PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 2ª FASE 18 DE JUNHO Grupo I

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1 Associação de Professores de Matemática Contactos: Rua Dr João Couto, nº 7-A Lisboa Tel: / Fa: geral@apmpt PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 5) ª FASE 18 DE JUNHO 01 Grupo I Questões Versão 1 B C A D B A C A Versão A D B B C A D C Grupo II 1 11 z 1 1+ i + i 1 + i + 5 i4 i 1 + i i cis π, porque z 1 1 e um argumento de z 1 é π z iz 1 ( z ) n cis π cis π cis π cis π n cis π cis 7π cis π n cis π n ( z ) n é um número real negativo quando π n π + kπ, k n 1k, k Fazendo concretizações de k, obtemos n para k 1, sendo este o menor valor natural de n tal que ( z ) n é um número real negativo Proposta da APM de resolução da prova de Matemática A do ensino secundário, 18 de julho 01 Página 1 de 9

2 1 cos π α cosα + isenα + i cos π α E assim se concluiu o pretendido cos π α cosα + isenα cos π α cosα + isenα cis( π α ) + isen( α ) + isen( π α ) cisα cis π α Como B:" Sairnúmeromenordoque " então B :" Sair número " 5, então 9 Sabe-se que P( A B) P( A B) P( A B) P( A B) 5 9 P ( A B ) P( A B) 5 9 e que P( B A) 7, então 7 P A B P B A P A 1 P( A B) P( A B) P( A B) 5 9 P( A B) P( A B) 4 9 P( A B) 9 P( A) 7 P( A B) 7 Dado que P( A B) 9, temos: Proposta da APM de resolução da prova de Matemática A do ensino secundário, 18 de julho 01 Página de 9

3 P( A) 9 P( A) Uma vez que, A { 1, } e como A B { 1} e B { } são dois acontecimentos incompatíveis, então P( A) P( A B) + P B pelo que, P( B) P( A) P( A B) P( B) P( B) 5 9 Assim, conclui-se que a probabilidade de sair número é Do enunciado retiramos que a probabilidade de escolher, ao acaso, um jornalista e ele ser do seo feminino é 5 Como eistem 0 jornalistas então, o número jornalistas do seo feminino é dado por 0 1, sendo os restantes 8 do seo masculino 5 Os valores da variável Y são: 0, 1 e Assim, a tabela de distribuição da variável Y é: y i 0 1 P( Y y i ) 8 C 14 0 C 95 8 C 1 1 C 1 0 C C 0 C 95 Pretende-se determinar o número de maneiras diferentes dos 0 jornalistas se sentarem nas três primeiras filas, ocupando completamente a 1ª e a ª filas Resposta I): 0 C 1 1! 8 A 4 Eistem 0 C 1 maneiras diferentes de formar grupos de 1 jornalistas, de entre os 0, para ocuparem as duas primeiras filas Para cada grupo de 1 jornalistas eistem 1! maneiras de ocuparem os 1 lugares nas duas primeiras filas Restam 4 jornalistas que têm disponíveis 8 Proposta da APM de resolução da prova de Matemática A do ensino secundário, 18 de julho 01 Página de 9

4 cadeiras na ª fila Há 8 A 4 maneiras diferentes dos restantes 4 jornalistas se sentarem, ordenadamente, em 4 cadeiras de entre as 8 disponíveis Eistem, assim, ao todo, 0 C 1 1! 8 A 4 formas diferentes dos 0 jornalistas se sentarem, nas três primeiras filas, nas condições do enunciado Resposta II): 0 A 8 1 A 8 8 A 4 Eistem 0 A 8 maneiras diferentes de se sentarem, ordenadamente, 8 jornalistas escolhidos entre os 0, na primeira fila Sentados 8 jornalistas, restam 1, sendo que 8 destes deverão ocupar completamente a ª fila Eistem 1 A 8 formas diferentes dos 8 jornalistas, escolhidos de entre os 1, ocuparem as 8 cadeiras da ª fila Ocupadas as duas primeiras filas, restam 4 jornalistas para os quais há 8 A 4 formas diferentes de se sentarem ordenadamente em 4 cadeiras das 8 que constituem a ª fila Eistem, assim, ao todo, 0 A 8 1 A 8 8 A 4 formas diferentes dos 0 jornalistas se sentarem, nas três primeiras filas, de acordo com o enunciado 4 41 A função f é contínua em 1 se e só se lim f ( ) lim f ( ) f ( 1) 1 Comecemos por calcular os limites laterais: lim f ( ) lim ( e + + ) e lim f ( ) lim 1 + sen 1 1 Atendendo a que o limite da soma é igual à soma dos limites das parcelas, quando estes eistem, averiguemos se estes eistem: 1 lim 1 lim 1 1 lim ( 1+ ) ( 1+ ) 1 ( 1 ) 1+ lim ( 1+ ) 1 1 Proposta da APM de resolução da prova de Matemática A do ensino secundário, 18 de julho 01 Página 4 de 9

