Matemática Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini temos: a)

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1 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Matemática Aula 7 Série A 0 Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini temos: a) Q(x) x x + x R(x) b) Q(x) x x + x x + R(x) 0 c) Para n par: Q(x) x n x n + x n... + x R(x) Para n ímpar: Q(x) x n x n + x n... x + R(x) 0 0 Alternativa E. R P(5) 0 P(x) x x kx 75 P(5) k k 0 5k 0 k 8 Modo: Briot-Ruffini 5 5k 75 0 k 8

2 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 0 Alternativa D. Do gráfico de P(x) temos que: P(0) 5 e P() 0, ou seja, os restos das divisões de P(x) por x e por x são, respectivamente, iguais a 5 e 0. Série B 0 Alternativa D. P(x) x n + a n, d(x) x + a Seja R(x) o resto da divisão de P(x) por x + a, então: R(x) P( a) R(x) ( a) n + a n Se n é par R(x) a n + a n a n Se n é ímpar R(x) a n + a n 0 05 Alternativa D. P(x) dividido por x deixa resto R P() R (I) P(x) dividido por x + deixa resto R P( ) R (II) (I) R. + m. + n R + m + n R + m + n (II) R ( ). ( ) + m. ( ) + n R m + n R m + n Aula 8 Série A R + R + n n 0 P(x) é divisível por x P() 0. Assim: P() P() P() 0 Logo, P() é divisível por x. 0 Como P(x) é divisível por x + /, temos que P( /) 0.

3 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 0 k + 5 k ( 8) 8 0 k + 0 k 8 0 Se P(x) é divisível por x a, então P(a) 0; 0 a + ma.a 5a.a+ a 0 a + ma 5a + a 0 a ( + m) a 0 a 0 + m 0 ou m Resposta: m Série B 0 Alternativa D. Como Q(x) x B 0 e então R(x) (5 c)x Como R(x) é divisível por x temos que (5 c)x k(x ) (5 c)x kx k k e c Portanto: R(x) x (x ) 05 P(x) x + x + mx + n a) P(x) é divisível por (x ), logo P() 0 P() + + m + n 0 n m b) Δ 8 m 0 m Observe que para m Q(x) x + x + (x + ) e x é raiz dupla. c) Δ > 0 m > 0 m < m <

4 Coleção NEM ª Série Volume Matemática ± porém ± Δ ( m) 6 m 0 Δ (Veja mais duas resoluções a seguir.) m 5 Resposta: a) n m b) m c) m < e m 5 Uma forma mais elegante de calcularmos m é por meio de Briot-Ruffini: Q(x) x + x + + m 5 + m 0 m 5 (É mais fácil!) Outro modo: Q() m 0 m 5 (Mais ainda!) 06 Alternativa E. P(x) x P() (I) P(x) x + P( ) (II) P(x) x P() 0 (III) 0 Substituindo I, II e III em P(x) x 5 + ax + bx + cx + temos: 5 + a. + b. + c.+ a+ b+ c ( ) a.( ) b.( ) + c.( ) + a + b c a. + b. + c. + 6a + b + c a+ b+ c 0 a + b c 6a + b + c a+ b+ c 0 a + b c 6 a+ b c 6a + b + c a + b 8a + 6b 7( ) 6a + b 9

5 Coleção NEM ª Série Volume Matemática a b 6a + b 9 a a a + b 9 6+ b b a+ b+ c c 0 c Então, 9 ab 9 c Aula 9 Série A 0 P(x) x 5x bx + a é divisível por x. As duas soluções recomendadas são: ª) Se P(x) é divisível por x então é divisível por (x + ) e por (x ) Então P() 0 e P( ) 0 5 b + a 0 a b 5 + b + a 0 a + b portanto a e b 0 ª solução: Briot-Ruffini (x + ) (x ) Fazendo R 0 e R 0 teremos a e b 0 Resposta: a e b 0 0 P() P( ) P(x) x ax + b Q(x) Q(x) (x ) + ax + b P(x) x 0 + a + b x 0 a + b b 0 b 0; a 6 R(x) 6x Resposta: R(x) 6x 5

6 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 0 Alternativa B. P(x) x P() P(x) x P() P(x) (x ) (x ) R(x) ax + b R(x) Q(x) P(x) (x ) (x ) Q(x) + ax + b P() ( ) ( ) Q() + a + b a+ b P() ( ) ( ) Q() + a + b a+ b a+ b ( ) a + b a b a + b a a+ b b + R(x) x + 0 Alternativa B. P(x) x 6 P() 6 P(x) x + 0 P( ) 0 P(x) (x ) (x + ) R(x) ax + b R(x) Q(x) P(x) (x ) (x + ) Q(x) + ax + b P() 6 6 ( ) ( + ) Q() + a + b a + b 6 P( ) 0 0 ( ) ( + ) Q( ) + a ( ) + b a + b 0 6

7 Coleção NEM ª Série Volume Matemática a + b 6 a + b 0 b 6 b 8 a + b 6 a a então: R(x) x + 8 Série B 05 P(x) x 00 + x + P(x) x R(x) Pelo teorema do resto, R(x) P ( ) 00 R(x) + + P() P(x) x + R (x) 00 R (x) P( ) R (x) ( ) + P( ) P(x) (x + )(x ) R(x) ax + b R(x) Q(x) P(x) (x + )(x ) Q(x) + ax + b P() ( + )( ) Q() + a + b a+ b P( ) ( + )( ) Q( ) + a ( ) + b a+ b a + b a + b b b a+ b a Resposta: R(x) x + 06 Pelo teorema do resto: P( ), P() e P( ) P(x) (x + )(x )(x + ) R(x) Q(x) Seja R(x) ax + bx + c, 7

8 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Aula 0 Série A P(x) (x + )(x )(x + ). Q(x) + ax + bx + c P( ) a ( ) + b ( ) + c a b+ c P() a + b + c a+ b+ c P( ) a ( ) + b ( ) + c a b + c a b+ c ( ) a + b + c a b + c a+ b c a+ b+ c b b a+ b+ c a+ c 0 ( ) a b + c a + c a c 0 a + c a a a+ c 0 c R(x) ax + bx + c R(x). x +. x Resposta: R(x) x + x 0 P(x) x P() 0 0 Q (x) P(x) (x ) Q (x) + 0 (I) Q(x) x Q() 5 5 Q (x) Q(x) (x ) Q (x) + 5 (II) Substituindo II em I segue: P(x) (x )[(x ) Q (x) + 5] + 0 P(x) (x ) Q (x) + 5(x ) + 0 P(x) (x ) Q (x) + 5x P(x) (x ) Q (x) + 5x 5 ou seja, R(x) 8

9 Coleção NEM ª Série Volume Matemática P(x) (x ) 5x 5 Q (x) Resposta: R(x) 5x 5 0 a) Por Briot-Ruffini temos: Resposta: Q(x) x 99 + b) O resto da divisão de Q(x) por x + é dado por Q( ). R(x) Q( ) R(x) ( ) 99 + R(x) 0 Resposta: R(x) 0 0 Efetuando Briot-Ruffini sucessivamente temos: R 0 k 0 k Série B 0 P(x) x P() 0 (I) 0 Q(x) P(x) (x ) Q(x) + 0 Q(x) x + Q( ) Assim, 9

10 Coleção NEM ª Série Volume Matemática P( ) ( ) Q( ) + 0 P( ) + 0 P( ) (II) P(x) (x )(x + ) ax + b Q (x) P(x) (x ) (x + ) Q (x) + ax + b P() 0 0 ( ) ( + ) Q () + a + b a + b 0 P( ) ( ) ( + ) Q ( ) + a ( ) + b a+ b a + b 0 a+ b a + b 0 a + b b 6 b então: a + a Resposta: R(x) x + 05 a) Portanto n. b) é raiz quádrupla. Então P(x) (x + ) (x ) É fácil vermos que a quinta raiz é. Respostas: a) n, pois é raiz quádrupla. b) S { ; } 0

11 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Aula Série A 0 Alternativa D. Do enunciado temos que: R(960) C(960) R(960) R(960) 7680 R(x) ax + b R(960) a b R(0) 0 0 a 0 + b 960a + b a a 8 b R(x) 8x Seja L(x) o lucro pela venda de x CDs, então: L(x) R(x) C(x) L(x) 8x (00 + 5,5x) L(x),5x 00 L(000), L(000) L(000) Se P(x) é divisível por (x ) então P(x) é divisível por x + e por x. Da mesma forma, como P(x) é divisível por x 7x + 0, então P(x) é divisível por (x ).(x 5). Assim: P() 0, P( ) 0 e P(5) 0 P() 0 0 a + b + c 8a + b + c P( ) 0 0 a ( ) + b ( ) ( ) + c 8a + b + c P(5) 0 0 a 5 + b 5 5+ c 5a + 5b + c 60

