NÚMEROS COMPLEXOS

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1 NÚMEROS COMPLEXOS (EFOMM 016) O número complexo, z z (cos θ i sen θ), sendo i a unidade imaginária e 0 θ π, que satisfaz a inequação z i e que possui o menor argumento θ, é a) b) c) d) 5 5 z i 5 5 z i 5 5 z i 5 5 z i e) z 5 5i π π. (AMAN 016) Se (1 i) cos isen x iy, 1 1 são números reais, o valor de x y é a) 6 b) c) d) 6 e) em que i é a unidade imaginária e x e y. (IME 016) Seja Z um número complexo tal que Z log (Z Z 1). Determine o número complexo Z. Zi possui argumento igual a π e. (AFA 016) Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos z x yi, onde i 1 e cujos afixos são os pontos P(x, y) Dada a equação (z 1 i) 1, sobre os elementos que compõem seu conjunto solução, é INCORRETO afirmar que a) apenas um deles é imaginário puro. b) todos podem ser escritos na forma trigonométrica. c) o conjugado do que possui maior argumento é 1 i d) nem todos são números imaginários. 5. (ITA 016) Considere as afirmações a seguir: I. Se z e w são números complexos tais que z iw 1 i e w z i, então z w 6i. II. A soma de todos os números complexos z que satisfazem III. Se z 1 i, então 59 9 z ( 1 i). z z i é igual a zero. Página 1 de 7

2 NÚMEROS COMPLEXOS É (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) I, II e III. 6. (Faculdade Albert Einstein 016) Sejam os números complexos u (cos 15 i sen 15 ) e w u. Se P e Q são as respectivas imagens de u e w, no plano complexo, então a equação da reta perpendicular a PQ, traçada pelo seu ponto médio, é a) x y 0 b) x y 0 c) x y 1 0 d) x y (ITA 016) Considere o polinômio p com coeficientes complexos definido por p(z) z ( i)z ( i)z ( i)z (1 i). Podemos afirmar que a) nenhuma das raízes de p é real. b) não existem raízes de p que sejam complexas conjugadas. c) a soma dos módulos de todas as raízes de p é igual a. d) o produto dos módulos de todas as raízes de p é igual a. e) o módulo de uma das raízes de p é igual a. Página de 7

3 NÚMEROS COMPLEXOS Gabarito: Resposta da questão 1: [C] Seja z x yi, com x, y. Tem-se que z i x (y )i x (y ). Logo, os números complexos que satisfazem a desigualdade pertencem ao disco de centro A(0, ) e raio. Em particular, a imagem do complexo z, de menor argumento θ, que pertence a esse disco, é a extremidade do vetor OP, conforme a figura. Desde que OA e AP, pelo Teorema de Pitágoras, vem OP 5. Assim, temos OP π 5 cos AOP cos θ OA 5 senθ e PA π senaop sen θ OA cosθ Portanto, a resposta é z 5 i i. Resposta da questão : [A] Escrevendo o número complexo 1 i na forma trigonométrica, temos: Página de 7

4 NÚMEROS COMPLEXOS π π (1 i) i cos isen Portanto, π π π π π π (1 i) cos isen cos isen cos isen π π π π π π 6 cos i sen cos i sen i 1 1 Logo, 6 x y 6(1 i). Resposta da questão : Considerando Z como um número complexo qualquer de forma a bi, pode-se escrever: log (Z Z 1) Z Z 1 (a bi) (a bi) 8 a 8 a Substituindo: Z ( bi) bi b i b 8i b i b 8b 8i b i 8b 8 b i Zi ( bi) i b i b i b b b b Sabendo que o argumento de Z é igual a π 8 b, conclui-se que b 0, portanto, b. Substituindo: Z b 8 arg arctg 1 b 8 8b b 8b 8 0 b b 0 Zi 8b 1 b (não convém, pois b ) b b Portanto Z será igual a: Z i Resposta da questão : [C] Sendo uma equação de º grau, haverá quatro raízes. Duas delas podem ser facilmente deduzidas. Sendo (z 1 i) 1, e sabendo que i 1 e que 1 n 1, pode-se desconsiderar a potência da equação e encontrar as raízes para z 1 i 1, que seriam z 1 e z i. Ou seja: (z 1 i) 1 (1 1 i) 1 (i) 1 ou Página de 7

5 NÚMEROS COMPLEXOS (z 1 i) 1 ( i 1 i) 1 ( 1) 1 As duas outras raízes podem ser deduzidas algebricamente. Considere w z 1. Substituindo w na equação principal, tem-se: w i 1 w i 1 w wi i 1 w wi i 1 w wi 11 0 w wi 0 w1 i 1 w i 1 Substituindo na equação original, tem-se: w z 1 z w 1 z1 i 1 1 z1 i z i 1 1 z i Assim, analisando então as afirmativas da questão, temos: [A] Correto, (z i). [B] Correto, todos os números complexos podem ser escritos na forma trigonométrica. [C] Incorreto, o número do conjunto solução com maior argumento é z i e seu conjugado é z i. [D] Correto, (z 1). Resposta da questão 5: [B] [I] Verdadeira. Somando as equações acima temos: i (1i) w iw i w (1i) i w w 1i 1i (1i) Logo, z 1 i. Fazendo z w, temos: z w 1 i a i 1 6i [II] Verdadeira. Se z é raiz da equação, podemos mostrar que z também é raiz. z ( z) z (z) i Página 5 de 7

6 NÚMEROS COMPLEXOS Portanto, a soma de todas as suas raízes é zero. [III] Falsa, pois (1 i) (1 i) (1 i) ( i) (1 i) ( i) (1 i) ( i 1) Resposta da questão 6: [C] Desenvolvendo o número complexo dado no enunciado, tem-se: u (cos 15 i sen 15 ) i u i Assim, o afixo de u é igual a P(; ). Desenvolvendo o número complexo w: w u w ( i) 8i i w 8i Assim, o afixo de w é igual a Q(0; 8). Fazendo o gráfico, o ponto médio entre P e Q será M(1; 5). O coeficiente angular do segmento PQ será ( 8) ( ). 0 O coeficiente angular da reta s perpendicular ao segmento PQ será Assim, a equação da reta s perpendicular ao segmento PQ será: y ( 5) (x 1) y 5 x y 15 1 x x y 1 0 Resposta da questão 7: [E] Sabemos que i e cálculo abaixo: 1. i são raízes, já que p(z) é divisível por (x i) e por (x i), como mostra o Podemos então escrever que Resolvendo, agora, a equação p(z) (z i) (z i) (z ( i) z i 1). z ( i) z i 1 0, teremos as outras duas raízes: Página 6 de 7

7 NÚMEROS COMPLEXOS ( i) ( i) (i 1) z 1 ( i) 1 z 1 ( i) i z 1 Portanto, z 1 ou z 1 i. As raízes da equação são: z i z z i z 1 z 1 z 1 z 1 i z ( 1) ( 1) Portanto, a opção correta é a [E]. Página 7 de 7