5 sen 1 lim 1 sen 1 lim 1 Considerando y 1, quando 1 + então y 0 + e assim, sen 1 lim 1 sen y lim 1 y Como os limites das parcelas eistem, então, 1 lim + sen( 1) lim lim sen Donde concluímos que f não é contínua em 1 porque os limites laterais são diferentes 4 e b finitos O gráfico de f admite uma assíntota de equação y m + b, quando, se eistirem m f m lim b lim f lim e + + e + + lim lim ( e + + ), porque lim e + 0 lim ( e+ + ) e+ lim e lim,fazendo y, vem y + quando e e lim y + e y y e y 0, dado que lim y + y + O gráfico de f admite uma assíntota oblíqua de equação y, quando Proposta da APM de resolução da prova de Matemática A do ensino secundário, 18 de julho 01 Página 5 de 9

6 5 Para efetuar o estudo das concavidades do gráfico de g determinemos a epressão analítica da segunda derivada de g g'' ( ) ( ln( e + e + 4) )' ( e + e + 4)' e + e + 4 e e + 4 e + e + 4 Como + então, e + e + 4 > 0 Calculem-se os zeros da segunda derivada de g: g ''( ) 0 e e e + 4e 0 e 4 ± e 4 ± e 10 e + 10 impossível e + 10 ln ln ( + 10 ) + g''( ) nd 0 + g( ) nd PI Por observação da tabela, conclui-se que o gráfico de g tem a concavidade voltada para baio no intervalo 0,ln( + 10 ) e voltada para cima em ln + 10,+ O gráfico de f tem um ponto de infleão de abcissa ln( + 10 ) Proposta da APM de resolução da prova de Matemática A do ensino secundário, 18 de julho 01 Página de 9

7 Consideremos a representação gráfica de f definida por f ( ) 1+ln ( +1) [ 1, ] no intervalo A área do triângulo [ AOP] é mínima quando a altura do triângulo, relativamente à base [ OA], for mínima, o que acontece quando a ordenada do ponto P for o máimo de f, no intervalo [ 1, ] Por observação do gráfico de f, sabemos que o seu máimo é 9 Assim, porque a área do triângulo [ AOP] é dada por A AOP área mínima é 9 [ ] OA f f ( ) f ( ) a Proposta da APM de resolução da prova de Matemática A do ensino secundário, 18 de julho 01 Página 7 de 9

8 7 71 Tendo em conta os dados da figura tem-se que, P OA+ AB [ ] OAB Determine-se OA, e AC, cos( π α ) OA OA cos π α tg( π α ) AC Pelo que, ( α) Assim, OA OA cos α cos α AC tg ( π α ) AC tg α ( α) AB tg tg P AB + OA [ OAB] tg ( α ) + cos( α ) tg ( α ) cos ( α ) Então, P( α ) tg( α ) cos α, α π,π Proposta da APM de resolução da prova de Matemática A do ensino secundário, 18 de julho 01 Página 8 de 9

9 7 O declive da reta tangente ao gráfico da função P é igual à derivada da função P no ponto de abcissa 5 π Assim, determine-se a derivada da função P, tg( ) P' Logo, ' tg( ) 1 cos cos 1 cos ( ) sen cos cos ' cos cos ( ) ' ( )' + sen cos 5π P' sen 5π 5π cos Pelo que se conclui que o declive da reta tangente ao gráfico da função P, no ponto de abcissa 5π, é 1 FIM Proposta da APM de resolução da prova de Matemática A do ensino secundário, 18 de julho 01 Página 9 de 9