12 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 8a + b + c ( ) 8a + b + c 5a + 5b + c 60 8a b c 8a + b +c 6a 8 a 8a + b + c 5a + 5b + c 60 + b + c b + c 60 b + c 0 ( ) 5b + c 5 b c 0 5b + c 5 b 5 b 5 ( ) b + c c 0 c 60 a ; b 5; c 60 0 P(x) (x ) R(x) Q(x) R(x) x R(x) ax + b R() P(x) (x ) Q(x) + R(x) P() ( ) Q() + R() P() 0 + P() Resposta: P()

13 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Série B 0 a) Para a x P(x) 0 x 0 x P(x) ( x)( x)( x) + ( x) P(x) ( x)[( x)( x) + ] ( x)( x + ) 0 x 0 x ou x 5 x ± 5 S {, 5, 5} Resposta: S {, 5, 5} b) p(x) ( x)(a x)( x) + ( x) p(x) ( x)[(a x)( x) + ] ( x)(a ax x + x + ) 0 x 0 x x + ( a )x + (a + ) 0 Δ< 0 ( a ) (a+ ) < 0 a + a+ a 6< 0 a a 5< 0 a a 5 0 s a 5 p 5 a S {a R / < a < 5} Resposta: S {a R / < a < 5} 05 P(x) x k R Q(x) Q(x) (x k) + R P(x)

14 Coleção NEM ª Série Volume Matemática R Q(x) (x k) + P(x) + R Logo R R R 8 Aula Série A 0 Alternativa E. e são raízes de P(x) P(x) cx + ax + bx + c Por Girard d x x x a c x c x 0 Alternativa C. ax + x + bx + 8 P(x) (dividendo) D(x) x + cx + (divisor) Q(x) x + d (quociente) R(x) x + 5 (resto) P(x) D(x). Q(x) + R(x) ax + x + bx + 8 (x + cx + ) (x + d) x + 5 x + cx + x + dx + cdx + d x + 5 x + (c + d)x + ( + cd )x + d + 5 Fazendo a identidade de polinômios: a c + d cd b d Logo, a d c + d c 0 c. d b b Logo a + b + c + d Alternativa E. Se P(x) é divisível por x, temos que P() 0 e, portanto a única alternativa possível é E. O valor de a pode ser calculado, por exemplo, fazendo: P() a a 0 a 6

15 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 0 Alternativa C. P(x) é divisível por (x a)(x + a) se e somente se P(x) é divisível por x a e por x + a, ou seja, P(a) 0 e P( a) 0. Série B 05 Se P(x) x n x + é divisível por (x n), então P(n) 0. n 0 n n+ n * n n n n+ + 0 é raiz é raiz P(x) é divisível por (x n) para n e n. Resposta: n, n 06 Pela dispositivo prático de Briot-Ruffini temos: Aula Série A Logo, P(x) é divisível por (x + ) e o quociente da divisão é Q(x) x + x. 0 Alternativa A. f(x) é divisível por x +. Assim f(x) (x + ) Q(x) f(x) (x + ) (x ) (x + ) (x ) 0 x+ 0 x ou x 0 x ± S {,, } 5

16 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 0 Dica: a b (a b)(a + ab+ b ) x 0 (x )(x + x + ) 0 x 0 x ou x + x+ 0 Δ ± x x ± i S, + i, i Resposta: S, + i, i 0 P(x) (x ) Q(x) (x ) (x + ) 0 x 0 x ou x + 0 x ±i S {, i, i} Resposta: S {, i, i} Série B 0 Alternativa C. 8 (x x + x ) 0 8 (x (x ) + (x )) 0 8 ((x ) (x + )) (x ) (x + ) 0 8 (x ) 0 x 0 x é raiz com multiplicidade 8. 6

17 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 05 x 6 7x 8 0 fazendo y x temos: y y 7y 8 0 y 8 Se x y x + 0 Fatoramos: (x + )(x x + ) 0 Se x + 0 x Se x x + 0 ± i x Se x y 8 x 8 0 Fatoramos: (x )(x + x + ) 0 Se x 0 x Se x + x + 0 x ± i Resposta: ± i S ; ; ; ± i 06 x 5 x + x x + x 0 x (x x + ) (x x + ) 0 (x ) (x x + ) 0 Raízes de x 0 Δ ± i x Raízes de x x ± i x ± i ± i S ; ; 7

18 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Aula Série A 0 Raízes e. Resposta: e. 0 Alternativa C. Vamos verificar a multiplicidade de raiz x ª divisão 0 ª divisão 0 ª divisão Q(x) x + raiz x 0 Alternativa E. x + ax + bx + c 0 x é raiz dupla Efetuando as divisões por Briot-Ruffini: a b c + a + a + b 8 + a + b + c + a + a + b Q(x) x + + a 0 x a () Da ª divisão: + a + b 0 a + b () Da ª divisão: 8 + a + b + b + c b + c 0 b + c () Substituindo () em () temos: x b c a (a + b + c) Observação: Novamente, se for possível aplicar as relações de Girard, chega-se ao mesmo resultado. 0 Alternativa B. P(x) x 7 x 6 + x 5 x + x x Fatorando P(x) temos: P(x) x (x 5 x + x x + x ) P(x) x [x (x x + ) (x x + )] P(x) x (x )(x x + ) x. (x ). (x ) Analisando os fatores: x 0 x 0 é raiz dupla 8

19 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Série B (x ) 0 x é raiz dupla x 0 x é raiz simples e mais duas complexas conjugadas. Logo, x 0 (dupla), x (tripla) 05 P(x) x 5 + x 5x 5x + x + m a) Uma raiz é x P( ) m 0 m m b) x 5 + x 5x 5x + x Q(x) x 5x + Fazendo 5± y x y y ou y x x ± ou x x ± P(x) x 5 + x 5x 5x + x + (x + ) (x 5x + ) (x + ) (x + ) (x ) (x + ) (x ) Resposta: (x + ) (x ) (x + ) (x ) 06 Alternativa D. Aula 5 Série A P(x) é divisível por (x ) Logo, m. 0 a) A equação é do 5º grau. 9

20 Coleção NEM ª Série Volume Matemática b) A equação possui 5 raízes. c) é raiz simples. é raiz com multiplicidade 5 é raiz com multiplicidade. d) S {,, 5} 0 P(x) x x x a) x x x 0 x(x x ) 0 x 0 ou x x 0 b S x a c P a x S {0,, } b) P(x) x(x + ) (x ) 0 Alternativa D. P(x) x + ax + bx + c é divisível por: (x x + ) (x ) (x ) (x x + ) (x ) (x ) Logo x é raiz dupla e x é simples. P() + a + b + c 0 a + b + c 0 Alternativa E. P(x) (x )(x + ) Q(x) + ax + b P() R R ( )( + ) Q() + a + b R a + b P( ) R R ( )( + ) Q( ) + a ( ) + b R a + b 0

21 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Série B R R R+ R R+ R R( x) x + R( 0) 05 x k + x k + + x k 0 x k (x x + ) 0 (x 0) k (x x + ) 0 A raiz zero tem multiplicidade k, k N. 06 Alternativa D. x 5 cx + x + (a b)x + (a b )x + (ab ) 0 é raiz simples 0 é raiz dupla ab 0 a b + a b + c 0 ( )( ) b + b a b 0 a b b + b 0 ( ) Δ Δ 5 b ± 5 b b Para b a b a a b + c 0 + c 0 c 7 Para b a b a a b+ c 0 ( ) + c c 0 c não convém

22 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Aula 6 Série A 0 Alternativa B. p 0 p e q 0 q p + q + 0 Seja uma equação polinomial de coeficientes reais. Se a + bi é raiz, então a bi também é raiz. Para a afirmação (6) temos: p(x) x x + x é divisível por ( x i) ( x + i) x + (x + ) (x ) 0 x 0 x Resposta: F, V, V, F, F, V 0 Alternativa B. i 576 i 0, i i, i 97 i i P(x) a(x x ) (x x ) (x x ) (x x ) Fazendo a : P(x) (x i) (x + i) (x + ) (x x ) P(x) (x + )(x + )(x x ) P(x) (x + x + x + )(x x ) Supondo x P(x) (x + x + x + )(x ) P(x) x x + x x + x x + x P(x) x

