às cordas possui 5 cm de comprimento da primeira à última corda, se todas as cordas são equidistantes, a distância entre duas cordas seguidas, em centímetros, é a) 1. b) 1,5. c). d),5. e) (Unesp 013) A figura, fora de escala, representa o terreno plano onde foi construída uma casa. Sabe-se do quadrilátero ABEF que: Seus ângulos ABE ˆ e AFE ˆ são retos. AF mede 9 m e BE mede 13 m. o lado EF é m maior que o lado AB. Nessas condições, quais são as medidas, em metros, dos lados AB e EF? Página 1 de 15

2 4. (Ufsj 013) Um triângulo isósceles inscrito em um círculo de raio igual a 8 cm possui um lado que mede 16 cm. A medida dos outros dois lados do triângulo, em cm, é igual a a) 8. b) 8. c) 16. d) (Ufsj 013) Considere uma corda AB, perpendicular ao diâmetro EC de um círculo de centro O. Sendo o ponto D a interseção dos segmentos AB e EC e sabendo que CD = 4cm e ED = 9cm, a área do triângulo AED, em cm, é igual a a) 7. b) 18. c) 36. d) (Fgv 013) Um triângulo tem lados medindo 1cm, cm e,5cm. Seja h a medida da altura relativa ao maior lado. O valor de h expresso em cm é, aproximadamente, igual a a) 0,54 b) 0,56 c) 0,58 d) 0,60 e) 0,6 7. (Uepb 013) No retângulo ABCD de lado AB 3 cm, BC 7cm, o segmento AP é perpendicular à diagonal BD. O segmento BP mede em cm: a) 9 b) 7 4 c) 9 4 d) 3 4 e) Página de 15

3 8. (Espm 01) Na figura plana abaixo, ABCD é um quadrado de área 10 cm. Os segmentos CE e CF medem 4 cm cada. Essa figura deverá ser dobrada nas linhas tracejadas, fazendo com que os pontos E e F coincidam com um ponto P do espaço. A distância desse ponto P ao ponto A é igual a: a) 6 cm b) 5 cm c) 4 cm d) 5 cm e) 6 cm 9. (G1 - ifal 01) Sejam (x 5)cm, (x + )cm e (x + 3)cm, com x > 5, as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Assinale a alternativa errada. a) Esse triângulo é escaleno. b) A hipotenusa desse triângulo mede 13 cm. c) Os catetos desse triângulo medem 5 cm e 1 cm. d) A área desse triângulo tem 30 cm. e) Existem dois triângulos nessas condições. 10. (G1 - ifal 01) Considere um triângulo cujas medidas dos lados são: 10 cm, 100 mm e dm, e um quadrado de área igual a 100 cm. Assinale a alternativa correta. a) A área do triângulo é igual à metade da área do quadrado. b) O lado do quadrado mede 50 cm. c) O lado do quadrado mede 10 dm. d) A área do triângulo tem 100 cm. e) A área do triângulo é igual ao dobro da área do quadrado. 11. (Espm 01) A figura abaixo representa um paralelepípedo reto-retângulo de medidas AF = 4, FC = 3 e CE = 3, sendo B o ponto médio de DE. O perímetro do triângulo ABC é igual a: a) 1 b) 14 c) 13 d) 15 e) 11 Página 3 de 15

4 1. (Unesp 01) No futebol, um dos gols mais bonitos e raros de se ver é o chamado gol olímpico, marcado como resultado da cobrança direta de um escanteio. Suponha que neste tipo de gol: 1. A projeção da trajetória da bola descreva um arco de circunferência no plano do gramado;. A distância (d) entre o ponto da cobrança do escanteio e o ponto do campo em que a bola entra no gol seja 40 m; 3. A distância máxima (h) da projeção da trajetória da bola à linha de fundo do campo seja 1m. Determine o raio da circunferência (R), em metros, do arco descrito pela trajetória da bola, com uma casa decimal de aproximação. 13. (Pucrj 01) Seja ABC um triângulo retângulo em B. Seja AD a bissetriz de CÂB. Sabemos que AB mede 1 e que BD mede 1. Quanto mede o cateto BC? a) 1 b) c) 3 d) 4 3 e) Página 4 de 15

