PROVA MODELO N.º 11 JULHO DE 2018 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO MATEMÁTICA A 12.º ANO DE ESCOLARIDADE

Transcrição

1 EXME NIONL DO ENSINO SEUNDÁRIO MTEMÁTI.º NO DE ESOLRIDDE Site: Facebook: PROV MODELO N.º JULHO DE 08 Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º

2 DERNO Neste grupo a utilização de calculadora gráfica é permitida. Na resposta aos itens de escolha múltipla, seleccione a opção correcta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. Na resposta aos itens de resposta aberta apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto..... P00/00 PM05.. De um dado viciado, com as faces numeradas de a 6, sabe-se que lançando-o quatro vezes, a probabilidade de sair face com o número exactamente duas vezes é 8 7. Lança-se este dado dez vezes. Qual é a probabilidade, arredondada às milésimas, de sair face com o número exactamente cinco vezes? 0,039 B 0,099 0,37 D 0,575.. Na figura está representado o triângulo escaleno B. 3cos B Sabe-se que é a amplitude, em radianos, do ângulo B, B, B e 3cos. Qual é o valor de, arredondado às milésimas? 0,680 B 0,98,0 D,347 Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º

3 . Num referencial o.n. Oxyz, não representado na figura, considere um sólido constituído por um prisma e uma pirâmide, ambos hexagonais regulares. D E B Sabe-se que:,,0 e B é o ponto de intersecção do plano B com o eixo Oz uma equação cartesiana do plano B é x y z o prisma e a pirâmide têm a mesma altura o volume do sólido é Determine o valor de E BD... Escreva uma equação cartesiana do plano BD..3. Estão disponíveis dez cores (amarelo, azul, encarnado, preto, branco, verde, roxo, laranja, rosa e castanho) para colorir o sólido. Pretende-se que cada face fique colorida com apenas uma cor de modo que: nas faces do prisma não haja cores repetidas as faces da pirâmide fiquem coloridas com as cores amarelo, azul, preto, branco, verde e rosa, com a cor preta e a cor branca em faces consecutivas De quantas maneiras se pode colorir o sólido nas condições do enunciado? B D Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º 3

4 3. Numa empresa sabe-se que: 40% dos funcionários são homens 8 dos funcionários do sexo masculino são licenciados entre os funcionários licenciados, três em cada quatro são mulheres 3.. Escolhe-se ao acaso um funcionário desta empresa. Qual é a probabilidade de não ser licenciado ou ser do sexo masculino? presente o resultado na forma de percentagem. 3.. empresa tem 0 funcionários dos quais se escolhem quatro, simultaneamente e ao acaso. onsidere os acontecimentos: X : «Os quatro funcionários escolhidos são do sexo masculino» Y : «Pelo menos três dos funcionários escolhidos são licenciados» Sem recorrer à fórmula da probabilidade condicionada, determine o valor de PY X. omece por interpretar o significado de PY X no contexto da situação descrita. presente o resultado na forma de dízima com quatro casas decimais. Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º 4

5 4. Numa experiência científica foi utilizada uma cultura de bactérias. O número de bactérias nessa cultura, em milhares, t horas após o início da experiência é dado, aproximadamente, por: 3 0e, com t 0 0,8t f t Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine o instante correspondente à abcissa do ponto de inflexão do gráfico de f e interprete o resultado no contexto da situação descrita. Na sua resposta deve: equacionar o problema reproduzir o(s) gráfico(s) que considerar necessário(s) para a resolução do problema bem como a(s) coordenada(s) de algum (ou alguns) ponto(s) relevante(s) apresentar o instante pedido em horas e minutos, minutos arredondados às unidades interpretar o resultado no contexto da situação descrita No caso de fazer algum arredondamento intermédio utilize, no mínimo, três casas decimais. 3, com 0,. 5. Em, conjunto dos números complexos, seja z cos sen isen Sabe-se que: o afixo de z pertence ao terceiro quadrante z é uma das raízes de índice n, com n, do número complexo 8 Qual das seguintes opções é a correcta? 0 B D Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º 5

6 6. Sejam u n e n v duas sucessões tais que: n u é uma progressão aritmética e u u8 6 n 6 e a soma dos seus seis primeiros é 090 vn u 8 n Mostre que u3 0. Sugestão: determine a razão da progressão aritmética n u e mostre que a sucessão v é uma progressão geométrica. n 7. Na figura estão representadas em referencial o.n. xoy, uma circunferência, centrada no ponto e tangente aos eixos coordenados, e as rectas r e t. y r O t x Sabe-se que: uma equação vectorial da recta r é x, y 0, k 8,4, k as rectas r e t são perpendiculares e intersectam-se no ponto Qual é a equação reduzida da recta t? y x 6 B y x 9 D y x 3 9 y x FIM DO DERNO Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º 6

