2 5 tg tg tg tg tg tg tg tg

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1 Preparar o Eame 0 06 Matemática A Página 00 PREPARAR O EXAME Questões de Escolha Múltipla. Temos que Asombreada Acírculo A A OPC setor OAP. Temos que: Acírculo Nota que o raio do círculo é porque a respetiva circunferência é definida por y A A área do setor circular de raio r e amplitude é dada por setor OAP sen A sen Repara que a base do triângulo é OPC enquanto que a altura é a ordenada do ponto P que é sen Assim, A sen sen sombreada r OB que é um raio da circunferência,. Pela definição de seno de um ângulo, AB sen sen AC AC AC sen Resposta: A. Vejamos se cada um das opções é solução da equação dada: 5 tg5 7 5 tg tg5 7 5 tg tg5 7 5 tg tg5 7 5 tg é solução da equação é solução da equação é solução da equação não é solução da equação Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página

2 . No intervalo considerado, a função cos é crescente, pelo que considerando a função f como a etensão de g a f, f : f cos f cos (repara que Preparar o Eame 0 06 Matemática A cos será decrescente. Então, D g ), o contradomínio de g é Assim, o contradomínio de g é, 5. Considera a figura, onde foi acrescentado o ponto R. Temos que: R sen OR sen OR é a abcissa de P cos PR cos PR é a ordenada de P Então, as coordenadas do ponto P são sen, cos 6. Se 5, então e pertencem ao º quadrante. Neste quadrante a função cos é positiva e crescente e as funções sen e tg são negativas e crescentes, pelo que: coscos 0 pois, no º quadrante, cos cos costg 0 pois, no º quadrante, cos 0 e tg 0 sensen 0 pois, no º quadrante, sen sen tg tg 0 pois, no º quadrante, tg 0 Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página

3 Preparar o Eame 0 06 Matemática A 7. Temos que A 0,75. Observando a figura, concluímos que A OPQ OPQ que tg,5 tg,5 56º. Considerando o triângulo QORP tg, pelo QRP, temos que RP tg,5 tg tg tg tg 0, 75 7º QR Assim, 56º e 7º 8. Como o trapézio representado é retângulo, temos que os ângulos não assinalados têm de amplitude, cada um. Então,. Analisemos cada uma das opções: sen sen sen sen cos a opção A não é verdadeira cos cos cos cos sen sen cos a opção B é verdadeira, enquanto que a C não o é tg tg tg tg a opção D não é verdadeira tg 9. Se,, então º quadrante e temos que sen 0, cos 0 e tg 0. Analisemos cada um das opções: tgsen 0 a opção A não representa um número negativo 0 0 cossen 0 a opção B representa um número negativo 0 0 sencos 0 a opção C não representa um número negativo 0 0 tgcos 0 a opção D não representa um número negativo 0 0 Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página

4 Preparar o Eame 0 06 Matemática A 0. Se sentg 0, temos que sen e tg têm sinais contrários, pelo que cos 0. Relembra sen que tg. Assim, ecluímos as opções B e D cos Sabemos que tg cos cos cos tg cos 0 tg. Temos que P OPQ OP PQ QO. Pelo enunciado sabemos que OP QO. Consideremos o ponto X como mostra a figura: Temos que OX rad cos 0,6, pelo que XP,6. X Além disso, QX sen rad 0,909. Considerando o triângulo retângulo XPQ e aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos, 6 0,909,687 PO PO. Assim, P OP PQ QO,687,7 OPQ. Comecemos por resolver a equação dada: cos cos cos k k, k. cos º Q Analisemos cada um dos intervalos dados: nota que º Q, º Q, - º Q, - º Q, no intervalo, a equação tem duas soluções este intervalo engloba os º e º quadrantes no intervalo0, a equação tem quatro soluções este intervalo engloba os quatro quadrantes no intervalo, a equação tem três soluções este intervalo engloba os º, º e º quadrantes Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página

5 no intervalo 0,. Preparar o Eame 0 06 Matemática A a equação tem apenas uma solução este intervalo engloba o º quadrante A área pretendida é dada por: OP PQ r tg tg A A OPQ Asetor de amplitude.. Analisando o gráfico dado, é fácil concluir que o período positivo mínimo da função f é Vamos considerar os triângulos OPB.e OCQ OB OB 5. Q P Então, OC P 5 sen 5 5 OC 5 Q Então, 5 sen sen 5 sen sen cos cos 5 5 sen cos Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 5

