P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 5

Transcrição

1 P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 5 GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. Agrupando num bloco a Ana, a Bruna, o Carlos, a Diana e o Eduardo, o bloco e os restantes sete amigos permutam entre si de maneiras. Como os cinco amigos de bloco têm de ficar sentados alternadamente por sexo, então a segunda e a quarta posições serão ocupadas por rapazes (portanto, podem-se sentar de maneiras) e as primeira, terceira e quinta posições do bloco por raparigas (portanto, podem-se sentar de maneiras). Logo, o número maneiras dos cinco amigos se sentarem é. Portanto o número pedido é (observa a figura seguinte). Resposta: B 2. Como e são independentes, então, assim: ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) Resposta: C 3. { } { } { } { } { } Cálculo Auxiliar: Para tem-se,.. Assim: Nota: Tem-se que, portanto,,, { }. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 5 Página 1

2 Para tem-se,. Portanto, como é injetiva, vem. { } { } { } { } Condição Universal Portanto as opções IAI, IBI e ICI são verdadeiras e a opção IDI não é verdadeira. Resposta: D 4. Os pontos e pertencem à reta. Assim, e portanto a equação reduzida da reta é (assíntota do gráfico de, quando ). Como a função é par, então a reta de equação é assíntota do gráfico de, quando. Como é finito, então. Assim: ( ) ( ) Portanto,. Resposta: D 5. Tem-se: ( ). Portanto exclui-se a opção IC. ( ) ( ). Portanto exclui-se a opção ID. Nota: Como, vem que ( ) ( ). Portanto exclui-se a opção IB. Resposta: A Proposta de Resolução do Exame-Tipo 5 Página 2

3 6. Tem-se que : Se então (limite notável). Logo, e portanto a função não é contínua à esquerda do ponto. Se então (limite notável) Logo, e portanto a função é contínua à direita do ponto. Portanto a função é contínua em { }, sendo contínua apenas à direita do ponto. Nota: Para a função é contínua pois é composição, diferença e quociente entre funções contínuas no seu domínio e para a função é contínua pelas mesmas razões. Resposta: C 7. Um número real negativo pode ser representado na forma trigonométrica por, com. Assim:, com { } A raiz sexta que se obtém para é, cuja imagem geométrica pertence à parte positiva do eixo imaginário. Das opções apresentadas, o único hexágono que tem um vértice na parte positiva do eixo imaginário é o da opção IB. Resposta: B 8. O ponto é a imagem geométrica do número complexo, portanto o ponto é a imagem geométrica do número complexo, o ponto é a imagem geométrica do número complexo e o ponto é a imagem geométrica do número complexo (observa a figura). (z) Pela regra do paralelogramo tem-se: B z A z w P Q w O e(z) C z D z Assim, ( ) Resposta: B Proposta de Resolução do Exame-Tipo 5 Página 3

4 Preparar o Exame Matemática A GRUPO II ITENS DE RESPOSTA ABERTA ( ) ( ) ( ) ) Logo,, mas porque e e portanto. i) Cálculo Auxiliar: Para escrever na forma trigonométrica, vem: ( ). Sendo um argumento de, tem-se e quadrante, pelo que. Assim, Fazendo, com, vem: { { { { Se então que não é solução, pois. Se e substituindo por valores pertencentes ao conjunto { }, obtém-se: Portanto, o conjunto solução da condição é { } ( ) designa a probabilidade de o produto dos números das três fichas retiradas da caixa B ser zero, sabendo que as duas fichas retiradas de A e colocadas em B estão numeradas com o mesmo número. Assim, as fichas retiradas Proposta de Resolução do Exame-Tipo 5 Página 4

5 da caixa A e colocadas na caixa B estão numeradas com o número e portanto, para a segunda fase da experiência, ficam na caixa B sete fichas, duas numeradas com o número, três numeradas com o número e duas numeradas com o número. Logo, o número de casos possíveis é (é o número de maneiras de retirar três fichas entre as sete da caixa B). Para o produto dos números das três fichas ser zero, pelo menos uma delas tem de estar numerada com o número, portanto o número de casos favoráveis é (é o número de maneiras de retirar um ficha numerada com o número entre as duas e das restantes cinco retirar-se duas ou retirar duas fichas numeradas com o número entre as duas e das restantes cinco retirar-se uma). Assim, pela lei de Laplace, ( ) De acordo com a experiência aleatória enunciada, as somas possíveis são: (extraindo uma ficha com o número da caixa A e duas com o número da caixa B), o resto da divisão inteira de por é ; (extraindo a ficha com o número da caixa A e duas fichas com o número da caixa B ou extraindo uma ficha com o número da caixa A, uma com o número da caixa B e uma com o número da caixa B), o resto da divisão inteira de por é ; (extraindo uma ficha com o número da caixa A e as duas com o número da caixa B ou extraindo a ficha com o número da caixa A, uma com o número da caixa B e uma com o número da caixa B), o resto da divisão inteira de por é ; (extraindo a ficha com o número da caixa A e as duas fichas com o número da caixa B), o resto da divisão inteira de por é. Portanto, a variável aleatória pode tomar os valores,, e, isto é { }. Para qualquer valor da variável aleatória o número de casos possíveis é. Tem-se que: ( e e ) ( e e ) ( e e ) ( e e ) Portanto, a tabela apresentada é a da distribuição de probabilidades da variável aleatória. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 5 Página 5