23 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 0 Alternativa D. Q(x) x + x + x + Q(x) (x + ) + (x + x) Q(x) (x + )(x x + ) + x(x + ) Q(x) (x + )(x + x + ) Q(x) (x + )(x + ) Q(x) (x + ) Assim, é raiz tripla de P(x) 0 P(x) (x + ) (x + x + ) P(x) (x + ) (x + ) P(x) (x + ) 5 P(x) 0 (x + ) 5 0 então é raiz quinta da equação. Série B 05 x x x + x x + x x x + + x 0 P(x) Como + i é raiz, temos que i também é raiz. P(x) é divisível por x ( i) x ( + i) x x+ ( ) P(x) 0 (x x + ) (x ) 0 x x + 0 x ± i ou x 0 x ± S { + i, i,, }

24 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 06 Alternativa A. Temos que: x a b b x a x + a + b abx e a b x a b a + b b a Logo a equação dada é equivalente a x + a + b abx a + b x ( x ab) 0 x 0 ou x ab 0 Como a e b têm sinais contrários, ab < 0, ou seja, x ± ab < 0 x ± i ab Aula 7 Série A 0 Possíveis raízes racionais: {±, ±7, ±, ±9} Por Briot-Ruffini: A equação dada pode ser escrita na forma: (x + ) (x ) (x 0x + 9) 0 Δ 00 6 Δ 6 0 ± 6 0 ± 6 x x x x 7 Raízes:,, 7 e. A maior raiz inteira é igual a. 0 Alternativa C. Possíveis raízes racionais: {±, ±, ±, ±, ±6, ±, ±} P() + 0 P() + 0 P() + 6 P( ) ( ) ( ) ( ) + 0 Logo, P(x) é divisível por x e x +.

25 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 0 x x 5x + 0 Possíveis raízes racionais: { ±, ±, ±, ± } Verificando que / é raiz da equação, então: 5 0 ( ) x x + x 0 x 0 x ou + x x 0 : + x x 0 Δ 5 ± 5 x S,, Série B 0 Possíveis raízes racionais: {±, ±} Para x. + 0 Para x. ( ) ( ) + 0 Para x. () () + 0 Para x. ( ) ( ) Logo a equação dada não tem raiz racional. 05 Alternativa C. As possíveis raízes racionais e inteiras da equação dada são: {±, ±, ±, ±6} Verificamos que x é raiz da equação dada ( )( + ) x x 6x x 0 qx ( ) Possíveis raízes inteiras de q(x): {±, ±} Verificamos que x é raiz que q(x). 5

26 Coleção NEM ª Série Volume Matemática A equação dada pode ser escrita na forma: ( x ) ( x ) ( x x + ) 0 q( x) Assim, a soma das raízes da equação x x + 0 é: b ( ) S a 06 x + (m 5)x + m 0 A soma das raízes é b x+ x m+ 5 a e o produto c x x m a x+ x m+ 5 I x x m II Substituindo II em I segue: x + x 5 x x x x + x + x 5 Somando membro a membro temos: x x x x 6 ( ) ( ) ( ) ( ) x x + + x + 6 x + + x+ 6 Possibilidades: Aula 8 Série A x + x + x x m x x Os possíveis valores de m são: 0, 7, 9,, 7 e 5. 0 Alternativa C. x 8px + x q 0 Por Girard x x x x + x x + x x + x + x x 0 x 0 c a 6

27 Coleção NEM ª Série Volume Matemática b x + x + x a 8p p ª Solução: Por Briot-Ruffini 6p 0 p 0 Alternativa D. x α x + ax + bx+ c 0 x α x α+ x+ x + x a xx + xx + xx b x x x c α +α + α+ ( ) ( ) α α + +α +α + α α α α ± + As raízes da equação são:, e a + + a 6 b + + b c c 6 Então: a + b + c Alternativa A. x x + k. x + 0 α. α produto de duas raízes. d α α α a α α Se é raiz temos P( ) 0.. ( 8) K + 0 K 6 0 K 8 7

28 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Série B 0 x 5 5x + 5x 5x 6x 0 x α x α x α x α + x 5 α + x + x + x + x + x 5 5 (α ) + (α ) + α + (α + ) +(α + ) 5 5α 5 α As raízes são:, 0,, e. Resposta: Diferença: ( ) 05 Alternativa E. Pelas relações entre coeficientes e raízes, temos: m + p + mp m m + p + mp 0 mp mmp pmp mp mp mp m + p + mp 0 mp 0 m 0 e p 0 ou p m mp ( m + p) 0 m + p + mp 0 m m + m( m) 0 m + m 0 m( m + ) 0 m 0 ou m Logo, p Assim, a soma das raízes dessa equação será m. 06 a) x 0x + 8x Como a > b > c temos que a é a hipotenusa do triângulo retângulo. Pelo teorema de Pitágoras: a b + c Somando bc, membro a membro, temos: a + bc b + bc + c a + bc (b + c) b) (a + b + c) (0) a + b + c + ( ab + ac + bc) a + b + c a + b c + 8 a a 8 a 69 a Ou seja, a maior raiz da equação é. 8

29 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Aula 9 Série A 0 Alternativa A. Sendo m + n 0, a soma das raízes da equação é ( 5n) m + n e o produto é m m + n Assim: 5n 5 5n m m + n 8 m 0m 9n 6 m + n 5n 0 9n 6 n e m 5 Logo, m + n 9. 0 a) A equação é do º grau. b) Para x, a soma dos coeficientes é igual a S: S ( + + ) ( + ) 6 S 6 S 8 c) Para x 0, o termo independente da equação é ( ) (0 + 0 ) a) x x + 6x 6 0 Produto das raízes: α α α d a a. b. c 6 Resposta: Volume: 6. b). (a. b + a. c + b. c) 7 Área total 7. c) d a + b + c Soma das raízes: a + b + c 9

30 Coleção NEM ª Série Volume Matemática (a + b + c) a + b + c + (ab + ac + bc) d + 7 d 9 d 7 0 x x + 7x 6 0 α r α r α raízes d I) α α α a 6 r α α r II) r + + r 5r r + r 5r + 0 Δ ± r Resposta: r ou r { } S ;; Série B 05 Alternativa C. x + px + n 0 x + 0x + px + n 0 x são duas das raízes diferentes de zero x x + x x Relações de Girard: x+ x + x 0 x+ x x I xx + xx + xx p x n x x n x x II x x x + x x x III Substituindo I e II em III temos: x x x x x nx 0 x ( x n) 0 x 0 n n x ou x n 0

31 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Então: x+ x n x x Como x x + x x + x x p segue: x x + x (x + x ) p + n ( n) p n + p Sejam α e β as raízes da equação dada tais que αβ i. Então α e β são outras duas raízes de equação, com αβ αβ + i. Sendo r a outra raiz da equação, pelas relações entre coeficientes e raízes, 0 αβαβr ( i)( + i) r 0 r. Aplicando Briot-Ruffini, temos: Aula 0 Série A Assim, p(x) 0 x ou x 6x + 5x 8x As raízes da última equação são αβα,, e β. Pelas relações entre coeficientes e raízes: 6 α+β+α+β 6 5 α α+α β+α β+α β+α β+β β α+β+α+β 6 α+β α+β + + i+ i 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α +β + α +β 6 α +β α+β α+β 9 Portanto, α e β são raízes da equação z z + i 0. O discriminante da equação é Δ ( ) ( i) + i ( + i), logo + + i ( + i) z + i ou z i. Logo as raízes de P(x) são, + i, i, i, + i. 0 P(x) x + x 5 Calculando P() e P() temos: P() + 5 P() + 5 5

32 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Como P(). P(). 5 < 0 podemos afirmar que P(x) 0 possui pelo menos uma raiz real no intervalo ]; [. As possíveis raízes racionais da equação P(x) 0 pertencem ao conjunto {±, ±5}. P() + 5 P( ) ( ) 5 7 P(5) P( 5) ( 5) Logo, a equação P(x) 0 não possui raiz racional, ou seja, a equação P(x) 0 possui pelo menos uma raiz irracional no intervalo ], [. 0 Alternativa D. P(x) ax + bx + cx + d Do gráfico temos que: é raiz simples é raiz dupla e P(0). Assim: b + + b 0 a c c + ( ) ( ) + c a a a d d 6 d 6a a a P(0) a 0 + b 0 + c 0 + d d Logo, d, a /, c e b 0 0 Resolvendo o determinante por Sarrus temos: a) P(x) (a x) ( x) (d x) b ( x) P(x) ( x) [(a x) (d x) b ] Logo x é raiz de P(x) pois P() 0 b) (a x) (d x) b 0 x (a + d)x + ad b 0 Δ (a + d) (ad b ) a + ad + d ad + b (a d) + b (a d) (a d) 0 b como Δ + b 0 temos Δ 0 portanto as outras raízes também são reais. Série B 0 Alternativa A. A equação f(x) m tem soluções, se, e somente se, a intersecção dos gráficos de y m e y f(x) não for vazia. Pelo gráfico, concluímos que para soluções reais e distintas, < m < 0.

