MÓDULO XVI MEDIDAS DE ÂNGULOS. Um ângulo é classificado como agudo quando sua medida é maior que 0º e menor que 90º. 1. Definição de ângulo

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1 MÓDUL XVI 1. Definição de ângulo MEDIDS DE ÂNGULS Um ângulo é classificado como agudo quando sua medida é maior que 0º e menor que 90º. Ângulo é a união de duas semi-retas e de mesma origem e não colineares. 0 o < < 90 o Um ângulo é classificado como reto quando sua medida for igual a 90º. Na figura acima o vértice é o ponto e os lados são as semi-retas e. ângulo é indicado por Ô ou Ô ou simplesmente por Ô. = 90 o bservação: Quando um ângulo for indicado por três letras maiúsculas, a letra correspondente ao vértice deve ficar no meio, isto é, = Ô. 2. Ponto interior de um ângulo Dado um ângulo e um ponto P, dizemos que P é um ponto interior ao ângulo quando qualquer reta que passa por P interceptar os lados do ângulo em dois pontos distintos e, de modo que P seja sempre um ponto entre e. Um ângulo é classificado como raso quando sua medida for igual a 180º (duas semi-retas opostas). = 180 o Um ângulo é classificado como obtuso quando sua medida for maior que 90º e menor que 180º. P 90 o < < 180 o 3. Setor ou região angular Chamamos de setor angular à reunião dos pontos pertencentes ao ângulo e os seus pontos interiores. figura a seguir mostra o setor angular do ângulo. Exercício Proposto EP.01) bservando na figura abaixo os ponteiros das horas e dos minutos de um relógio, determine a medida do menor e do maior ângulo formado pelos ponteiros quando eles estiverem marcando: a) 14h b) 1h c) 18h Classificação de um ângulo quanto a sua medida Um ângulo é classificado como nulo quando sua medida for igual a 0 o (duas semi-retas coincidentes). = 0 o d) 11h e) 07h f) 12h g) 20h Classifique cada um dos ângulos conforme suas medidas. Matemática ásica XVI 1

2 . Unidade de medida de ângulos unidade principal de medida de ângulos é o grau, indicado pelo símbolo, e os seus submúltiplos são os minutos e os segundos. bserve as seguintes equivalências: 1 grau equivale a 60 minutos: 1º = 60 1 minuto equivale a 60 segundos: 1 = 60 Exemplos: a) Um ângulo possui 33 graus e 48 minutos. Indica-se por: 33º 48 b) Um ângulo possui 33 graus, 48 minutos e 12 segundos. Indica-se por: 33º Redução de unidades Em alguns problemas faz-se necessária a redução ou equivalência dos ângulos da unidade principal para os seus submúltiplos ou vice-versa. Vejamos algumas dessas reduções nos exercícios resolvidos a seguir. Exercícios Resolvidos ER.01) Reduzir cada um dos ângulos abaixo a minutos: a) º b) º 20 a) Como 1º = 60, então º = x 60 = 300 por equivalência, teremos º = 300 b) Como 1º = 60, então: º = x 60 = 300 ssim: º 20 = = 320 por redução, teremos º 20 = 320 ER.02) Reduzir cada um dos ângulos abaixo a segundos: a) º b) º 20 c) º a) Como 1º = 60, então º = x 60 = 300 Como 1 = 60, então 300 = 300 x 60 = por equivalência, teremos = b) Como 1º = 60, então º = x 60 = 300 ssim obtemos º 20 = = 320 Como 1 = 60, então 320 = 300 x 60 = por redução, teremos º20 = c) Como 1º = 60, então º = x 60 = 300 ssim: º 20 = = 320 Como 1 = 60, então 320 = 300 x 60 = ssim: º = = por redução, º = ER.03) Converter 10 em graus e minutos. Como 1º = 60, então teremos: º 10 = 2º 30' ER.04) Converter 200 em minutos e segundos. como 1 = 60, então teremos: = 3 20'' ER.0) Converter em graus, minutos e segundos. 1 = 60, então teremos: ssim, = '' Convertendo 262 em graus e minutos: ssim, 22 4º 262 = 4º = '' = 4º 22 20'' EP.02) Reduzir os seguintes ângulos a minutos: a) 10º b) 10º 3 EP.03) Reduzir os seguintes ângulos a segundos: a) 2º b) 2º 30 EP.04) Reduzir os seguintes ângulos a graus e minutos: a) 100 b) 20 EP.0) Reduzir os seguintes ângulos a graus, minutos e segundos: a) 8460 b) 9864 Matemática ásica XVI 2

