GABARITO R4 SETOR 1101 MATEMÁTICA. m / 2, 8 m 4. y 1. 90, se 0 x ,6. x 30, se x 200' Saturno : 150km x 300km. Mercúrio : 0km x 150km ou x 300km

Transcrição

1 GABARITO R4 MATEMÁTICA SETOR 0 Resposta da questão : a) V = m /, 8 m. 4 b) m - ou m. c) m = y d) x = [ ] -. Resposta da questão : a) Cs(x) = 0,4. x + 30 e 90, se 0 x 00 Cm(x) 0,6. x 30, se x 00' onde Cs(x) e Cm(x) denotam, respectivamente, o custo diário nas locadoras Saturno e Mercúrio para x quilômetros percorridos. b) Saturno : 50km x 300km Mercúrio : 0km x 50km ou x 300km R$0,30 por quilômetro rodado. Resposta da questão 3: a) x < - 5/ ou x > 0.

2 b) p - 3. Resposta da questão 4: a) Re(ω ) = - e Im(ω ) = - Re(ω 3 ) = e Im(ω 3 ) = 0. 3 b) c), - + i 3 e - - i 3. Resposta da questão 5: a) Fatorando p(x), obtemos 3 p(x) x x 9x 8 x (x ) 9(x ) (x )(x 9). Portanto, r 3 e s. b) Se z i, então z ( i) i. Logo, p(z) ( i )(i 9) i 9i i 9 7 i. Resposta da questão 6: a) Como os coeficientes de p(x) são números reais, segue-se que suas raízes são, αi e αi. Logo,

3 p(x) (x ( ))(x ( αi))(x ( αi)) (x )(x x α ). Sabendo que o resto da divisão de p(x) por (x ) é 8 e α 0, pelo Teorema do Resto, vem p() 8 ()( α ) 8 α 4 α. b) Utilizando os resultados obtidos em (a), segue que o quociente de p(x) por x é p(x) (x )(x x 5) x x 5. x x Resposta da questão 7: n = número inicial de trabalhadores. Cada trabalhador deveria receber n Como três desistiram e os demais receberam cada 600 reais a mais referente ao valor que caberia aos três desistentes, temos a equação: (n 3) 3 6.(n 3) 6n 8n 34 0 n n Resolvendo a equação acima, temos: n = 9 ou n = 6 (não convém). a) Portanto, 6 (9 3) trabalhadores realizaram o serviço. b) Cada um deles recebeu reais. 6 Resposta da questão 8: a) P(x) = x 4 +.x + x P(x) (x ) ( x) P(x) (x x )(x x ) Resolvendo as equações: 3

4 x x 0, temos x x 0, temos i i x ou x i i x ou x b) P(x) = x 4 +.x + x P(x) (x ) ( x) P(x) (x x )(x x ) Resposta da questão 9: a) Utilizando o teorema do resto, temos: p 3. k 3 8 k 3 k b) Fazendo k = 4, temos P(x) = x x + 6 com raízes a e b, onde: a + b = ( )/ = e a.b = 6/ = 6 π π (a b). π π sen sen sen a b a.b 6 Resposta da questão 0: a) Tomando como referência o ponto (,) destacado no gráfico, temos:. p p 0 p. b) x x 3 x 3 x x 3 x ou x 3 x Ûx 5 ou x 9. x = 9 não convém, pois.9 < 0. Portanto, o valor de x que satisfaz a equação é 5. Resposta da questão : a) Como os coeficientes são reais, as raízes complexas aparecem com suas respectivas conjugadas, então (+i), (-i), r e r são raízes de P(x) Utilizando, agora, a relação do produto das raízes, temos: 8 ( i) ( i) r ( r).r 8 r Portanto, as raízes de p(x) são (+i), (-i), e - 4

5 Escrevendo o polinômio na forma fatorada, temos: P x. x i.(x i. x. x 4 3 P x x x x 8x 8 Logo, a, c e c 8. b) Subtraindo de cada uma das raízes, temos; i i i i 3 Portanto, q x k. x i. x i. x. x 3 q x k. x. x. x 3 Para k diferente de zero.. Resposta da questão : Numa viagem de 378km são consumidos litros de combustível. Logo, a quantidade de 3,5 8,7 75,6kg. CO emitida pelo carro foi de. Seja c(v) av bv c a lei da função que fornece a quantidade de velocidades entre 0 e 40km h. Da tabela fornecida obtemos: a 0 b 0 c 400, a 30 b 30 c 50 e a 40 b 40 c 00. CO, em g km, com relação à velocidade v, para Assim, queremos calcular a, b e c, de modo que: 400a 0b c a 30b c a 40b c 00 5

6 Logo, a c 400 0b 400a 50a b 5 b a b 0 c 000 Portanto, c(v) v 40v 000. Resposta da questão 3: Raízes: x,x,x.q q Multiplicando as raízes, encontramos x 3 = ( 64) x 4 b) Fazendo x = 4, encontramos o valor de k k 64 = 0 k = 56 a) Considerando k = 56 e aplicando Briott Ruffini: Resolvendo, agora a equação x 0x + 6 = 0 as outras raízes são e 8. Logo, as raízes são, 4 e 8. Resposta da questão 4: i i z0 i (i)( i) i.i i i a) z0 i z0 z0.i Parte real = e parte imaginária =.i 6