33 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 05 Alternativa A. Pelo gráfico temos que < P() < 0. Assim P() a + b + c + d P() a + b + c + d e < a + b + c + d < 0 Aula Série A 0 Alternativa A. f(x) x + ax + bx + c soma produto a a x + x + x x x x a c Logo a c Do gráfico temos f(0) e portanto c Temos também que f 0, então: + + b b b a + b + c + c c 0 x + x 0 a) V {0,, }

34 Coleção NEM ª Série Volume Matemática b) 0 Alternativa A. p(x) x (x ) (x ) x (x ) (x + ) (x ) y p(x ) devemos substituir x por x Então p(x ) (x ) (x ) (x ) x As raízes de p(x ) são: x 0 x raízes simples x x raiz dupla Logo o gráfico correspondente está na alternativa A. Série B 0 sen x sen(x + x) sen(x). cos x + sen x. cos (x) sen x cos x + sen x( sen x) sen x( sen x) + sen x( sen x) sen x sen x + sen x sen x sen x sen x Para x 0 sen. 0. sen 0 + sen 0 sen 0 sen0 / Fazendo: sen 0 t 8t + 6t 0 8t + 6t 0 Raízes racionais x q xq { ± ; ± ; ±, ± 8} Nenhum x q é raiz de 8t + 6t 0 logo não há t Q que resolva a equação. Como t sen 0, sen 0 Q.

35 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 05 Alternativa B. Sejam as raízes x, x, x e x. Por Girard x + x + x + x 5. Como as raízes estão em PA; x + x x + x, então x + x 5 x + x 5e ( ) Como a razão é r ½; x x ½ logo x e x,5. Assim; x ½ e x ; logo x x x x b/ b b 6 Como + ( 0) + a + ( 5) pois x é raiz; logo a 5 e a + b Aula Série A 0 f(x) x + x x + g(x) f(x) f() g(x) x + x x + (8 + + ) g(x) x + x x 0 Possíveis raízes internas: ±; ±; ±5; ±0. g() Logo x é raiz Δ 9 0 Δ ± i x Resposta : S ; ± i 0 Alternativa C. x 0 pois d 0 (ax + bx + cx + d 0) x pois a soma dos coeficientes é zero. x 0 pois zero é raiz dupla (fatorando teremos x (x ) 0) Quando x tende ao infinito (x muito grande); x > x logo x x > 0. 5

36 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 0 Alternativa B. x + 0 x i x i S {, i, i} 0 Alternativa C. f(x) x + x + ax + b x α x α x? Soma das raízes: b x + x + x a α α + x x Ponto (, 0) Série B 05 Alternativa E. Seja x 5x + t (x 5x + ) + 6(x 5x + + ) 0 (x 5x + ) + 6(x 5x + ) + 0 t + 6t t t Então: x 5x + ou x 5x + x 5x + 0 ou x 5x x i x II x III x IV VI {,,, } 06 Alternativa B. Como Q(z) é de grau 5, tem coeficiente de z 5 igual a e um de seus fatores é z + z + z +. Q(z) (z + az + b)(z + z + z + ) (z + az + b)(z + )(z + ), a, b C. Sendo Q(0) e Q() 8. 6

37 Coleção NEM ª Série Volume Matemática b a a+ b b (0 a 0 b)(0 )(0 ) ( a b)( )( ) 8 Logo Q(z) (z z + )(z + )(z + ) e, dado que o discriminante de z z + é ( ) < 0, as raízes de Q(z) são, i, i, αe α sendo α α α. Portanto a soma dos quadrados dos módulos das raízes de Q(z) é

38 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Matemática Aula 5 Série A 0 a) (x ) + (y ) 9 C(, ) e R b) (x + ) + (y ) C(, ) e R c) (x + ) + (y + ) C(, ) e R d) (x 5) + (y ) 8 C(5, ) e R 0 a) C(, ) e R 5 (x + ) + (y ) 5 b) C(, ) e R (x ) + (y + ) 6 c) C(, ) e R 0,5 (x + ) + (y + ) d) C(0, 0) e R 0,5 x + y 0 Alternativa C. (x ) + (y + 7) 6 Para x 0 temos 6 + (y + 7) 6 (y + 7) 0 y 7 a circunferência tangencia o eixo y em (0, 7) 8

39 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 0 Alternativa A. x + y 6 x + y 6 A π (R r ) A π (8 ) A π (6 6) A 8π 05 x + (y ) L sen 60 R L R L A L A 9 Série B 06 Alternativa D. x y 0 x y x + y 0 (y ) + y 0 0y x ± 6 A(, 6) e B(, 6) AB ( ) + ( 6 6) AB 6 + AB 0 0 y ± 07 Alternativa D. (x 6) + (y ) 0 tem centro C(6, ) A(, t), B(0, 0) e C(6, ) estão alinhados se: 9

40 Coleção NEM ª Série Volume Matemática t 0 t 0 6 t t t t t 9 t t t 08 Alternativa E. (x ) + (y ) (x 9) + (y 9) C (, ) 5 C (9, 9) C C (9 ) + (9 ) C C C C 0 A maior distância possível entre P e Q é Alternativa E. A equação da reta que passa pela origem O (0, 0) e pelo ponto (8, 6) é y x. A intersecção da reta com a cincunferência é solução do sistema 0

41 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Aula 6 Série A y x ( x 8) + ( y 6) 5 ( ) x 9x x x x 6x x x x 5x x + x Δ Δ 6 ± 8 x ou x ou x 8 8 Para x temos y P (, ) Para x temos y Q (, ) Entre P e Q o mais próximo da origem é P. 0 a) C(0, ) e R (x 0) + (y + ) x + y + y x + y + y 5 0 b) C(, 0) e R (x + ) + (y 0) x + x + + y 0 x + y + x 0 c) C(, ) e R (x ) + (y + ) x x + + y + y + 0 x + y x + y + 0 d) C(, ) e R (x + ) + (y + ) x + x + + y + y + 6 x + y + x + y Alternativa A. x + y 6x + y (x ) 9 + (y + ) (x ) + (y + ) C(, ) e r 0 Alternativa E. x + y 0x y (x 5) 5 + (y ) (x 5) + (y ) C(5, ) Sendo P(, ) então PC PC (5 ) + ( ) 5, que é um número real entre e

42 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 0 Alternativa E. Sendo C(, ) então (x ) + (y ) x x + + y y + x + y x y + 0 Série B 05 Alternativa A. AC BC ( 0) + (h ) ( ) + (h 0) + h 6h h 6h 6h h C(, ) AC R (0 ) + ( ) R R 5 A equação da circunferência é: (x ) + (y ) 5 x x + + y y x + y x y Alternativa A. x + y 5x + y x + (y + ) x + (y + ) 5 5 C,.

43 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Para y 0 temos x 5x + 0 x ou x A(, 0) e B(, 0) 0 6 D 0 D 6 A A ; A é a área do triângulo ABC A(, ), B(, ) e C(0, ) a) 8 D 8 A A, em que A éa área do triângulo ABC. 0 b) AB ( + ) + ( ) AB AC ( 0) + ( ) AC 5 BC ( 0) + ( ) BC AB + AC + BC Sendo A p r, com p, então : r r r aproximadamente Sendo S a área do círculo temos : S π S 5 c) Sejam M e N os pontos médios de AC e BC, respectivamente

44 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Aula 7 Série A M, M, N, N, mbc mbc mr 0 mac mac ms 0 + Equação de r : y x y x Equação de s : y x + y + O centro O da circunferência é a interseção de r com s. x y + x x 9 9 x x y O, + + x y + x 9 65 R OA (+ ) + + R 6 6 A equação da circunferência é: 9 65 (x ) + y 6 65 A área do círculo é S π S,76 aproximadamente x + y m + x + y m. Para a equação representar uma circunferência é necessário que m > 0 ou m > ou m <. 0 x + (k )y x y 0 é uma circunferência se k k. 0 x + y x + y p (x ) + (y + ) p (x ) + (y + ) p + 8. Se o raio é então p + 8 p 0 x + y + x + 0 (x + ) + (y 0) + 0 (x + ) + (y 0), que não é uma circunferência já que R não pode valer.