6 Preparar o Eame 0 06 Matemática A Assim, 5 sen e 5 5 cos, pelo que sen cos O vetor OP é dado por OP cos,sen r é tangente à circunferência no ponto P, temos que, pelo que o declive da reta OP é sen. Como a reta cos m r cos m sen OP 7. O perímetro pretendido é dado por P P AC AO. Temos que Consideremos o triângulo OCA, em que OC cos sen OA OA OA sen DC AOC ˆ. Então, AC AC cos sen cos AC AC sen sen OA tg tg cos sen Assim, P tg sen P DC. 8. Pelo enunciado, temos que a função f é contínua em, pelo que também o é em 0. Então, lim f lim f f : a sen a sen a sen a lim f lim lim lim lim lim b b b b b b b sen lim 0 b b b ln ln b ln b lim f lim lim lim lim a a a a b a ln a a lim 0 Se 0, b0 Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 6

7 f 0 Preparar o Eame 0 06 Matemática A Então, a e b são tais que a b b. Resolvendo este sistema obtemos ab. b a a Resposta: A 9. Temos que A A OPQR OPQ A ROQ. Observando a figura, concluímos que: OQb A OPQ em que b é a abcissa do ponto P. Então, A OPQ A ROQ ROOQ cos cos cos cos Então, A OPQR 0. Temos que a função definida por g g g a a e g' a lim a a Então: sen é derivável em, pelo que é derivável em. Então, o limite pedido é o valor da derivada de g em a. ' g ' sen sen sen cos sen cos sen sen cos sen g g a lim g ' a sen a a a Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 7

8 . Temos que Assim: AB Preparar o Eame 0 06 Matemática A y y, pelo que o raio da circunferência representada é. considerando o triângulo ABC, temos que Então, cos AB AC cos cos AB cos AC AC cos Resposta: A. Para que g seja contínua somente à direita do ponto 0 temos de ter lim g g 0 lim g. Assim: 0 0 g sen a sen a sen a lim g lim lim lim lim sen a a alim a 0 0 a sen lim 0 Se 0, a0 sen 0 lim g lim 0 a a cos a a 0 0 a0 a Então, a. 0 0 cos cos sen cos lim g lim lim lim a a cos a cos a cos cos lim a a a Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 8

9 Preparar o Eame 0 06 Matemática A. Como lim lim n n, temos que, pela definição de limite segundo Heine, lim tg g lim tg n g tg 0 tg Resposta: A. sen sen lim f ' sen sen a sen lim lim lim tg b cos cos cos 0 cos ' cos cos g lim Resposta: A 5. Comecemos por determinemos o domínio da função dada: k Dg : tg 0, k cálculo auiliar: 7 tg 0 tg k k, k k k 7 k Assim, Dg : k, k, pelo que, nem 7 nem ao domínio da função g, o que nos permite ecluir as opções B e C. 7 Vejamos se e são equações de retas assíntotas do gráfico de g : lim g lim lim 0 tg tg pertencem Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 9

10 Preparar o Eame 0 06 Matemática A lim g lim lim 0 tg tg Então, a reta de equação não é assíntota do gráfico de g. lim g lim 0 tg tg Então, a reta de equação é assíntota do gráfico de g. 6. lim f un lim sen n lim sen. n sen k sen n 7. 0 a b 0 a b sen ln sen ln lim lim lim. 0 c 0 c 0 c sen lim 0 Se 0, a0 ln lim 0 Se 0, b0 a b a sen b ln a b a b lim lim c 0 a c 0 b c c c lim sen cos sen lim sen cos lim lim sen lim sen sen lim 9 lim sen lim sen lim sen lim sen lim sen Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 0.

11 Preparar o Eame 0 06 Matemática A sen sen 8 8 lim lim 0 0 sen lim 0 Se 0, 0 9. Analisemos a primeira derivada, a segunda derivada e a imagem de zero da função indicada em cada uma das opções, quando for necessário Opção A: sen ' cos e sen '' cos ' sen A opção A não é verdadeira pois sen ' sen ''. Opção B: ln e e ' e e e e ln ' ln ''. ln '' ' e e A opção B não é verdadeira pois Opção C: cos ' sen Opção D: e ' e cos '' sen ' cos A opção C não é verdadeira pois e e '' e e ' e Então, e ' e '' cos ' cos ''. 0 e Então, a opção D é verdadeira. 0. Sabemos que o período de uma função do tipo y a b tgc d positivo mínimo da função definida por tg g é é Observando o gráfico dado, concluímos que a 5 5. Então, o período c Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página

