As operações de adição, subtração e multiplicação são feitas de maneira natural, considerando-se o número complexo como um binômio.

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1 NÚMEROS COMPLEXOS Prof Eduardo Nagel. DEFINIÇÃO No conjunto dos números reais R, temos que a = a. a é sempre um número não negativo para todo a. Ou seja, não é possível extrair a rai quadrada de um número negativo em R. Dessa impossibilidade surge o conjunto dos números complexos C. Para definirmos tal conjunto inicialmente, assumimos a existência de um número complexo i tal que i = -. Assumimos também que as operações de adição (+) e multiplicação estão definidas em C, e que essas operações satisfaem as mesmas propriedades fundamentais no conjunto dos números reais (falaremos sobre essas operações mais adiante). Podemos agora definir o conjunto dos números complexos como sendo o conjunto dos números escritos na forma: = a + bi, onde a e b são reais, sendo a chamado de parte real e b de parte imaginária. Simboliamos as partes real e a imaginária com a seguinte notação: a = Re() e b = Im(). Desta forma: = Re( ) + Im( ) i Definimos ainda que dois números complexos = a + bi e = c + di, serão iguais quando a = c e b = d.. OPERAÇÕES ELEMENTARES As operações de adição, subtração e multiplicação são feitas de maneira natural, considerando-se o número complexo como um binômio. Exemplo. Sejam = + i e = + 5i. Então, + = ( + i) + ( + 5i) = 4 + 7i - = ( + i) - ( + 5i) = i. = ( + i). ( + 5i) = 6 +5i +i + 0i = 6 + 7i 0 = i Chamamos de conjugado de um número complexo = a + bi ao número = a bi. Desta forma, para efetuar a divisão basta multiplicarmos os membros da fração pelo conjugado do denominador. Por exemplo, usando e dados acima, temos: ( 5i) ( ) + i i = = = i + 5i 5i 6

2 . PLANO DE ARGAND-GAUSS GAUSS Gauss associou a cada número complexo a+bi um par ordenado (a,b) com a,b R e representou cada número como um ponto no plano. Essa representação recebe o nome de Plano de Argand-Gauss Gauss ou Plano Complexo : Obs.: Simboliamos por Re o eixo dos reais, por Im o eixo dos imaginários e chamamos de afixo o ponto que representa o número. Chamamos de módulo do complexo a distância do afixo de até a origem e o representamos por ou ρ. Chamamos de argumento do número complexo = a + bi, com 0, ao ângulo θ, 0 θ < π, que o eixo real forma uma semi-reta de origem O e que contém P. θ 4. FORMA TRIGONOMÉTRICA: OPERAÇÕES 4. POTENCIAÇÃO e QUOCIENTE NA FORMA POLAR Consideremos os números complexos na forma polar = r cos α + i. sen α e = r [ cos β + i. sen β ]. Podemos escrever o produto de.. da seguinte maneira: ( α β ) ( α β ) = r r cos + + i. sen + sua potência n elevado ao expoente natural n: E seu quociente / ( α ) ( α ) n n = r cos n + i. sen n, onde 0 n α < 60 (Fórmula de Moivre) / da seguinte maneira: = cos ( α β ) + i. sen( α β ) r r

3 4... RADICIAÇÃO NA FORMA POLAR Chamamos de rai n-ésiman de um número complexo o número complexo n ( ) = k. Por exemplo, i é rai quadrada de pois i =. i é rai cúbica de i pois i = i. i é rai quarta de 6 pois ( ) 4 = 6 i. k tal que A operação de radiciação é uma forma de potenciação, onde os expoentes são números racionais não inteiros. Desta forma, podemos utiliar a fórmula de Moivre para calcular também as raíes enésimas de um número complexo: θ + K 60 θ + K 60 n n = r cos + i. sen, onde n n θ + K 60 0 < 60 n e 0 k < n Exemplo *. Encontre as raíes quadradas de = i : = = 8 º. Passo: calcular o módulo de ( ) º. Passo: determinar o argumento de 4 senθ = = : 8 θ = K 4 cosθ = = 8 º. Passo: usar a Fórmula de Moivre: K K = 8 cos + i. sen = 8 ( + ) + ( + ) cos 0 80 K i. sen 0 80 K k = 0, = cos 0 + isen0 = 6 + i Ou seja, para ( ) k =, = cos 0 + i sen0 = 6 i e para ( ) * para exemplos mais detalhados, consulte o caderno.

4 6. EXERCÍCIOS. Obtenha o produto w =.. onde: a) = (cos 45 + i sen45 ) = (cos5 + isen5 ) b) = (cos4 + isen4 ) = 4(cos + i sen ) = 6(cos 4 + i sen4 ) R. a) w= (cos60 + sen 60 ) b) w = 7(cos88 + isen88 ). Determine o módulo e o argumento do número 4 para os complexos: a) = (cos5 +isen5 ) b) = (cos00º + isen00º) R. a) ρ = 8 e θ = 40 b) ρ = 6 e θ = 0. Calcule as potências, dando a resposta na forma algébrica: 8 a) ( i ) b) ( + i ) 6 R. a) -8-8 i b) Escreva as expressões abaixo na forma a + bi : i i i i b) ( i ) ( + i) a) (4 ) + (6 + ) R. a) 7 6i b) 5. Sabendo que c) (4 i).( 4 i ) d) i c) 7 i d) 0 i = i = i determine: i = i = i i 4 + 5i 7 9i a) i 0 b) ( + i ) + i c) d) + i + i + + i i R. a) b) -64 c) - d) Determine a real para que R. ± 7. Determine a real para que R. a + i + ai + ai i seja real. seja um imaginário puro. 4

5 8. Resolva em C as seguintes equações: a) = i b) = + i c) = i i R. a) { + i, i} b) {, } c) ± i 9. Representar na forma trigonométrica: a) + i b) + i c) 5 R.a) π π cos + i sin b) π π cos + sin 4 4 i c) ( cos0 + i sin 0) 0. Qual é a forma algébrica do número complexo representado na figura abaixo? 0 R. + i. A figura abaixo representa um octógono regular inscrito numa circunferência. Sabendo-se que BF = 8, determine as formas algébrica e trigononétrica dos números complexos cujos afixos são os pontos B e D. R. B : + i ; D : + i. Calcule, dando a resposta na forma polar, as raíes quadradas de i ; 6 6 R. 0 = + i e = i 5