45 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Série B 05 Para que a reta intercepte a cincunferência resolvemos o sistema x + y 5 x y + 0 x + y 5 y 5 x x + (5 x) 0 x + 5 0x + x 0 x 0x + 0 Δ ( 0) Δ 9 Sendo Δ < 0 o sistema não tem soluções reais e a reta não intercepta a circunferência. 06 x + y 6y 7 0 (x 0) + (y ) 6 Se A(0, y) é ponto da circunferência, então y 6y 7 0 ou y 7 ou y ou A(0, 7) ou A(0, ) Sendo AB (0 0) + (7 + ) 8 e como o raio da circunferência é igual a, então AB é um diâmetro. 07 No eixo das abscissas temos y 0 a equação da circunferência passa a ser x + 5x + k 0. Sejam x e x as intersecções com o eixo x. x x (corda de comprimento ) x + x 5 (soma das raízes) Somando as duas igualdades temos x x Como (x, 0) é ponto da circunferência, então ( ) + 5 ( ) + k 0 k. Aula 8 Série A 0 a) x + y 0 e x + y 0 O centro da circunferência é (0, 0) e o raio. Seja d a distância do centro à reta d d. + Como d >, a reta é externa à circunferência, não havendo ponto de contato algum entre elas. b) x y e x x + y 0 (x ) + (y 0) O centro da circunferência é (, 0) e o raio é. 5

46 Coleção NEM ª Série Volume Matemática d + ( ) 0 + ( ) Como d < então a reta é secante à circunferência. c) x + y 5 0 e x + y y 8 0 (x 0) + (y ) O centro da circunferência é (0, ) e o raio é. d Como d < a reta é secante à circunferência. d) x + y 0 e x x + y y (x ) + (y ) (x ) + (y ) 5 O centro da circunferência é (, ) e o raio é d. + 5 Como d < 5 então a reta é secante à circunferência. 0 x + y m 0 x + y y m x x + (m x) x + m mx + x x mx + m 0 Δ m (m ) Δ m 8m + Δ m Para que a reta seja secante devemos ter Δ > 0 m > 0 m < m < 8 < m < 0 x + y 0 y x x + y + x + y 0 x + ( x) + x + ( x) 0 x + x + x + x + x 0 x x 0 ou x 0 y A (0,) x(x ) 0 ou x y B(, ) AB ( 0) + ( ) AB 6

47 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 0 x y y x x + y 0 x + (x ) 0 x + x x + 0 ou x 0 y x x 0 x(x ) 0 ou x y 0 Assim A(0, ) e B(, 0) A simetria da figura indica - nos que o ponto C pertence à mediatriz de AB (r) cuja equação é y x. x x + y 0 y + x D 0 A x 0 x ± C + D + A ( +, ) que é a área do triângulo ABC. (, ) 05 Alternativa A. x y + x + y 0 y 0 x 0 0 x + y 00 x + (0 x) 00 x x + x 00 5x 80x 0 5x (x 6) 0 x 0 y 0 ou x 6 y. Logo, a interseção da reta com a circunferência é formada pelos pontos A(0, 0) e B(6, ) AB AB 6 (6 0) 5 + (0 + ) AB AB 80 7

48 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Série B 06 y x+ y e x 0 C(0,) y x + y x+ x (x ) x x x+ x y + x + x 0 x (x + ) 0 x 0oux y ouy 0 B(,0) (JátemosC(0,)) y x+ x + ( x) x x+ x x y x + x 0 x (x ) 0 x 0 ou x y ou y 0 A(,0) Sendo AB e a altura do triângulo ABC igual a, então: A A + AB, AC e BC p p +, em que p é o semiperímetro. Como A p r ( + ) r r r, em que r é o raio da circunferência + inscrita no triângulo ABC. 07 a) ΔABC é retângulo em A e A y x + C é o centro da circunferência x + x + y 0 (x + ) + (y 0) C (, 0) e R B y x + sendo x B y B B (, ) 8

49 Coleção NEM ª Série Volume Matemática A reta suporte do cateto AC é perpendicular à y x +. Logo: m e C(,0) reta AC AC Portanto y 0 (x + ) y x Cálculo das coordenadas do ponto A (x A ; y A ) y x + 5 x + x xa ya y x Agora que temos os três vértices 5 A ; ;B( ;) ec( ;0) Vamos calcular a área (A) do ΔABC D A 0 08 Alternativa A. (s) x + y + k 0 (λ) x + y + 8x y Se s é exterior a λ então: ( y k) + y + 8 ( y k) y y + yk + k + y 6y 8k y y 0y + yk + k 8k y + (k 0)y + k 8k Δ (k 0) 5 (k 8k + 9) < 0 + (k 0k + 5) < 5k 0k + 95 k > 5 6 ( k 5) < 5 ( k 8k 9) 5 > k > 5 Para k inteiro temos k. O menor inteiro positivo é k. 9

50 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Aula 9 Série A 0 Sendo C(, ) e x + y 0 então ( ) + R R + 0 Alternativa B R 5R 0 R + (x ) + (y ) 6 é a equação da circunferência ou x + y 6x y Alternativa B. + ( ) R R + R (x ) + (y + ) 9 (x ) + (y + ) 9 0 Alternativa E. x y + k 0 y x + k x + y x + (x + k) x + x + xk + k x + xk + k 0 Δ k (k ) 0 k 8k k 56 k 6 k ±8 0 50

51 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Série B 05 x + y + x + y 8 0 (x + ) + (y + ) 8 0 (x + ) + (y + ) C (, ) e R A reta que passa por A(, ) tem equação y m (x ) mx y + m 0 m ( ) + ( ) ( ) + m m + m m + ( ) + 9m m + (m + ) m 9m + m + 0 m + m Δ 9 Δ 0 m m 8 Equação procurada: y x A reta tem equação y x + ( ) 9 06 Dados: A(0; 0), B(0; 5) e C(; ) a) 5 mbc mbc m 0 b) BC Seja M o ponto médio de BC M, M(, ) A mediatriz r passa por M e tem coeficiente angular y (x ) y x Se A(0, 0) então A pertence à mediatriz. 5

52 Coleção NEM ª Série Volume Matemática c) 5 A mediatriz de AB é a reta y. y x , y 5 5 moa moa moa ms y x, 5 5 que é a equação da reta (s), tangente à circunferência no ponto A. 07 Alternativa B. sen θ sen θ 08 Alternativa E. (r) y x 0 I- Verdadeira. x 0 y y 0 x 5

53 Coleção NEM ª Série Volume Matemática A área do triângulo é II- Falsa. x + y A circunferência não contém todo o triângulo. III- Falsa. x + y + x y 0 (x + ) + (y ) 0 (x + ) + (y ) 5 A distância do centro (, ) da circunferência à y x 0 deve ser igual ao raio (R). ( ) ( ) + 5 d d 5 ( ) A circunferência não é tangente a r. IV- Falsa. (r) y x 0 m r (s) x + y m s Sendo m r m s então as retas não são perpendiculares. 09 a) A reta que passa por P(0, ) tem equação y mx mx y 0 A distância da reta ao centro (0, ) da circunferência é (raio). ( ) + ( ) m 0+ 5 ( m + ) 5 m m m m ± 5

54 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Sendo a abscissa de Q positiva então m e a equação da reta é y x b) As coordenadas de Q são as soluções do sistema x + ( y ) y x x x x x x x + x 5 x x + 0 5x 0 x Δ Δ x y y Assim Q, a) x y 0 (x + y) (x y) 0 ou x + y 0 ou x y 0 5

55 Coleção NEM ª Série Volume Matemática b) O centro da circunferência é (x, x) e dista unidades da reta x + y 0. x + x 7x 7x ou x x y ou x x y que são as equações das circunferências. a) Sendo (s) x y 0 e P (, ) a distância de P a s é o raio R da circunferência. + ( ) R R 5 + ( ) Seja (r) y ax + b a reta que passa por B e é perpendicular a s. m r m s m r y x + b x + y b 0 A distância de P (, ) a r é R, e assim + b b 5 0 b 5 b 5 y x + 5 () I ou 0 b 5 b 5 y x + 5 II ( ) 55

56 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Aula 0 Série A Intersecção de (I) com s y x+ 5 x 5x x x x y Intersecção de (II) com s y x+ 5 x 5x x x x 6 y Como x B > então x B 6 e assim 6 yb yb Logo B (6, ) b) Seja t a reta que passa por A: (t) y mx mx y 0. A distância de t a P é m 5 5 m + ( ) 5 (m + ) (m ) 5m + 5 9m m + 6 m m + 0 Δ ( ) Δ 00 ± 00 m m ou m 8 a equação de t é y x, pois para m temos a reta s. O ponto c é a intersecção de t e r. 0 x + y x 56

