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1 P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 1 GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. Trata-se de uma permutação com repetições, ou seja, é uma sequência de oito letras em que a letra repete-se duas vezes e a letra três vezes. O número de chaves distintas é dado por. Outra resolução: Começa-se por escolher duas posições entre as oito para as letras, em seguida três posições entre as restantes seis para as letras. Finalmente as três letras que faltam, que são distintas, permutam nas restantes três posições de maneiras. O número de chaves distintas é dado por: Resposta: A 2. O número de casos possíveis é. Para a Helena ganhar o terceiro prémio, dos cinco números que apostou têm de ser sorteados três e dos que não apostou têm de ser sorteados dois. Portanto o número de casos possíveis é. Resposta: B 3. Sabe-se que. A média da variável aleatória é, portanto: Assim: { { { { { 4. Tem-se. Assim: Resposta: D Resposta: B Proposta de Resolução do Exame-Tipo 1 Página 1

2 5. A resposta correta é a ID, pois e portanto, pela definição de limite segundo Heine: Resposta: D 6. Tem-se e portanto: Como o gráfico da função tem a concavidade voltada para baixo em ] ] e tem a concavidade voltada para cima em [ [, então e. Fazendo um quadro de variação do sinal da função, vem: p.i. p.i. No intervalo [ [, o gráfico da função tem a concavidade voltada para cima. Resposta: A 7. Tem-se, portanto. Assim: ( ) A imagem geométrica de pertence à bissetriz dos quadrantes pares se ( ) ( ). Portanto: ( ) ( ) Resposta: D Proposta de Resolução do Exame-Tipo 1 Página 2

3 8. A condição representa um círculo de raio centrado na imagem geométrica de. A condição (z) (z ) π A representa duas semirretas com origem na imagem geométrica de e que fazem um ângulo de amplitude e com o semieixo B O (z) real positivo, respetivamente. Na figura o ponto é a imagem geométrica de e o ponto é a imagem geométrica de. (z ) π Resposta: C GRUPO II ITENS DE RESPOSTA ABERTA Cálculos Auxiliares: Para escrever na forma trigonométrica, vem:. Sendo um argumento de, tem-se e quadrante, pelo que. Assim { } { } { } Portanto as soluções da equação são, e. Na figura, o ponto é a imagem geométrica de, o ponto é a imagem geométrica de e o ponto a de. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 1 Página 3

4 O triângulo [ ] é equilátero, assim: (z) [ ] B D O A (z) [ ] O número de casos possíveis é. Agrupando num bloco as três figuras e o ás de espadas, o bloco e as restantes nove cartas permutam entre si de Maneiras. Para cada uma destas maneiras as quatro cartas do bloco permutam entre si de maneiras. Logo o número de casos favoráveis é (observa a figura seguinte) e portanto a probabilidade pedida é. Outra resolução: Considerando apenas os lugares que as figuras e o ás podem ocupar, tem-se que o número de casos possíveis é (número de maneiras de escolher quatro lugares entre treze). O número de casos favoráveis é (ficando as quatro cartas juntas, elas podem ocupar os lugares do ao lugares, ou do ao lugares, ou do ao lugares, ou do ao lugares, ou do ao lugares, ou do ao lugares, ou do ao lugares, ou do ao lugares, ou do ao lugares, ou do ao lugares). Portanto a probabilidade pedida é. Observa a figura seguinte: maneiras distintas 2.2. ( ) designa a probabilidade das quatro cartas retiradas serem de naipes distintos, sabendo que a primeira carta é do naipe espadas e a segunda carta é do naipe copas. Como já foram retiradas duas cartas, ficam no baralho cartas. Logo, o número de casos possíveis é (das restantes cartas, extraem-se, ordenadamente duas). Visto que as duas primeiras cartas retiradas foram do naipe espadas e do naipe copas, respetivamente, então as duas seguintes terão de ser do naipe paus e do naipe ouros (ou vice-versa). Cada um desses naipes tem treze cartas, assim o número de casos favoráveis é. Pela lei de Laplace, a probabilidade de um acontecimento é o quociente entre o número de casos favoráveis ao acontecimento e o número de casos possíveis, desde que estes sejam equiprováveis. Como qualquer uma das cartas tem igual probabilidade de ser escolhida, a lei de Laplace pode ser aplicada a este problema. Portanto, ( ). Proposta de Resolução do Exame-Tipo 1 Página 4

5 Preparar o Exame 2013 Matemática A 3. Tem-se: ( ) ( ) ( ) i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) 4. A reta de equação é assíntota oblíqua do gráfico de, quando. Assim, e ( ). Determinando o declive e a ordenada na origem da assíntota oblíqua do gráfico de em função de e, vem:. Logo. ( ) Portanto Proposta de Resolução do Exame-Tipo 1 Página 5

6 Como a função é contínua em então também é contínua em e portanto: Assim: ). Se então i) Mudança de variável: Se então. Seja,. Logo, Tem-se: Como ] [, tem-se. Fazendo um quadro de variação do sinal da função, vem: n.d. n.d. n.d. n.d. min. A função é decrescente em ] ], é crescente em [ [ e tem mínimo relativo em. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 1 Página 6

7 5.2. Tem-se. Seja. A função é contínua em ] [ pois é diferença entre funções continuas em ] [. Logo, é contínua em [ ] ] [. Tem-se: Assim, como e têm sinais contrários (e portanto ), pelo corolário do teorema de Bolzano ] [:, ou seja, a equação tem pelo menos uma solução em [ ] À medida que o tempo passa, o número de leões existentes no parque tende para Tem-se: { { { { { { { { { { Proposta de Resolução do Exame-Tipo 1 Página 7

8 Tem-se: π y O x π Outra resolução: Substituindo por números inteiros, e sabendo que [ ], obtemos: Portanto, o conjunto solução da condição [ ] é { }. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 1 Página 8

9 7.2. Seja o ponto de interseção do segmento de reta [ ] com o segmento de reta [ ]. O ponto é simétrico do ponto em relação à reta, portanto e e. Assim: [ ] Cálculos auxiliares: Utilizando o editor de funções da calculadora, define-se e na janela de visualização [ ] [ ]. y f O a b π α Assim, ] [, com e. Proposta de Resolução do Exame-Tipo 1 Página 9

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