P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 7

Transcrição

1 P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 7 GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. Nas condições do enunciado, o número de triângulos que se podem formar com três dos doze pontos é (dos cinco pontos da reta escolhem-se dois e dos sete pontos da reta escolhe-se um ou dos cinco pontos da reta escolhe-se um e dos sete pontos da reta escolhem-se dois). Resposta: C 2. Os acontecimentos e são incompatíveis, portanto, e. Tem-se: ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) i) Como e são incompatíveis então, e portanto. Pretende-se determinar a probabilidade de ocorrer o acontecimento contrário de contrário de ocorre, isto é, ( ). Assim:, sabendo que o acontecimento ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Resposta: B 3. O vetor é um vetor diretor da reta. Como, então o vetor é um vetor diretor da reta. Assim Tem-se, ( ) Como [ ] ( é a amplitude do ângulo formado pelas retas e ), então. Portanto,. Resposta: A Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 1

2 4. Sendo o ponto de interseção do eixo com a reta que contém o ponto e é paralela ao eixo, vem [ ]. portanto.. Logo, e Logo, ( ) e. Como, vem e portanto. Assim, [ ]. Resposta: A 5. Como a função é contínua em, então também o é em. A função é contínua em se e só se, assim: ) i) A função é estritamente decrescente em ] ], logo é injetiva e portanto. ( ) Logo,. Resposta: D 6. Como ] [ { }, vem e portanto. Logo, e é um mínimo relativo da função. Resposta: D Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 2

3 7. A resposta correta é a IC. De facto, fazendo, vem: ( ) ( ) Portanto, a condição representa a reta vertical (paralela ao eixo imaginário) que contém o ponto de coordenadas. Resposta: C 8. Tem-se que. Assim: Vamos utilizar a regra do paralelogramo para resolver este problema: I (z) iz z iz z z z R (z) Logo, z z z Resposta: B Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 3

4 GRUPO II ITENS DE RESPOSTA ABERTA , assim:. Logo, Portanto:, { }, { } Para vem ( ) ( ) Para vem ( ) ( ) Para vem ( ) ( ) Para vem ( ) ( ) O conjunto solução da equação é: { } Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 4

5 Representando o quadrando cujos vértices são as soluções da equação: I (z) A medida do lado do quadrado é igual a área é igual a ( )., logo a sua O R (z) 1.2. Tem-se ) i) Cálculo auxiliar: Para escrever na forma trigonométrica, vem:. Sendo um argumento de, tem-se e quadrante, pelo que. Assim,. A imagem geométrica de pertence à bissetriz dos quadrantes pares se o seu argumento for da forma,. Assim:,,, Logo,. 2. Seja. Se e são raízes de índice de um número complexo, então e ( ) e portanto ( ). Como e ( ) ( ) ( ) ( ), vem: ( ),,,, Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 5

6 Logo,,. Como é um número natural ímpar, então, I e portanto o argumento de é da forma:, I e (Como I e, obviamente que ) Conclui-se então que a imagem geométrica de pertence ao eixo imaginário, ou seja, é um imaginário puro Considere-se os acontecimentos : «o automóvel escolhido tem matrícula portuguesa» e : «o automóvel escolhido é um(a) «berlina» / carrinha / desportivo». Do enunciado tem-se que: ; ( ) ; ( ) ; ( ) e Assim: ( ) ( ) Colocando estes valores numa tabela de dupla entrada, vem: Justificações: p.m. p.m. ( ) Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 6

7 Tem-se, como, vem: Portanto,. Terminando o preenchimento da tabela: p.m. ( ) Justificações: 0,062 p.m. ( ) Logo, ( ) ( ) Considere-se a variável aleatória : «número de habitantes com olhos azuis presentes na festa em». A variável aleatória segue uma distribuição binomial de parâmetros e, isto é,. Pretende-se determinar de modo que a probabilidade de pelo menos um dos presentes na festa ter olhos azuis seja de, isto é,. Assim: Logo,, ou seja, para que a probabilidade de pelo menos um dos presentes ter olhos azuis ser de, têm de estar na festa habitantes da localidade. 4. Considere-se a variável aleatória : «produto dos números inscritos nas cinco bolas extraídas». O produto das cinco bolas extraídas pode ser:, se entre as cinco bolas extraídas não existirem bolas numeradas com o número ;, se pelo menos uma das cinco bolas extraídas estiver numerada com o número. Assim, { } e portanto tem-se e. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 7

8 Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória é dada por: O valor médio da variável aleatória é dado por, ou seja, em cada realização da experiência o produto médio (ou produto esperado ) é de, portanto em realizações desta experiência é de esperar que a soma dos produtos obtidos esteja próxima de ( ) ) ( ) ) limite notável i) Mudança de variável: Se então e portanto. Seja,. ii) ) ( ) iii) Mudança de variável: Se então. Seja,. limite notável Logo, como, não existe. Assíntotas verticais Tem-se que, logo a reta de equação é assíntota vertical do gráfico de. Como a função é contínua em IR { }, então o gráfico de não tem mais assíntotas verticais. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 8