57 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 0 x x + y + y 6 x x + y + y 6 (x ) + (y + ) x x + y + y (x ) + (y + ) 9 A região é uma coroa circular de raios R e r e área A. A π (R r ) A π 0 x + y x 9 0 x x + y + y 9 57

58 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Série B 05 Seja A a área da região hachurada. A π A π (x ) (x ) (x + ) (x + ) + (y ) + (y + ) + (y + ) + (y ) 06 a) 58

59 Coleção NEM ª Série Volume Matemática b) c) y x, para x y x, para x d) x x + 0 (x ) (x ) 0 ou x ou x 07 Alternativa C. x + y + 8x y 8 0 (x + ) + (y ) (x + ) + (y ) 00, que é a equação reduzida de C. Sendo R o raio de C temos ( ) ( ) R R 0 e a equação de C é (x ) + (y + ) 0. Como as duas circunferências não têm pontos em comum, então a área pedida corresponde à área de C, que é igual a 00π. 59

60 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Aula Série A 0 a) x + y x + y É fácil perceber que as circunferências são concêntricas. b) x + y x x+ y 0 + ( ) x y x + y As circunferências são secantes. 60

61 Coleção NEM ª Série Volume Matemática c) x + y x x y ( ) x y x + y As circunferências são secantes. d) x + y x y + 0,5 As circunferências são concêntricas. e) x + y x 6x y ( ) x y x + y 6

62 Coleção NEM ª Série Volume Matemática As circunferências são tangentes exteriormente. 0 x x+ y 0 x + y 6 Subtraindo a primeiro equação da segunda, temos: x 6 x y 6 y ± A reta que passa pelos pontos (, ) e (, ) tem equação x. 0 x + y + x x y 0 + ( ) x y x + y ( ) ( ) x x y ± A, e B, É fácil perceber que o quadrilátero é formado por dois triângulos eqüiláteros. Seja A a sua área: A A 6

63 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 0 x + y (x ) + y O maior retângulo que tangencia as circunferências tem lados e 6, logo sua área é igual a. 05 x + y x + y (x ) + (y ) x x + + y y + x y + + x + y y x x + ( x) x + x + x x x 0 x (x ) 0 ou x 0 y A(0, ) e B(, 0) ou x y 0 AB ( 0) + ( 0) AB Série B 06 (x ) + (y ) x + (y ) x x + y + y x x x y + 0 x y y 0 ± Δ 6 Δ y ( + ), B(, ), C(, )e D(0, ) x + + y y + + y y + y + 0 y ± A, Notemos que o quadrilátero ABCD é um losango formado por dois triângulos eqüiláteros de lados iguais a. A A 6

64 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 07 Alternativa C. A reta r que passa pela origem tem equação y mx. A circunferência (x ) + (y ) 5 tem centro C (, ) e R 5. A distância de r a c é 5 m + ( ) 5 m + ( ) 5 (m + ) (m ) 5m + 5 9m m + 6 6m + m Δ 0 m m a reta tem equação () r y x I- Falsa. Sendo (s) x y 5 então ms e ms m r r e s não são paralelas. II- Falsa. O coeficiente angular da bissetriz dos quadrantes pares é e assim r não é paralela e ela. III- Verdadeira. A reta x y 0 tem coeficiente angular igual a ecomo mr então r é perpendicular a ela. 08 a) O centro da circunferência é C (x, 0) e para A (, 0) e B (, 0) tem-se AC BC ( x ) ( 0 0) ( x ) ( 0 0) + + (x ) (x ) x x + x 6x + 9 x 8 x C (, 0) É fácil perceber que o raio é. 6

65 Coleção NEM ª Série Volume Matemática a + a tgθ tgθ m o valor de m é b) Consideremos a reta y mx, < m <, que intercepta a circunferência (x ) + y em A e B. (x ) + m x x x + + m x ( + m ) x x + 0 Δ 6 ( + m ) Δ 6 m Δ m ( m ) ± m ± m x x + + m m ( ) ( ) ( ) m m Para x temos y + m + m m + m m Para x temos y + m + m + m Consideremos os pontos A (x, mx ), B (x, mx ) e C (, 0). A área do triângulo ABC é 65

66 Coleção NEM ª Série Volume Matemática x mx S D,emqueD x mx m x x 0 ( ) m + m ora, sendo x e x então + m + m m m x x D m e + m + m m m assim S + m m m S, para < m< + m 09 A reta t tem equação y m (x ) mx y m + 0, e a distância ao centro da circunferência é 5. m ( m + ) ( m+ ) m + 5m + 5 9m m + 6 6m + m Δ 0 m m a equação de t é 9 x y x+ + y + 5 Para y 0, temos: 5 5 x Q,0 66

67 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 5 6 RQ RQ a + a 6+ a a 9 9 Da semelhança do triângulo temos: 0 r r 0r 0 r 0 5 r r a O centro (x 0, 0) é tal que x0 + r 5+ r x0 5+ e a equação da circunferência é + y 5 5 x 6 67

68 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Aula Série A 0 P(x, y), O(0, 0) e F(, ) PO PF x x + y + y (x (x 0) + (y 0) x + + y 8x 8y y + ) (x ) + (y ) 0 Seja P(x, y) tal que PA PB, em que A(, ) e B(0, 5). (x + ) + (y ) (x 0) + (y 5) x + x + + y 6y + 9 x + y 0y + 5 x + y 0 x + y 0, que é a equação do lugar geométrico. 0 A(, 0) e B(, 0), P(x, y) AP BP (x ) (y 0) (x ) (y 0) (x+ ) + y (x ) + y (x+ ) + y + (x ) + y (x ) + y + (x ) + y (x + ) + y x + x (x ) + y + x x + x (x ) + y x x 6 8 (x ) y x (x ) y x 8x + + y x 8x 6 (x x y ) x 8x y + + x x y O LG é uma elipse. Série B 0 Queremos os pontos eqüidistantes da reta y 0 e da circunferência x + (y ). A circunferência tem centro (0; ) e raio R. A reta y 0 é o próprio eixo das abscissas. 68

69 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Seja P (x; y) um ponto do LG procurado. Queremos que para todo P LG, d d d y d d Pcentro R ( ) ( ) ( ) ( ) Então: y x 0 + y y + x + y y + y + x + y y + 6y x + y x + 6 que é a equação do LG pedido. 05 Alternativa D. P(x, y), reta y 0 x + y x y y x y 0 + ou y x y y x 0 ou y x + y x 06 As equações dos eixos coordenados são x 0 e y 0. Seja P (x; y) um ponto do LG pedido. A distância de P a x 0 é a mesma que a de P a y 0 x + 0 y+ 0 0 x+ y + 0 x y ou y x ou y x. Assim, o LG é representado pelas bissetrizes dos quadrantes pares e ímpares. 07 A equação geral de (r) y x é x y 0 A equação geral de (s) y x é x + y 0 Se P (x, y) é um ponto do LG então d Pr d Ps 69

70 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Aula Série A Logo x y+ 0 x+ y+ 0 x y x + y + + ( ) ou x y x + y y 0 ou x y x y y 0 Assim, o LG é representado pelos eixos coordenados. 0 F (, 0), F (0, ) e a 0 Seja P(x, y) um ponto da elipse. PF + PF a (x + ) + (y 0) + (x 0) + (y ) 0 (x + ) + y 0 x + (y ) (x + ) + y x x x + (y ) + (y ) + x y + + (y ) x + y 00 0 (x + y 5) x 5 (x + (y ) + (y ) ) x + y 5 5 x + (y ) (x + y) 50 (x + y) x + 5 (y y + ) x + xy + y 50x 50y x + 5y 00y + 00 x + y xy + 50x 50y x 5 y + 6 a) C(0, 0) b) a 0 c) b 8 d) a b + c c c F F 6 c e) e e 0, 6 a 5 f) 70

71 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 0 c(0, 0), a 8 e b 6 x 9 y + ou 6 x y C(, ), a 5 e b (x + ) 5 (y ) + ou (x + ) (y ) x + 0y + c 5 x c + y c a e e b 06 y x x + 6y + a e b O eixo maior mede e o eixo menor mede. 07 A(, k) e 9x + y + 8x 8y 0 Se A pertence à curva então 9 ( ) + k + 8 ( ) 8k 0 k 8k 0 Δ 6 ( ) Δ 8 ± k k ± 8 Série B 08 x y +, b < 5 5 b Para x 0 temos y ±b Para y 0 temos x ±5 7