12 Preparar o Eame 0 06 Matemática A 0. Calculemos g 6 sabendo que tg. g 6 tg 6 tg tg tg Resposta: A. sen y lim n lim nsen lim sen y lim n n i) y0 y y0 y i) Mudança de variável: Se n então 0 n Seja y n n y, y 0. sabendo que tg. Como lim n, temos que, pela definição de limite segundo Heine, lim g n n log cos log cos lim e e. Calculemos os valores de a, b e c : e ln e ln e a lim lim lim ln lim 0 sen sen sen b lim lim lim lim e e e sen lim lim 0 0 Se, 0 e lim 0 n n n n c e e n n n n lim lim lim k k lim e n Se n, n. log8 a b ln c log8 0 ln e log88 ln e Então, Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página

13 Preparar o Eame 0 06 Matemática A. A probabilidade pedida é dada por P A região colorida A círculo. Calculemos, então, as áreas necessárias: Acírculo Nota que o círculo considerado é o círculo trigonométrico A A A A A. região colorida círculo ABCD círculo ACD Para calcular A ACD é necessário determinar DX, já que é a altura do triângulo ACD. Considerando o triângulo ACD, que é retângulo em D (triângulo inscrito numa semircircunferência) e cuja amplitude em A é, temos que 6 AD cos AD 6 cos 6 Considerando agora o triângulo AXD, que é retângulo em X, temos que DX sen DX sen AD DX 6 AD 6 sen 6 AC DX A A A e Então, ACD ACD ACD X A região colorida Aregião colorida Aregião colorida Então, P A círculo Resposta: A. Calculemos os dezasseis primeiros termos de u n : u cos tg u cos tg u cos tg 0 u cos tg Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página

14 u 5 5 cos 5 tg u 6 6 cos 6 tg 0 u 7 7 cos 7 tg u 8 8 cos 8 tg u 9 9 cos 9 tg 0 u 0 0 cos 0 tg A probabilidade pedida é C C C Preparar o Eame 0 06 Matemática A u cos tg u cos tg 0 u cos tg u cos tg u 5 5 cos 5 tg 0 u 6 6 cos 6 tg Para a contagem dos casos favoráveis, nota que eistem termos que se repetem três vezes e eistem termos que se repetem duas. 5. Analisando a figura, temos que: d é a função que nos dá uma distância, logo d não pode tomar valores negativos. A opção A não é a correta. a função d tem dois zeros, que correspondem às situações em que o ponto B se encontra sobre o eio Oy, pelo que são. As opções C e D não são as correta pois não têm dois zeros. 5. Analisando a figura, temos que: a área do triângulo é máima quando 5 7. Então, a função derivada de g tem pelo menos quatro zeros As opções A e D não são as corretas. Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página

15 a área do triângulo é crescente no intervalo positiva. A opção B não é a correta. 0, Preparar o Eame 0 06 Matemática A, pelo que neste intervalo a função g ' é 6. Determinemos z na forma trigonométrica: z i 6 Sendo um argumento de z, tem-se Então, z cis i i Assim, um argumento de z cis tg e º quadrante, portanto 7 é Nota que 6 i cis. 7. Temos que i z i i z i z i. 8 n i Assim, Re z i Re z e z i z Im Im. Observando as várias opções, concluímos que a imagem geométrica pedida é o ponto A. Resposta: A 8. Temos que z w z w z i. Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 5

16 8. Como.é um argumento de w i, temos que,. Analisemos a que quadrante pertence cada uma das opções: 7 ou seja 5 ou seja ou seja ou seja Preparar o Eame 0 06 Matemática A pertence ao º quadrante pertence ao º quadrante pertence ao º quadrante pertence ao º quadrante Como um argumento de i tem de pertencer ao º quadrante, a opção certa é a A. Resposta: A 8. i O inverso de.é dado por w trigonométrica: temos que i 0cis i 0 i w i i. Vamos escrever este número na forma, pelo que i 0 cis 0 0cis nota que i 8. Sendo um argumento de i quadrante, portanto. Assim, i cis Então,, tem-se w 0 0cis 5 5cis 5 5cis i cis tg e º Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 6