5 14. (Insper 01) A figura mostra parte de um campo de futebol, em que estão representados um dos gols e a marca do pênalti (ponto P). Considere que a marca do pênalti equidista das duas traves do gol, que são perpendiculares ao plano do campo, além das medidas a seguir, que foram aproximadas para facilitar as contas. Distância da marca do pênalti até a linha do gol: 11 metros. Largura do gol: 8 metros. Altura do gol:,5 metros. Um atacante chuta a bola da marca do pênalti e ela, seguindo uma trajetória reta, choca-se contra a junção da trave esquerda com o travessão (ponto T). Nessa situação, a bola terá percorrido, do momento do chute até o choque, uma distância, em metros, aproximadamente igual a a) 1. b) 14. c) 16. d) 18. e) (Ufpa 01) Uma passarela construída em uma BR no Pará tem um vão livre de comprimento 4L. A sustentação da passarela é feita a partir de 3 cabos de aço presos em uma coluna à esquerda a uma altura D da passarela. Esta coluna por sua vez é presa por um cabo de aço preso a um ponto na mesma altura da passarela, e a uma distância L da passarela, conforme representa a figura a seguir. Supondo L=9m e D=1m, comprimento total dos quatro cabos de aço utilizados é, em metros,: a) 57 b) 111 c) d) e) Página 5 de 15

6 16. (G1 - ifal 011) Num triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 4 m e 1 m, respectivamente. Calcule a área desse triângulo. a) 5 cm b) 50 cm c) cm d) 50 dm e) 5 dm 17. (G1 - ifce 011) A altura, baixada sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo, mede 1 cm, e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa diferem de 7 cm. Os lados do triângulo são, em centímetros, iguais a a) 10, 15 e 0. b) 1, 17 e. c) 15, 0 e 5. d) 16, 1 e 6. e) 18, 3 e (Ufsc 010) Calcule o valor numérico de t na figura a seguir: 19. (G1 - cftmg 010) Na figura seguinte, as raízes da equação da parábola expressa por y = a (x x 1 ) (x x ), com a lr*, são x 1 e x. Os valores de a, x 1 e x são, respectivamente, a),, b),, c),, d),, Página 6 de 15

7 0. (Uerj 010) Observe a figura a seguir, que representa um quadrado ABCD, de papel, no qual M e N são os pontos médios de dois de seus lados. Esse quadrado foi dividido em quatro partes para formar um jogo. O jogo consiste em montar, com todas essas partes, um retângulo cuja base seja maior que a altura. O retângulo PQRS, mostrado a seguir, resolve o problema proposto no jogo. Calcule a razão PS. PQ Página 7 de 15

8 Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Sejam A o ponto onde se encontrava inicialmente a bicicleta e B o ponto a 6 metros ao norte de A. Chamando de C o ponto onde se encontra o hidrante, segue que a distância pedida corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo ABC, reto em A. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, vem BC AC AB BC 8 6 BC 100 BC 10 m. Resposta da questão : [E] 5 = 0 + (5x) 65 = x 5x = 5 x = 9 x = 3 Resposta da questão 3: Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos AFE e ABE, obtemos AE 9 (AB ) e AE AB 13. Logo, 81 AB 4 AB 4 AB 169 AB 1m. Portanto, AB 1m e EF 3 m. Página 8 de 15

9 Resposta da questão 4: [B] O lado que mede 16 cm é diâmetro da circunferência e a ângulo x x 16 x 156 x 18 x 8. ACB ˆ 90, logo: Resposta da questão 5: [A] EÂC 180 : 90 No triângulo retângulo AEC, temos: h 9 4 h 36. Logo, h 6. Portanto, a área do triângulo AED será dada por: A (6 9) : 7cm Página 9 de 15

