FRAÇÃO Definição e Operações

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1 FRAÇÃO Definição e Operações DEFINIÇÃO: Fração é uma forma de se representar uma quantidade a partir de um valor, que é dividido por um determinado número de partes iguais. Como é que você representaria a quantidade referente ao número que foi dividida em 8 partes iguais? Simplesmente através da seguinte fração: 8 Generalizando, a fração a b iguais, sendo b 0. é a representação genérica do valor a que é dividido por b partes Em toda fração, o termo superior é chamado de numerador e o termo inferior é chamado de denominador. Em nossa fração genérica a b denominador. temos que o termo a é o numerador e o termo b é o seu Exemplos de utilização: A minha sala de aula é composta por 42 alunos, dos quais 4 7 são de meninas. Quantas meninas há em minha sala de aula? A fração de um número em relação a outro é obtida multiplicando-se o número pela fração. Neste caso, o número é 42 e a fração 4 7. Para realizarmos a multiplicação de um pelo outro, basta que multipliquemos o número pelo numerador e que em seguida dividamos o produto encontrado pelo denominador: = 24 A fração 4 7 nos dá a idéia de que a classe foi dividida em 7 partes iguais e que separando-se os meninos das meninas, estas iriam ocupar exatamente 4 partes. Cada parte iria conter 6 alunos, já que 42 dividido por 7 dá por 6. Multiplicando-se 6 por 4 teríamos 24. Portanto em minha classe há um total de 24 meninas

2 OPERAÇÕES Adição A soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo denominador. Se inicialmente todas as frações já possuírem um denominador comum, basta que realizemos a soma de todos os numeradores e mantenhamos este denominador comum. Vejamos o seguinte exemplo: Podemos observar que todas elas possuem o denominador 7. Neste caso a fração final terá como numerador a soma dos números, 2 e 3, assim como terá o mesmo denominador 7: Vejamos agora este outro exemplo: Neste caso não podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores. Primeiramente devemos converter todas as frações ao mesmo denominador. O denominador escolhido será o Mínimo Múltiplo Comum dos denominadores. Será o MMC(3, 5, 3): Como sabemos, o MMC(3, 5, 3) = 95. Logo todas as frações terão o denominador comum 95. O novo numerador de cada uma delas será apurado, simplesmente dividindo-se95 pelo seu denominador atual e em seguida multiplicando-se o produto encontrado pelo numerador original: Para 3 temos que 95 3 = 65, logo 3 = 65 Para 2 5 temos que = 78, logo 2 5 = 78 Para temos que = 65, logo 3 3 = Obtemos assim, três frações equivalentes às frações originais sendo que todas contendo o denominador 95. Agora resta-nos proceder como no primeiro exemplo: No caso de adição de frações mistas devemos colocar a parte fracionária toda com o mesmo denominador e depois realizarmos separadamente a soma das partes inteiras e das partes fracionárias:

3 Subtração A diferença ou subtração de frações, assim como a adição também requer que todas as frações contenham um denominador comum. Quando as frações possuírem um mesmo denominador temos apenas que subtrair um numerador do outro, mantendo-se este denominador comum. Exemplo: É possível observar que todas as frações possuem o denominador 9. Neste caso a fração final terá como numerador a diferença dos numeradores, assim como irá manter o denominador 9. Observemos este outro exemplo Como as frações não possuem todas o mesmo denominador, primeiramente devemos apurar o MMC entre 9, 3 e 7, para utiliza-lo como denominador comum. Sabemos que o MMC(9, 3, 7) = 63. Logo utilizaremos 63 como o denominador comum. Como já visto, para encontrarmos as frações equivalentes às do exemplo, que possuam o denominador igual a 63, para cada uma delas iremos dividir 63 pelo seu denominador e em seguida multiplicaremos o resultado pelo seu numerador: Para 8 9 temos que = 56, logo 8 9 = 56 Para 3 temos que 63 3 = 2, logo 3 = 2 Para 2 7 temos que = 8, logo 2 7 = 8 Finalmente podemos realizar a subtração: Assim como na adição, no caso da subtração de frações mistas também devemos colocar a parte fracionária toda com o mesmo denominador e depois realizarmos separadamente a subtração das partes inteiras e das partes fracionárias:

4 Multiplicação Ao menos conceitualmente, a multiplicação ou produto de frações, talvez seja a mais simples das operações aritméticas que as envolvem. Diferentemente da adição e da subtração, a multiplicação não requer que tenhamos um denominador comum. Para realizarmos o produto de frações, basta que multipliquemos os seus numerados entre si, fazendo-se o mesmo em relação aos seus denominadores. Vejamos o exemplo abaixo: Independentemente de os denominadores serem todos iguais ou não, iremos realizar a multiplicação conforme mostrado abaixo: = 8 05 A multiplicação de frações mistas deve ser precedida da conversão das mesmas em frações impróprias: Divisão = = = A divisão de frações resume-se a inversão das frações divisoras, trocando-se o seu numerador pelo seu denominador e realizando-se então a multiplicação das novas frações. Vejamos como realizar a divisão abaixo: Realizando-se a inversão das divisoras e mudando-se de divisão para multiplicação teremos: Realizando-se a multiplicação teremos: = 65 54

5 Múltiplas Operações Assim como nas operações aritméticas com números naturais, nas operações aritméticas com frações, a multiplicação e a divisão têm precedência sobre a adição e a subtração, por isto em expressões compostas que envolvam múltiplas operações, devemos primeiro realizar as operações de multiplicação e de divisão e por último as operações de soma e subtração. Vejamos a expressão a seguir: A seqüência para a sua resolução é a seguinte: Primeiramente executamos a multiplicação Em seguida executamos a divisão, invertendo a fração e transformando a divisão em uma multiplicação: Agora podemos utilizar o MMC(3, 35, 77) = 55 como o denominador comum das frações e realizarmos a soma e a subtração: Finalmente obtemos o resultado da expressão:

6 Frações Irredutíveis Observemos a fração 3 / 4. Podemos notar que além do número, não há qualquer outro número natural que seja divisor tanto do número 3, quanto do número 4. Como sabemos, 3 e 4 são números primos entre si. Toda fração que possua numerador e denominador primos entre si é chamada de fração irredutível. A simplificação de frações resume-se a encontrar a fração irredutível, equivalente à fração que iremos simplificar. Ao dividirmos ambos os termos de uma fração pelo seu máximo divisor comum, iremos obter uma fração irredutível. Da fração 87 / 6, temos que o MDC dos termos é: MDC(87, 6) = 29. De onde concluímos que: = 3 4 Para que simplificamos as frações? A simplificação de frações permite trabalharmos com números menores ao realizarmos operações de multiplicação com frações. Trabalhando com frações irredutíveis, certamente iremos realizar multiplicações menos trabalhosas. Frações Equivalentes Ao multiplicarmos ou dividirmos tanto o numerador, quanto o denominador por um número natural diferente de zero, estaremos produzindo uma outra fração equivalente. Duas frações são equivalentes quando elas representam a mesma parte do inteiro. Podemos afirmar que 2 / 4 e / 2 são equivalentes, porque ambas as frações representam a metade de um inteiro. Se realizarmos a divisão que estas duas frações representam, iremos obter o mesmo quociente 0,5 que equivale a meio.