17 Preparar o Eame 0 06 Matemática A 9. Tem-se que z cis, com. Seja w cis o número compleo cuja imagem geométrica é H. Por observação da figura, deduz-se que. Assim vem: z z cis w z z z cis z w cis Como e então, Logo, como, a imagem geométrica de z só pode estar no segundo quadrante. Tendo em conta as opções, a imagem geométrica de z só pode ser F. 9. iz z i i z iz z iz. Analisemos este resultado: Temos que z é o simétrico de z, pelo que a sua imagem geométrica obtém-se rodando 80º a imagem geométrica de z. A imagem geométrica de iz obtém-se da de z rodando 90º. Assim, podemos fazer o seguinte esquema, com esta informação representada: Im(z) z z -z o Re(z) Como pretendemos determinar z iz utilizamos a regra do paralelogramo para obter p resultado pretendido: Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 7

18 Preparar o Eame 0 06 Matemática A Im(z) z z o Re(z) -z Assim, a imagem geométrica pretendida só pode ser o ponto G. 0. Se a 0 e 0 0 arg z e b, temos que arg a bi 0. Assim, arg z arg a bi. Então, o conjugado de z pertence ao º quadrante e o simétrico do conjugado de z pertence ao º quadrante. Das opções apresentadas, o único número cujo argumento pertence a, é o que consta na opção B. Calculemos o número compleo que consta em cada uma das opções: 6 6 z w cis i cis i i i i 8 pertence à região colorida pois a sua parte imaginária é negativa. 5 z w cis i cis cis cis cis seu módulo é inferior a e o seu argumento pertence a,. 6 6 z w cis i cis i i i i 8 colorida pois a sua parte real pertence a,0 e a sua parte imaginária pertence a 0,. este número não este número pertence à região colorida pois o este número pertence à região Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 8

19 z w cis i cis i Preparar o Eame 0 06 Matemática A este número pertence à região colorida pois a sua parte real 8 pertence a,0 e a sua parte imaginária pertence a 0,. Resposta: A. iz i ab bi ab i b b ab i Se a imagem geométrica de iz pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, temos que Re iz Imiz, ou seja, b ab. Resolvendo esta equação em ordem a b, obtemos b 0 b. Como, por hipótese, b \ 0, temos que b a a.. ab bi bi ab bi 6ab ab i bi b 6ab b ab i bi w bi bi bi b b b Se w for um imaginário puro, então w w Resolvendo a equação hipótese, 6ab b b b \ 0, temos que Re 0 Im 0. a 0, obtemos. Repara que se b 0 6a 0 b 0 a. Como, por Im w 0 a, então. Seja z a bi. Então, a b z iz a bi ia bi a bi ai b. Resolvendo este b a sistema, obtemos b. Assim, a solução da equação dada é i. a Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 9

20 . Calculemos z : Preparar o Eame 0 06 Matemática A 8 i i i i i i i i i i i n i i i i i i i Vamos escrever z na forma trigonométrica: i 8. Sendo um argumento de i, tem-se Assim, 5 i cis z cis cis cis Então, 8 tg e º quadrante, portanto 5 5. Temos que w cis e w cis, 0,. Nota que Re Re Re 0 cis cis cis cis Im 0 Im 0 Im 0 cis cis cis cis Im(z) oh w Re(z) Então, a imagem geométrica de cis cis pertence ao º quadrante, pelo que só poderá ser o ponto A. Resposta: A 6. Analisemos cada uma das opções, considerando z a bi : se z 0, z a bi a bi z a bi a bia bi a b z. A afirmação da opção A é verdadeira. Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 0

21 se z 0, z a bi a bi z a bi a bia bi a b z Preparar o Eame 0 06 Matemática A. A afirmação da opção A é verdadeira. z z a bi a bi a a Re z. A afirmação da opção B é verdadeira. z z a bi a bi a b z. A afirmação da opção C é verdadeira. z z a bi a bi bi bi e Im z b. A afirmação da opção D não é verdadeira. 7. Seja z cis. Então, i i cis cis cis z cis n i 7 i. z cis cis cis Assim, se w é tal que arg w 6 6 arg cis 7, então a imagem geométrica de w 7 pertence ao º quadrante, pelo que só pode ser o ponto B. 8. Temos que i 5n i. Então, 5n 5n 5n 5n k i i i i i i i i i 5n k n, k. k ii 5 se k tem-se n, se k, tem-se tem-se 9 n,, se k 6, tem-se n 5, se k 7, 5 9 n,, se k, tem-se n 9. Repara que os valores naturais de n que satisfazem a 5 equação são, 5, 9,,, ou seja, as soluções da equação constituem uma progressão aritmética de razão cujo primeiro termo é. Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página