10 Resposta da questão 6: [C] Considere a figura, em que AC 1, AB, BC,5 e AH h. Façamos HB x, com 0 x,5. Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos AHC e AHB, obtemos h 1 (,5 x) e h x. Logo, 1 6,5 5x x 4 x 5x 9,5 Portanto, h 4 (1,85) 0,58. x 1,85 cm. Resposta da questão 7: [C] Pelo Teorema de Pitágoras, temos: BD AB AD BD 3 ( 7) BD 4cm. Portanto, como o quadrado de um cateto é igual ao produto da sua projeção pela hipotenusa, vem: AB BP BD 3 BP 4 9 BP cm. 4 Página 10 de 15

11 Resposta da questão 8: [A] Como o quadrado ABCD tem área igual a 10cm, vem que AB 10cm. De acordo com as informações, temos que o segmento PA é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos CP 4cm e AC AB cm. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, obtemos PA AC CP PA (AB ) CP PA 10 4 PA 36 PA 6cm. Resposta da questão 9: [E] Aplicando o teorema de Pitágoras temos: (x + 3) = (x + ) + (x 5) x 10x + 0 = 0 x = (não convém) ou x = 10 Portanto, os lados do triângulo são 5, 1 e 13 e a alternativa incorreta é a [E]. Resposta da questão 10: [A] 100 mm = 10 cm e dm 10 cm Este triângulo é retângulo, pois , logo, sua área será metade da área de um quadrado de lado 10 cm. Resposta da questão 11: [B] 10, ou seja, Página 11 de 15

12 AC BC GB Logo, o perímetro será: P = = 13. Resposta da questão 1: Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo assinalado, temos: R = (R 1) + 0 R = R R R = 401 R = 00,5 m. Resposta da questão 13: [D] Pelo Teorema da Bissetriz Interna, temos que 1 BD CD CD AB AC 1 AC AC CD. Desse modo, pelo Teorema de Pitágoras, vem 1 AC BC AB ( CD) CD CD CD CD u.c. 6 Portanto, Página 1 de 15

13 BC BD CD u.c. 3 Resposta da questão 14: [A] Considerando x a distância pedida, temos: y = y = 137 x = y +,5 x = ,5 x = 143,5 x 1m Resposta da questão 15: [D] Considere a figura. Como BC CD e AC BD, segue que AB AD. Queremos calcular AB AE AF. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, vem AB BC AC AB 15 m. Analogamente, para os triângulos ACE e ACF, obtemos AE CE AC AE 6 13 m Página 13 de 15

14 Portanto, o resultado pedido é: AB AE AF Resposta da questão 16: [C] e AF CF AC AF 3 97 m. ( ) m. A hipotenusa medirá = 5 m Utilizando que a quadrado da altura é igual ao produto das projeções, temos: 5. A altura será calculada por h = 1.4 h = m. Logo, A 5m = cm Resposta da questão 17: [C] Considere a figura abaixo, em que a, b e c são os lados procurados. Sabemos que m n 7 m n 7 e que h 1. Das relações métricas no triângulo retângulo, obtemos h mn (n 7)n 144 n 7n n 9 ou n 16. Logo, m e a m n Daí, como o triângulo dado é semelhante ao triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5, segue que b e c Resposta da questão 18: t = Página 14 de 15

15 Resposta da questão 19: [A] x = x= 13 Utilizando relações métricas no triângulo retângulo, temos: 5 = 13.m m = 5 13 logo, 5 x = 13.m m = logo, 144 x h = 1.5 h = 60 logo B(0, 60/13) 13 Substituindo o ponto B na função, temos: Resposta da questão 0: CN NB BC CN x 4x CN x 5 CD MC MC x A seguinte relação é válida para o triângulo ADM: x x 5xDE x DE 5 Como PQ DE, pode-se obter a razão: PS x 5 5 PQ x 5 Página 15 de 15