72 Coleção NEM ª Série Volume Matemática a) Pelo gráfico anterior é verdade que o eixo maior está sobre o eixo x. b) Se F (, 0) e F (, 0), então C 8 C. Como a 5, então b b a afirmação é falsa. c) x y Se b 5 então a interseção da elipse + com a reta y mx + é solução do sistema. 5 5 y mx + x y x (mx + ) x m x + mx x + 5m x + 0mx x ( + 5m ) + 0mx 0 0 Δ 00m ( + 5m ) ( 0) Δ 00m m Δ 500m + 80 Como Δ > 0 então a reta intercepta a elipse em dois pontos a afirmação é falsa. 09 Alternativa D. y 9 x + y x + x x (x + ) + + x 7 ± 5 x 6 9 x + x + 9 x Δ Δ 5 x y A, 7 7 x y B, 6 6 7

73 Coleção NEM ª Série Volume Matemática, M, 6 7 M Seja M o ponto médio de AB. 0 e b a y 6 x 6 y x + + O eixo maior mede 8 e o eixo menor mede y 6 x y x 0 y x e e a c e c c 6 c b a Sendo y y 0 y y y y y y 6 y 6y 6 y 6 y) ( y 0 ou y a reta corta a elipse em pontos. Somente as afirmações a e e são verdadeiras. Aula Série A 0 Alternativa B. c Se e então: a Se e é pequeno então C é pequeno a b pois a b + c e daí a elipse é mais circular. Se e é próximo de então c a b 0, e daí a elipse é mais achatada. Logo, se e T < e P, e T é a excentricidade da Terra e e P a de Plutão, então a órbita da Terra é mais circular que a de Plutão. 7

74 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 0 Alternativa C. 9x + 5y 88x 96 0 y x 88x ( y 0) ( y 0) ( ) ( ) x x x 6 y ( x 6) ( y 0) ( x 6) ( y 0) Sendo a 0 e b então C 6 (a b + c ) os focos são F (, 0), F (0, 0) e o centro é (6, 0). Suponhamos que a Terra ocupe o foco F a) a menor distância do satélite à Terra é.000 km b) a distância de (6, ) à Terra é igual a a km c) a maior distância corresponde à distância de F a (, 0), ou seja, km d) se x 0 então 6 y y 6 y y 6 9 y 6 ± y ±, e a órbita passa por 6 6 0, e 0, 5 5 e) 6 e 0 5 7

75 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Série B A5,0eB0, ( ) ( ) mab y 0 ( x 5) 5y x + 5 x + 5y 5 0, 5 que é a equação da reta que contém A e B. A afirmação é falsa. - A (5, 0), B (0, ), C ( 5, 0) e D (0, ) A área do quadrilátero é igual a 0 0 A afirmação é falsa. - 5 r 5 então r, r é o raio da circunferência inscrita (ver figura). O centro da circunferência é (0, 0) 5 x + y é a sua equação. A afirmação é correta. - A equação da elipse é x y + x + 5y A afirmação é correta. 75

76 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Aula 5 Série A - Se x então 9 + 5y 5 5y y ± y ±,. 5 Sendo y P então y, > y P e P é interior à elipse e exterior ao quadrado (basta observar P na figura). A afirmação é correta. 0 F (0, ), F (0, ) e a 0 Seja P(x, y) um ponto da hipérbole: PF PF a (x 0) + (y ) (x 0) + (y ) 0 x + y y + ± 0 + x + y 6y + 9 x + y y + 00 ± 0 x + y 6y x + y 6y + 9 y 08 ± 0 x + y 6y + 9 (y 08) 00(x + y 6y + 9) 6y 86y x + 00y 00y x + 8y + 56y x + y 96y x 5 a y 5 a 5 b a) b a 5 b) b c) a + b c 8 d) c e e e a 5 c c F F

77 Coleção NEM ª Série Volume Matemática e) 0 e b a y x Como o centro é (0, 0), então as equações das assíntotas são: x y ± 0 + x y y x y x x ( x) x + x + x x + x 0 x + x 0 Δ ( ) Δ 5 5 x ± + + 5, 5 e B 5, 5 A 5 y então x, y Como que é o comprimento da corda determinada pela reta e pela hipérbole. 0, AB 5 5 AB AB

78 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Série B 05 A equação da reta é y x + n Sendo xy então x ( x + n) x + nx 0 Δ n ( ) ( ) Δ n 6 Como a reta é tangente então Δ 0 n ±. Como a ordenada de B é positiva então n y x + com B(0, ). Para y 0 temos x A(, 0). A área do triângulo OAB é 06 x + y y x xy x ( x) x ± 5 Δ 9 Δ 5 x Para x temos y 5 5 Para x temos y + Para x > 0 a interseção não existe. x 0 07 Seja (x x 0 ) + (y y 0 ) R a circunferência Γ. Se xy então y edaí x x x0 + y y0 R x xx0 + x0 + y0 R x ( ) ( ) y0 x xx 0 + x0 + + y 0 R 0 x x x x x 0 + x x 0 + xy 0 + x y 0 x R 0 x x 0 x + (x 0 + y 0 R ) x y 0 x + 0 Sejam x, x, x e x as raízes da equação. Das relações de Girard temos x x x x, sendo que x, x, x e x são as abscissas de A, B, C e D que são as intersecções de Γ com a hipérbole. 78

79 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Aula 6 Série A 0 a) Seja P(x, y) um ponto da parábola 0 x+ y (x ) + (y ) 0 + x x+ + y 6y+ 9 y x x y 6y 9 y y x x y 8 b) Seja P(x, y) um ponto da parábola. x + 0 y x 5) + (y ) + 0 x 0x y 8y + 6 x x 0x y 8y + 6 x x + y 6x 8y Seja P(x, y) um ponto da parábola. Sendo F(, ) seu foco e x + y + 0 sua diretriz, temos: x + y + (x + ) + (y ) + (x + y + ) x + x + + y 6y + 9 x + x + y y + 0 (x + y) + (x + y) + 79

80 Coleção NEM ª Série Volume Matemática x + x + y y + 0 x + xy + y + x + y + x + y + x y xy Sendo F(, ) o foco e y + 0 a diretriz, o parâmetro p será dado pela distância entre o foco e a diretriz. 0 ( ) + + p p O vértice V é o ponto médio de (, ) e (, ). + V, V, 05 A diretriz é paralela ao eixo das ordenadas e dista duas unidades do vértice, logo sua equação será x. 06 ( ) ( ) ( ) y 6 x y x p p (y ) 8(x ) p 8 p Série B 08 Alternativa C. x + x + y 0 y x x 80

81 Coleção NEM ª Série Volume Matemática y x V x x x V y V ( ) V(, ) 09 y x a) Para x temos y 9 o ponto (, 9) pertence à curva. b) A reta que passa por (, 9) tem equação y 9 m(x ) mx y + 9 m 0 A interseção da reta com a curva é solução do sistema y mx + 9 m y x x mx + m 9 0 Δ m (m 9) Δ m m + 6 Para a reta encontrar a curva num só ponto Δ 0 m m (m 6) 0 m 6 c) Se m 6 a reta y mx m + 9 é tangente à curva. Assim y 6x 9 d) y x x x + 0 ou x ou x y x Se x y (, ) Se x y (, ) As afirmações a, c e d são verdadeiras. 0 Alternativa B. (x ) (x ) y (x 5) x x 5 / x y (x 5) x x 5 x 5 x x y a equação de r é y x + x 5 x x + x + 5 / x Alternativa C. Se x então y y a reta r passa por (, ). O coeficiente angular de r é y + (x ) y x 6 8

82 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Aula 7 Série A 0 Alternativa D. x + y 7x 9 0 y x+ x + x + 7x 9 0 x 6x 7 0 Δ ( 6) ( 7) Δ 6 6± 8 x ou x 7ou x Se x 7 então y ± P (7, ) e Q (7, ) Se x então y ± R (, ) e S (, ) A simetria da figura PQSR nos permite concluir facilmente que as diagonais PS e RQ se encontram em x (, 0). A reta que passa por x (, 0) tem coeficiente angular igual a e equação y 0 (x ) x y 0 0 ( ) x a x x a x x a ax x + x ax + a 0 Para que a parábola y x ax + a satisfaça y 0 devemos ter Δ 0 em x ax + a 0 Δ ( a) (a ) a 8a a 8 a a 8