6 3. Consideremos o acontecimento : «tinteiro tem um volume de tinta compreendido entre ml e ml». A variável aleatória : «volume de tinta, em ml, dos tinteiros» segue uma distribuição normal cujo valor médio vamos designar por e o desvio padrão por, isto é. Tem-se que como o intervalo [ ] é o único intervalo de amplitude em que, vem que e, portanto: e Nota: Os valores de e podem ser obtidos resolvendo o sistema { Tem-se então que e. Assim: Seja a variável aleatória «número de tinteiro tem um volume de tinta compreendido entre ml e ml num total de seis». Esta variável aleatória tem distribuição binomial de parâmetros e, isto é. Portanto, pretende-se determinar : Tem-se: { { { { { { { { Portanto, e. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 5 Página 6

7 Tem-se que. A massa do elemento radioativo A reduz-se por ano Tem-se: Fazendo vem: Logo, e portanto a diferença entre a massa da amostra do elemento radioativo A e a massa da amostra do elemento radioativo B é de mg passados, aproximadamente, sete anos e quatro meses. 5. Seguindo a sugestão, vamos provar que a função tem pelo menos um zero no intervalo [ ]. Provando que a função tem pelo menos um zero, fica provado que pertence ao contradomínio de. Tem-se: e têm sinais contrários. Como é estritamente decrescente em IR e as retas de equações e são assíntotas do seu gráfico vem que ] [, ou seja,, (na figura abaixo está uma possível representação gráfica da função ). ( ), e portanto,.. Assim, como,, vem Proposta de Resolução do Exame-Tipo 5 Página 7

8 A função é contínua em IR, pois é produto, soma e quociente entre funções contínuas em IR, logo é contínua em [ ]. Tem-se: e Logo, como e têm sinais contrários então e também têm sinais contrários e portanto pelo corolário do teorema de Bolzano ] [: pertence ao contradomínio da função. Outra resolução: A função é contínua em. Logo, também é contínua em [ ] e portanto, como, pelo corolário do teorema de Bolzano ] [:. Assim, como, (provado na primeira resolução), este ] [ também é zero da função, pois: Ou seja, a função tem pelo menos um zero em ] [ pertence ao contradomínio da função. 6. Tem-se ( ), assim: ( ) ( ) ( ) ( ) Proposta de Resolução do Exame-Tipo 5 Página 8

9 Fazendo um quadro de variação do sinal da função, vem: n.d. p.i. n.d. p.i. O gráfico de tem a concavidade voltada para baixo em ] ] e em ] ], tem a concavidade voltada para cima em [ [ e em [ [ e tem ponto de inflexão em e em Tem-se e ( e ). Assim a área colorida da figura é dada por [ ] ( ). e e ( e ) e e, Como [ ], vem e portanto. A reta é tangente ao gráfico de no ponto, assim, como e, vem: e Assim, a equação reduzida da reta é do tipo e como o ponto pertence à reta, tem-se: Proposta de Resolução do Exame-Tipo 5 Página 9

10 Logo, a equação reduzida da reta é e portanto Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se e na janela de visualização [ ] [ ]. Fazendo um quadro de variação do sinal da função, vem: min. máx. min. máx. A função é decrescente em [ ], é crescente em [ ] e em [ ], tem um mínimo relativo em e em e tem um máximo relativo em e em, em que e. 8. Tem-se: Logo, a esfera tem centro no ponto de coordenadas e raio. Assim, como uma das arestas verticais do prisma é um dos diâmetros da esfera, conclui-se que essa aresta só pode ser a aresta [ ] (é a única aresta vertical do prisma cujo ponto médio pode ter coordenadas ). Portanto as coordenadas do ponto são, as coordenadas do ponto são e a altura do prisma é. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 5 Página 10

11 O ponto é o ponto de interseção entre os planos, e. Assim podemos determinar as suas coordenadas resolvendo um sistema formado pelas equações dos três planos. Tem-se: { { { { { { Logo as coordenadas do ponto são. O ponto pertence ao plano, tem abcissa igual a e cota igual a, ou seja, as suas coordenadas são da forma. Assim, substituindo-as na equação do plano, vem: Logo as coordenadas do ponto são. O ângulo é o ângulo entre os vetores e. Seja a amplitude do ângulo. Assim tem-se: Portanto,. Assim, como então, ( ). Cálculos auxiliares: ;. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 5 Página 11