7 DERNO Neste grupo a utilização de calculadora gráfica não é permitida. Na resposta aos itens de escolha múltipla, seleccione a opção correcta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. Na resposta aos itens de resposta aberta apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto P00/00 PM Num referencial o.n. Oxyz, considere, para ab, \ 0 : a recta r definida por x z y 4 a a ax o plano definido por y bz recta r está contida no plano. Quais são os valores de a e de b? a b B a 6 e b 6 a 6 e b 6 D ab Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º 7

8 8.. Na figura está representado em referencial o.n. o movimento de um oscilador harmónico. x O t Tal como a figura sugere a função x, que dá a abcissa deste oscilador harmónico em função do tempo t, em segundos, tem um máximo em 9 t e um mínimo em 8 45 t. 8 Sejam e, respectivamente, a pulsação e a fase deste oscilador. Quais são os valores de e de? e B e e D 3 4 e Em, conjunto dos números complexos, considere z cos isen e z i 35 i z 5, com 0,. Determine os valores que para os quais o afixo de z pertence à região do plano complexo definida pela condição: z i rg rg 6 3 Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º 8

9 P00/00 PM Seja X uma variável aleatória com distribuição normal de valor médio e desvio padrão tal que: P X 4 0,3 Qual das seguintes afirmações é falsa? B P X 0 0% P X 4 X 0 60% D P X X 0 4 5% 0.. Na figura estão representados num referencial o.n. xoy uma elipse de focos e B e o triângulo B. y O B x Sabe-se que: o ponto pertence à elipse e tem ordenada em relação ao triângulo B a sua área é 6 e o seu perímetro é 4 Qual das seguintes é a equação reduzida da elipse da figura? x y B 6 8 x y 5 8 x y x y D Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º 9

10 . Na figura estão representados num referencial o.n. xoy a circunferência trigonométrica e o quadrilátero OB. y O E x D B Sabe-se que: o ponto desloca-se sobre a circunferência, no quarto quadrante (eixo Oy não incluído). O ponto acompanha o movimento de, de modo que o segmento de recta é sempre paralelo a Ox o ponto pertence ao eixo Oy e o arco de circunferência B está centrado no ponto D, ponto médio de Sejam a amplitude, em radianos, do ângulo EO, com,0 OB em função de. e f a função que dá a área do quadrilátero.. Mostre que f sen cos... Estude a função f quanto à monotonia e à existência de extremos relativos e indique o valor máximo da área do quadrilátero OB. Sugestão: para determinar o valor máximo do quadrilátero OB tenha em conta que cos cos. Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º 0

11 . onsidere as funções g e h, de domínios e, respectivamente, definidas por:.. Seja n ln e h x g x x x x x 3 k x x e g x 3 x x a sucessão definida por x n 3 e n Qual é o valor de lim h x? n n. e se se x, com k B 0 D.. Determine o valor de k de modo que a função h seja contínua..3. Estude a função g quanto ao sentido das concavidades e à existência de pontos de inflexão do seu gráfico. Itens extra: a) Escreva a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa e.. b) Determine o conjunto solução da inequação g x ln x ln8 x ln x 3. Seja h uma função de domínio tal que a recta de equação yx 4 é assimptota do gráfico de h. Qual é o valor de lim x log hx h x log x x? B 4 4 D Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º

12 4. Sejam f e g duas funções de domínio tais que: f é contínua e estritamente monótona o gráfico de f intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa e o eixo Oy num ponto de ordenada positiva x x g x e f x x a, com 0a Mostre que a equação g x f tem pelo menos uma solução no intervalo 0,. FIM DO DERNO FIM D PROV MODELO Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º

13 otações aderno. 8 pontos... 0 pontos.. 0 pontos.3. 8 pontos pontos 3.. pontos 4. pontos 5. 8 pontos 6. pontos 7. 8 pontos Total aderno 00 pontos aderno 8. 8 pontos 9. pontos 0. 8 pontos... 0 pontos.. pontos... 8 pontos.. pontos.3. pontos 3. 8 pontos 4. 0 pontos Total aderno 00 pontos Total aderno aderno 00 pontos Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º 3

14 Solucionário aderno.... B x y z % 3.. 0, t,878, que corresponde a, aproximadamente duas horas e 53 minutos. Passadas, aproximadamente duas horas e 53 minutos, a taxa de crescimento do número de bactérias começa a diminuir. 5. D 7. aderno 8.. B D.. função g é decrescente em,0 8 e é crescente em, 8. Tem um máximo absoluto em e um mínimo relativo 8 em 0. O valor máximo da área do quadrilátero OB é g. 8.. B.. k e.3. O gráfico da função g tem a concavidade voltada para baixo em ponto de inflexão em x. e I.E. a) y 3x e 4 3 I.E. b),,4 0, e, tem a concavidade voltada para cima em, e e tem 3. Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º 4