LISTA DE EXERCÍCIOS 3º ANO

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Iasmin Pereira Farias
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1 Questão Considere a figura. (3-3 ) cm O trajeto ACDB tem comprimento mínimo quando B, D e H são colineares. Com efeito, se D' é um ponto da reta DK e C' é o pé da perpendicular baixada de D' sobre a reta HK ', então, pela Desigualdade Triangular, BD' + D'H = BD' + AC' > BD + DH = BH. Portanto, como os triângulos BDK e DHC são semelhantes por AA, segue-se que DK BK DK 5 = = CH CD 18 DK,5 DK = 1km. GAB LISTA - 11

2 Questão a) Sejam a, b e c, respectivamente, a hipotenusa e os catetos do triângulo procurado. De acordo com o enunciado, temos: CN = NB + BC CN = x + 4x CN = x 5 CD MC = MC = x A seguinte relação é válida para o triângulo ADM: x x 5xDE = x DE = = Donde b = 5 e c = 1. Logo a = = 13. b) De modo análogo ao item (a), vem: 1 1 x + 1+ x 1 x + = = x 1 x+ 1 x 1 x 1 Como PQ PS x 5 = = 5 PQ x 5 = DE, pode-se obter a razão: Assim, b = x e c = x 1. e, portanto, a =. 4 4x + x x + 1 = (x + 1) = x + 1 E como x é um inteiro maior do que 1, podemos concluir que x + 1, x e x 1 são inteiros. c.q.d. GAB LISTA - 1

Questão d = R + (R).R.R.cos è d = 5R 4.R.(3/4) d =.R d= R d = 6400. km a) No triângulo assinalado: R é a medida do raio da terra.

3 Questão d = R + (R).R.R.cos è d = 5R 4.R.(3/4) d =.R d= R d = km a) No triângulo assinalado: R é a medida do raio da terra. Portanto, o arco AB mede 10 e seu comprimento será dado por: Considere a figura, em que P' e Q' são, respectivamente, os simétricos de P e Q em relação a RT com pertencente a L. ð R ð = = ð km b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos: Como Q e Q' são os pontos médios de PR e P'R, segue-se que S é o baricentro do triângulo PRP'. Logo, RS = ST e, portanto, RT = 3 ST. GAB LISTA - 13

4 Do triângulo PRT, vem PT tg60 = PT = 3 3 ST RT e PT 3 3 ST sen60 = PR = PR 3 PR = 6 ST. Do triângulo PST, obtemos tgá PT 3 3 ST = tgá = ST ST tgá = 3 3. Sabendo que cossec á = 1+ cotg á e que á é agudo, encontramos 1 7 cossec á = 1+ sená = sen á =. 14 Finalmente, aplicando a Lei dos Senos no triângulo QRS, vem PR QR RS ST = = sená senè 3 1 senè 14 1 sen è =. 7 GAB LISTA - 13

5 Questão Utilizando uma relação métrica na circunferência, aquela relação entre secante e tangente, temos: CO = 8.18 CO = 1 a) 18π cm b) 4 cm GAB LISTA - 15

6 Questão a) [ - ). L b) 8. ( - 1). L Os triângulos ECF e ABF são semelhantes. Considerando x a altura do triângulo ECF e (3 x) a altura do triângulo ABF, temos: III) Área (BCF) = Área (ABC) = Área (ABF) = = = I) x = 1 5x = 3 - x 6x = 3 x = 3 = x 5 6 II) Área (ABF) = (5). 3-1 = (5). 5 = 5 = 5 4 GAB LISTA - 16

7 Questão Na figura, temos: tg60º = 3 x = 1 x a 3 = 3 a = 4 y = π. 3.10º = π º 3 Portanto, a distância d percorrida pelo centro F é dada por: ð 3 d = a x+ a x+ y = 6+ dm 3 Na figura abaixo, H 1, H e H 3 são os pontos em que os círculos de centros A, B e C tangenciam a reta. Seja O o centro do círculo circunscrito ao triângulo ABC. É fácil ver que BH1 + AH =.BH1 = AM, com M sendo o ponto médio do lado BC. Logo, pela propriedade da mediana, obtemos 4 OA = AM = BH 1, 3 3 ou seja, o raio do círculo maior é igual a 4 do raio dos círculos menores. 3 GAB LISTA - 17

8 Questão a) 109, metros b) 910 ingressos a) O perímetro do hexágono é igual a 6. 1 = 7 cm, e sua área é dada por = 16 3 cm. A diagonal CF corresponde ao diâmetro do círculo circunscrito a ABCDEF. Logo, que o raio do círculo circunscrito ao hexágono e o lado do hexágono são congruentes, temos CF = 4 cm. Sabendo que CFE = 60º, do triângulo retângulo CFE, vem sen 60 = CE 3 = CE CE = 1 3 cm. CF 4 GAB LISTA - 18

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