83 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Série B 0 Alternativa B. y x + x 0 x (x ) 0 ou x 0 ou x O (0, 0) e P (, 0) A reta y kx intercepta a parábola segundo o sistema y kx y x + x kx x + x x x + kx 0 x (x + k) 0 ou x 0 ou x k Se x k então y k ( k) e Q ( k, k ( k)). A altura do triângulo PQO é k ( k) e sua área A é dada por A k ( k) A k( k) A 6k + 9k A é máxima se 9 k Aula 8 Série A 0 x X cos α Y sen α Usando as transforma ções y Xsen α + Y cos α para x + y + xy temos: (X cos α Y sen α) + (X sen α + Y cos α) + (X cos α Y sen α) (X sen α + Y cos α) X cos α XY sen α cos α + Y sen α + X sen α + XY sen α cos α + Y cos α + X sen α cos α + XY cos α XY sen α Y sen α cos α X + Y + sen α cos α (X Y ) + XY (cos α sen α) Fazendo cos α sen α 0 π tg α α é um valor que serve para a transformação. Assim, a equação ficará: X + Y + (X Y ) X + Y, que representa uma elipse. 0 xy y + x y x x ( x) x + x + 0 Δ ( ) (+) Δ 9 ± x ou x ou x Se x, então y Se x, então y Os pontos de interseção são (, ) e (, ) 8

84 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 0 (x + y + ) (x y + ) x xy + x + xy y + y + x y + x y + x 0 a curva é uma hipérbole. 0 Alternativa E. x + y xy + x + y xy (x y) x y ± as equações representam um par de retas paralelas. 05 Alternativa B. 9x + y 8x 7 0 (x ) 9 + y (x ) + y 6 (x ) y + 9 elipse de eixo maior igual a 6 e eixo menor igual a. Área do retângulo 6 Série B 06 Alternativa C. x 9y 6x 8y 9 0 (x ) 9 (y + ) (x ) (x ) 9(y + ) 7 (y + ) a curva é uma hipérbole. 7 x + y x + y + 0 (x ) + (y + ) + 0 (x ) + (y + ) a curva é uma circunferência. x x y é uma parábola. 8

85 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 07 Alternativa C. x y + xy 0 x X cos α Y sen α Usando as transformações, temos: y X sen α + Y cos α (X cos α Y sen α) (X sen α + Y cos α) + (X cos α Y sen α) (X sen α + Y cos α) 0 (X cos α XY sen α cos α + Y sen α) (X sen α + XY sen α cos α + Y cos α) + + (X sen α cos α + XY cos α XY sen α Y sen α cos α) 0 (X cos α XY sen(α) + Y sen α) (X sen α + XY sen α + Y cos α) + sen α + (X Y ) + XY cosα 0 α α ( α ) + α α + α + + XY cos α 0 X (cos sen ) XY sen Y (sen cos ) (X Y )sen α α α α + α X cos XY (sen cos ) Y cos (X Y )sen 0 Fazendo sen α cosα 0 temos tg α tg α tg α 8tg α tg α tgα sen cos α cos α cos α sen α Assim cosα 7 A equação ficará: X Y 7 7 e sen α + (X Y α + cos ) 7 α 0 cos α 8 (X y ) + (X Y ) 0 7 (X Y ) 0 (X Y) (X + Y) 0 y x ou y x, que são retas perpendiculares Alternativa A. (x ) + (y ) 6 C(, ) e R Seja P(x, y) um ponto do LG procurado sendo PC 5, então os pontos do LG formam uma circunferência de raio 5. 85

86 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 09 Alternativa E. (X + Y ) + (xy) 0 x + y xy 0 ou x 0 ou y 0 Se x 0 y ± Se y 0 x ± (0, ) (, 0) ou ou (0, ) (, 0) pontos 0 Alternativa E. 0 x y P' 0 y x no ΔQPR temos Q P e Q 90 θ no ΔQP R temos Q Q e P' 0 θ Assim PQP' 90 e sofrem uma rotação horária de 90 em torno da origem. Alternativa C. x + y x y x y x y y ( ) ( ) x+ y x + y 6y 8 x y x y x + y + 8x+ y + 86

87 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Aula 9 Série A.(x + y ) (x + y 6y 8) + (x + y ) 8x y 88 x + y 96 6x 6y + y x + y 8x y 88 8x + 8y 7x 08y 6 x + y x 6y (x ) + (y ) 9 (x ) + (y ) 5, que é uma circunferência de centro (, ) e raio 5. 0 a) Rol:,,,, 0,,,,,,,,, 6 Amplitude: 6 ( ) 0 b) Rol:,, 0,,,,,,,,, 5 Amplitude: 5 ( ) 8 c) Rol:,7;,8;,0;,;,8;,0;,;,;,5;,0; 5, Amplitude: 5,,7,5 d) Rol:,5;,;,;,; 5,0; 5,; 5,; 5,5; 6,8 Amplitude: 6,8,5, 0 a) Intervalo Freqüência Freqüência relativa Classe 0,5, 0 6,66% Classe,0, 5 7,% Classe,5 5, 0 7,% Classe 5,0 6, 5 7,% Classe 5 6,5 8, 0 6 9,99% Classe 6 8,0 9, 5,% b) 6,66% Total ,8% 6,7% 5,8%,9%,0%,56%,% 00% Por causa dos arredondamentos feitos ao longo do preenchimento da tabela, o ano de 995 tem uma porcentagem diferente: ,7565% 87

88 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Série B 0 a) 5 0,5,5% 80 b) total de fitas Arrecadação 5 R$,00 R$ 90,00 Aula 0 Série A 0 Alternativa C. a) Total de pessoas maiores de 8 anos pessoas. b) Pessoas maiores de 8 anos filiadas a sindicatos, órgãos comunitários ou órgãos de classe: % de pessoas do gráfico de setores c) Pessoas maiores de 8 anos filiadas a órgãos comunitários: 9% de pessoas, ou seja, do histograma aproximadamente milhões. Série B 0 a) Em 99. b) Pode-se afirmar que de 99 a 998 a riqueza dos 50% mais pobres ficou estável por causa da variação muito pequena ocorrida. c) Sim, em 99 e 999. Aula Série A 0 a) número total de alunos alunos número de alunos com no mínimo 9 anos alunos b) P (mínimo 9 e 6 anos) P (mínimo9) + P (6)

89 Coleção NEM ª Série Volume Matemática Série B 0 a) País PIB (em US$) Renda per capita (em US$) População Alemanha, trilhões Estados Unidos 9, trilhões Japão, trilhões Brasil 0,5 trilhão Aula Série A b) Para juros compostos temos C C 0 ( + i) N Sendo C 9,, C 0 0,5, i 0,0 e N n de anos temos 9, 0,5 ( + 0,0) N 7,5 (,0) N log7,5, log,0 7,5 N N N log,0 0,009 N 8 anos aproximadamente. c) Segundo o artigo o decrescimento do PIB da Alemanha no trimestre foi de 0,%. Em trimestres ( ano) teremos um decrescimento de 0,%, que é uma estimativa matematicamente viável. C C 0 ( i) N 0,5,( 0,00) N 0,5 (0,996) N log 0,996 0,5 N log 0,5 0,59808 N N log 0,996 0,007 N anos aproximadamente 0 Alternativa A. a + a a 0 b + b b 50 a + a a , a 5, b + b 80 + b + a + b b a b ,65 0 Alternativa D. a + b + c + d + e 6 a + b + c + d + e 80 5 Se a, b, c e d então e 70, que é o maior valor possível para um dos números, supondo a menor soma para os quatro outros valores. 89

90 Coleção NEM ª Série Volume Matemática 0 Sejam: x n de alunos que tiraram nota 5. y n de alunos que tiraram nota 0. x + y 60 y 60 x 5x + 0y 6 5x + 0y x + 0 (60 x) 60 5x x 8 y 8 alunos tiraram nota 5 e alunos tiraram nota 0. 0 h, h,..., h k são os meninos da sala. m, m,..., m N são as meninas da sala. h + h hk 6, h + h hk K 6, K m + m mn 7,0 m + m mn N 7,0 N h + h hk + m + m mn 6,5 K + N h + h hk + m + m mn 6,5 (K + N) K 5 x 8 K 6, K 6,5% de x. N 7,0 5 6,K + 7N 6,5K + 6,5N 0,K 0,5N K N Como K > N a maior parte dos alunos da sala é composta de meninos. Sendo x o total de alunos da sala temos que: 8 x K + N x K + K x K 5 5 Série B 05 Alternativa D. Sejam g a soma das notas do grupo que obteve notas entre 5,5 e 0 e g a soma das notas do outro grupo, sendo N o número de alunos temos g 6,5 g,9 N 0,6 N g+ g 5,5 g+ g 5,5 N,9 N+ g 5,5 N N g, 6 N g g,6n,0 0, N 0, N 0, N que é a média do segundo grupo de alunos. 90