22 Preparar o Eame 0 06 Matemática A 9. Calculemos w : 8n n n n 8n n n n0 w i i i i i i i i i i i i n n n n 5 i i i i i i i i i i i i i. n i Assim, w i e a imagem geométrica de w pertence ao º quadrante. Então, a 5 representação trigonométrica de w só pode ser cis. 50. Vamos escrever i na forma trigonométrica: i. Sendo um argumento de i tg e º quadrante, portanto. Assim, i cis. Como w e w cis são raízes consecutivas de índice n de um número compleo, então n 6. Nota que os argumentos de duas raízes consecutivas de índice n de um número compleo n diferem de. n Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página

23 Preparar o Eame 0 06 Matemática A 5. Sejam z, z e z as raízes cúbicas de w. Temos que, por eemplo, arg z arg z 7 arg z e 6. Então, 7 arg z arg z. Assim, as imagens geométricas das outras 6 6 raízes cúbicas de w pertencem aos º e º quadrantes. 5. Se z a bi, com a 0 e b 0, então a imagem geométrica de z pertence ao º quadrante. A imagem geométrica da outra raiz quadrada de z, z, obtém-se rodando radianos a imagem geométrica de z em torno da origem, ou seja, z z. Então, a imagem geométrica de z pertence ao º quadrante. 5. Sejam z e z 6 os números compleos cujas imagens geométricas são os pontos B e G, respetivamente. Então, 8 z6 6 6 z é raiz oitava de z 6cis sendo um argumento de z, tem-se portanto. O raio da circunferência representada é z arg z arg z 5 arg z arg z Então, z6 cis. cos cos e º quadrante, Resposta: A Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página

24 Preparar o Eame 0 06 Matemática A 5. 9 Por 5. temos que z6 cis, em que 6 Então, w 5. z é tal que z 8 6 w. 9 8 arg 8. Como 8 6, temos que Seja z o número compleo cuja imagem geométrica é o ponto A. Então, z cis. Os vértices do heptágono representado são as imagens geométricas das raízes sétimas de um número compleo. Assim, sabemos que a diferença dos argumentos dos números compleos correspondentes a dois vértices consecutivos do heptágono é. 7 Averiguemos a diferença entre os argumentos de z e z : 6 8. Assim, o vértice que é imagem geométrica de z é o º a seguir ao 7 7 vértice A, no sentido positivo, ou seja, é o ponto E. 55. Para que as imagens geométricas dos números dados sejam vértices de um heágono regular centrado na origem, os argumentos desses números têm de diferir entre si de k, k 6. Analisemos cada uma das opções: 7, 7 e 8 As imagens geométricas dos números da opção A podem ser vértices de um heágono nas condições do enunciado i cis, i cis i 5 e cis 5. Então,, e As imagens geométricas dos números da opção B podem ser vértices de um heágono nas condições do enunciado Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página

25 Preparar o Eame 0 06 Matemática A i cis. Então, k, k. As imagens geométricas dos números da opção C 6 6 não podem ser vértices de um heágono nas condições do enunciado cis0. Então, 0, 6 e 6 0. As imagens 6 geométricas dos números da opção C podem ser vértices de um heágono nas condições do enunciado 56. Analisemos cada uma das opções: z z Im Re não define a bissetriz dos quadrantes pares pois esta é definida pela condição Im z Re z passa no ponto 0,. A condição dada representa a reta paralela à bissetriz dos quadrantes pares e que z i z representa a mediatriz de PQ, em que P é o afio de i e Q é o afio de. A condição dada representa a bissetriz dos quadrantes ímpares. arg z a semirreta com origem em O e que forma um ângulo de amplitude com o semieio positivo real. A condição dada representa a parte da bissetriz dos quadrantes pares contida no º quadrante. Im z Re z 0 Im z Re z. A condição dada representa a bissetriz dos quadrantes pares. 57. Comecemos por determinar a condição que define a coroa circular representada: z e z. A coroa circular é definida por z As opções B e D são ecluídas. Para determinar o restante da condição pretendida, temos de determinar, o argumento de z : tem-se tg 5 e º quadrante, portanto. Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 5