9 Assíntotas não verticais Quando : ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) Se então (limite notável) i) Mudança de variável: Se então. Seja,. Portanto. ( ) ( ) ( ) ( ) Se então Outra resolução para o cálculo de ( ): ( ) ) ( ) ( ) Se então (limite notável) ii) Mudança de variável: Se então. Seja,. A reta de equação é assintota horizontal do gráfico de, quando. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 9

10 Quando : Quando o gráfico de não tem assíntotas Para tem-se ( ), assim: ( ) ( ) Portanto,. Tem-se: ) ( ) ( ) i) Cálculo auxiliar:, logo Tem-se,. Assim: ( ) ( ) Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 10

11 Fazendo um quadro de variação do sinal da função, vem: min. máx. min. é decrescente em ] ] e em [ ], é crescente em [ ] e em [ [, tem mínimo relativo em e em e tem máximo relativo em A área do trapézio [ ] é dada por. Assim, como:, onde é a medida da altura do trapézio, pelo que, vem: [ ] Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se a função na janela de visualização [ ] [ ]. Logo, as coordenadas do ponto são, com e (a área do trapézio é máxima em ). y b A O a x Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 11

12 7. O perímetro do trapézio [ ] é dado por. Seja. Tem-se que (ângulo interno) e também, assim: Assim: ) α D C ) A α π E B Logo, como vem, e. Portanto: [ ] i) Figura auxiliar: Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 12

13 A função é contínua em] [, pois é quociente e soma entre funções contínuas. Logo, a função também é contínua em [ ] ] [. Tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Como, vem ( ) e portanto. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Como, vem ( ) e portanto. Assim, como, pelo teorema de Bolzano existe pelo menos um ] [ tal que. 8. A função é afim, portanto é da forma. Além disso, a função é crescente (portanto ) pois o seu gráfico interseta o eixo no ponto de abcissa e o eixo num ponto de ordenada positiva, como evidenciado na figura. Assim: y f. O x Fazendo um quadro de variação do sinal da função, vem: i) min. i) Observa que o sinal de depende apenas do sinal de, pois, IR. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 13

14 Conclui-se então que a função tem um mínimo absoluto em, portanto, IR { }. Logo, a afirmação IA é verdadeira, não sendo esta a opção correta. Da análise do quadro também se conclui que a função é decrescente em ] ], isto é: ] ] Assim, como e, vem e, para todo o ] ] (se pertence ao intervalo ] ] então e também pertencem a esse intervalo). Logo:, ] ] Logo, a afirmação IC é verdadeira e portanto esta também não é a opção correta. Por outro lado, como o ponto de coordenadas pertence ao gráfico de, vem, pelo que,. Assim tem-se: ( ) ( ) Fazendo um quadro de variação do sinal da função, vem: p.i. p.i. i) Observa que o sinal de depende apenas do sinal de, pois, IR e. Logo, a afirmação ID não é a correta pois é verdade que o gráfico da função em [ [. tem a concavidade voltada para cima Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 14

15 A opção correta é a IB (o gráfico da função não tem ponto de inflexão em, portanto esta afirmação não é verdadeira). 9. O ponto pertence ao plano e portanto as suas coordenadas são da forma. Como o ponto pertence à reta, substituindo-as na condição que define a recta, vem: { { Logo, as coordenadas do ponto são. O ponto pertence ao eixo e portanto as suas coordenadas são da forma. Como o ponto pertence ao plano, substituindo-as na equação do plano, vem: Logo, as coordenadas do ponto são e consequentemente as coordenadas do ponto são ( ). O ponto pertence ao eixo e portanto as suas coordenadas são da forma. Como o ponto pertence ao plano substituindo-as na equação do plano, vem,. Logo as coordenadas do ponto são. Portanto as coordenadas dos vértices da pirâmide são,,, e. Na figura seguinte está representado o quadrilátero [ ] no plano (Vista de cima): Assim, [ ] [ ] [ ] C E 7 4 O y Logo, [ ] [ ]. B 4 5 A x Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 15

16 Seja um vetor normal ao plano. Este vetor é perpendicular aos vetores e, dois vetores não colineares do plano. Assim vem: { { { { { Concluímos então que as coordenadas do vetor são da forma, sendo um número real não nulo. Fazendo, por exemplo, vem que é um vetor normal ao plano. Logo o plano pode ser definido por uma equação do tipo. Como o ponto pertence ao plano, substituindo-o na sua equação vem,. Então uma equação cartesiana do plano é dada por. Cálculos auxiliares: ;. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 7 Página 16