7 b) Se i é raiz, então seu conjugado i também será. Calculando a soma das raízes S = i + i = Calculando o produto de raízes: P = i. i = 5 4 Utilizando a equação x S.x + P = 0, temos: x x x 4x + 5 = 0 = 0 (multiplicando por 4) c) zo.w = 5.( ) W = 5( i) 6 i i Ou zo.w = 5. W = 5( i) 6 i i d) Resposta: Z = +.i Resposta da questão 5: 7

8 a) (- 7/5, 3/5, 3/5). b) - 73/5. Resposta da questão 6: a) Se o preço subir para R$ 8,00 b) f(x) = - 5 (x - 0) (x + 5), com 0 x 0 c) R$ 7,50 Resposta da questão 7: a) g(3) = b) f(x) = x/ c) S = {5} Resposta da questão 8: z = i ou z = - Resposta da questão 9: a) q = 0 b), - 3i e + 3i Resposta da questão 0: a) a = - 0,; b = e c =,. b) m. 8

9 SETOR 0 Resposta da questão : a) Considere a figura. Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ABC, ACD, ADE e AEF, vem AC AB BC, AD AC CD 3, AE AD DE 3 4 e AF AE EF x 4 x 5 cm. b) É imediato que BAC 45. Do triângulo ACD, temos CD tgcad CAD arctg 45. AC 9

10 Do triângulo ADE, vem DE tgd AE D AE arctg 30. AD 3 Do triângulo AEF, segue EF tge AF E AF arctg 30. AE 4 Portanto, tem-se α BAC CAD DAE EAF Resposta da questão : Considere a figura, em que P' e Q' são, respectivamente, os simétricos de P e Q em relação a RT, com T pertencente a L. Como Q portanto, RT e Q' são os pontos médios de PR e P'R, segue-se que S é o baricentro do triângulo PRP'. Logo, RS 3 ST. ST e, Do triângulo PRT, vem 0

11 PT tg60 PT 3 3 ST RT e PT 3 3 ST sen60 PR PR 3 PR 6 ST. Do triângulo PST, obtemos PT 3 3 ST tgα tgα ST ST tgα 3 3. Sabendo que cossec α cotg α e que α é agudo, encontramos 7 cossec α senα sen α. 4 Finalmente, aplicando a Lei dos Senos no triângulo QRS, vem PR QR RS ST senα senθ 3 senθ 4 sen θ. 7 Resposta da questão 3: a) Sócrates deve obter pelo menos seis.

12 Portanto, a probabilidade será P = 6/6 = /7. b) Sócrates deve obter pelo menos dois seis (item a) ou um único 6 e pelo menos um 5. Logo, a probabilidade será P = 43/6. Resposta da questão 4: a) Para as pessoas que fazem dois cursos, o desconto total seria de: , Em relação ao valor do segundo curso, a porcentagem seria 40 0,4 40%. 600 Para as pessoas que fazem três cursos, o desconto total seria de: , Em relação ao valor do terceiro curso, a porcentagem seria de: 540 0,9 90%. 600

13 b) Alunos matriculados em pelo menos dois cursos: = 6. Total de alunos: = 39. Alunos que se matricularam em apenas um curso: = 3. Logo, a probabilidade pedida será dada por: P = 3/39. Resposta da questão 5: a) A região Norte possui 7 unidades, a Nordeste 9, a Centro-Oeste 4, a Sudeste 4, e a Sul ! b) Sabendo que as regiões Nordeste e Sudeste são as mais populosas, há 36 modos de escolher duas unidades da 7!! 4 4! região Nordeste e 6 modos de escolher duas unidades da região Sudeste. Além disso, existem 7 maneiras de!! escolher uma unidade da região Norte, 4 modos de escolher uma unidade da região Centro-Oeste e 3 maneiras de escolher uma unidade da região Sul. Portanto, como cada unidade da Federação é representada por três senadores, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 7 5 N c) Como existem senadores, podemos escolher 7 senadores quaisquer de 8 8! 7 74! 7! maneiras. Logo, 5 P , 50 3

14 pois 8 63, 9 79 e são menores do que. Resposta da questão 6: a) Observe: Grupos : A (meninas) B (meninos) C (meninas) e D (meninos e meninas) C 0 C 5 C 5 C 0,4 6,4 6,4 4,4 Total b) Final Marta e Maria e uma mulher vencer: Final Maria e José e uma Maria vencer: Final marta e João e uma Marta vencer: Probabilidade pedida Resposta da questão 7: a) Observe o cálculo a seguir:.cos( α) 3.cosα 0.(cos α sen α) 3.cosα 0.(.cos α ) 3.cosα 0 4 cos α 3.cosα 0 Δ 5 35 cosα cosα 4 8 cosα (não coném) 5 logo, sen α= 4 4 b) traçando uma reta r representada na figura, temos: 4

15 cosα 5 5x 0 x 5 5x 0 4 x 0x 4 5 0x 30x x 5 5

16 SETOR 03 6