26 Preparar o Eame 0 06 Matemática A Então, a condição que define a região colorida a azul é 5 z arg z. Resposta: A 58. A condição z z r representa um círculo com centro no afio de z e raio r. Então: se a área do círculo é 9, então r. As opções A e C são ecluídas como o centro pertence à bissetriz dos quadrantes pares, temos que z z z z Re Im Re Im. As opções B e C são ecluídas A única opção que não foi ecluída é a D. 59. Analisemos cada uma das condições z e z zi Re : z z z esta condição representa o círculo de centro na origem e raio. z zi a bi ai b a b b a z z Re Re Im Re esta condição representa a reta paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares que passa no ponto 0,. Representemos, então, a condição dada: Im(z) o Re(z) Já sabemos que o segmento representado é paralelo à bissetriz dos quadrantes ímpares, pelo que podemos ecluir as opções A e D. Calculemos o comprimento do segmento de reta representado: i i. Assim, podemos ecluir a opção B. Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 6

27 Preparar o Eame 0 06 Matemática A 60. Vamos nomear os vértices do triângulo como se mostra na figura: B definida pela condição Temos que: a região do plano limitada pela reta BC e à qual os pontos do triângulo pertencem é definida pela condição opção A é ecluída. Im z. A a semirreta com origem em A e que passa em C é 7 arg arg 7 z i z i. A opção B é ecluída. a semirreta com origem em A e que passa em B não é definida pela condição A C arg zi, visto que não faz um ângulo de radianos com o semieio real positivo. A opção C é ecluída. A única opção que não foi ecluída é a D. 6. Temos que: o círculo representado tem centro na origem e raio 6 ( 6cis 5 pertence à respetiva circunferência), pelo que é representado pela condição z 6. A, e B,, pelo que a mediatriz do segmento AB é dada pela condição z i z. A região do plano limitada pela mediatriz do segmento AB e que contém o ponto B é dada por z i z. arg i e arg 6cis 5. Então, o ângulo com vértice em O, em que o lado 5 origem é a semirreta com origem em O e que passa em C, e o lado etremidade é a semirreta com origem em O e que passa em A, é definido por arg z 5 Então, a região colorida da figura, incluindo a fronteira, é definida pela condição z 6 arg z z i z. 5 Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 7

28 Preparar o Eame 0 06 Matemática A 6. Analisemos cada uma das condições zz e zi : z z z z z z Re Re Re Re. As opções B e C são ecluídas zi representa um círculo com centro no afio de i e raio. A opção D é ecluída Resposta: A 6. Temos que: A condição III não pode definir a região colorida a amarelo porque zi representa um círculo com centro no afio de i e não no afio de i. As opções A e D são ecluídas A condição II não pode definir a região colorida a amarelo porque Im z representa o conjunto de pontos com parte imaginária inferior a e, na figura dada, os pontos que pertencem à região colorida têm parte imaginária superior ou igual a. As opções B e D são ecluídas As condições I e IV definem a região colorida a amarelo. 6. Temos que: z representa a região limitada pelas retas horizontais Im Im z e Im z. A opção C é ecluída z z i representa o semiplano limitado pela mediatriz de PQ, em que P é o afio de e Q é o afio de i, e que contém o afio de. As opções A e B são ecluídas z representa o círculo centrado na origem e de raio, que se encontra representado em todas as opções. Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 8

29 Preparar o Eame 0 06 Matemática A 65. Vejamos a representação de cada uma das opções: A B Im(z) Im(z) arg(z)= π arg(z)= π o Re(z) o Re(z) C D 6 z z z zi z Im Im Im Im(z) Re 0 Re 0 z z Re 0 Re Re(z) Im(z) arg(z+)= π Re(z) Im(z) o Re(z) z-(--i) z ar o Re(z) arg(z+)= 5π 66. Sendo z a bi z z a bi a bi a abi b a abi b, abi a b z z Re 0 Im 0 Esta condição define os eios coordenados. Resposta: A Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 9

30 Preparar o Eame 0 06 Matemática A 67. Temos que: como é ecluída i i i i i i i, a circunferência representada tem raio A opção A o centro da circunferência é i A opção D é ecluída o ângulo representado tem vértice em. A opção B é ecluída Proposta de Resolução dos Eercícios de Escolha Múltipla Preparar o Eame Trigonometria e Números Compleos Página 0