3 7. perações matemáticas com ângulos s operações de adição, subtração, multiplicação e divisão realizadas com números reais também podem ser aplicadas com ângulos, lembrando de algumas particularidades: 90º = 89º 60 = 89º º = 179º 60 = 179º 9 60 Nos exercícios resolvidos a seguir serão realizadas algumas operações envolvendo ângulos. Exercícios Resolvidos ER.06) Efetuar a adição dos ângulos em cada item abaixo: a) 12º º 1 10 b) 12º º 0 4 a) 12º º º º º º º 1 10 = 42º 3 0 b) 12º º º º º 70 8 Como 8 = 1 2, então: 42º 70 8 = 42º = 42º = = 42º º º 71 2 Como 71 = 1º 11, então: 42º 71 2 = 42º = 42º º = 43º º º º º º 0 4 = 43º 11 2 ER.07) Efetuar a subtração dos ângulos em cada item abaixo: a) 90º 40º 20 4 b) 20º º a) 90º 40º 20 4 Reescrevendo 90º = 89º 60 = 89º 9 60, teremos: 90º 89º º º º º º 40º 20 4 = 49º 39 1 b) 20º º Reescrevendo 20º = 19º = 19º 79 80, teremos: 20º º º º º º º = 9º EP.06) Calcule a soma dos seguintes ângulos: a) 30º + 2º 40 b) 10º º 12 EP.07) Calcule as diferenças dos seguintes ângulos: a) 90º 4º b) 4º º Exercícios Resolvidos ER.08) Efetuar a multiplicação do ângulo por um número real em cada um dos itens abaixo: a) 3 x 2º 12 b) x 2º a) 3 x 2º 12 2º 12 x 3 b) x 2º º 36 3 x 2º 12 = 7º 36 2º x 12º Como 160 = 2 40, então: 12º = 12º = 12º = 12º º º Como 12 = 2º 32, então: 12º = 12º = = 12º º = 127º º º º x 2º = 127º Matemática ásica XVI 3

4 ER.09) Efetuar a divisão do ângulo por um número real em cada um dos itens abaixo: a) 32º 20 4 b) 3º 20 4 c) 3º Ângulos complementares Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas for igual a 90º. Dizemos que um é o complemento do outro. Exemplo: a) 32º º º 8º 00º º 00 32º 20 4 = 8º 40º Nesse caso os ângulos e CD são complementares pois a soma de suas medidas é igual a 90º. D 0º C b) 3º º º 8º 0 03º 20 (3º = 180 ) 200 ( = 200 ) º 00 3º 20 4 = 8º 0 c) 3º º º 11º º (2º = 120 ) ( = 134 ) (2 = 120 ) 10 ( = 10 ) 10 00º º = 11º 44 0 EP.08) Calcule os produtos abaixo: a) x 2º 12 1 b) 8 x 12º 30 EP.10) Sabendo que os ângulos e C (figura a seguir) são adjacentes e complementares, determine o ângulo C. bservação: ângulos adjacentes são aqueles que possuem o mesmo vértice, um lado comum e não possuem pontos internos em comum. Quando possuem pontos internos em comum são chamados de consecutivos. C x=? 30º EP.11) Encontre a medida do complemento do ângulo cuja medida é igual a 40º 2. EP.12) Calcule a medida de um ângulo que é igual ao dobro do seu complemento. EP.13) dobro da medida do complemento de um ângulo mais a sua terça parte é igual a 140º. Determine a medida desse ângulo. EP.09) Calcule os quocientes abaixo: a) 1º 4 b) 2º 17 3 EP.14) medida de um ângulo é igual a metade do seu complemento. Quanto mede o ângulo? Matemática ásica XVI 4

5 9. Ângulos suplementares Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas for igual a 180º. Dizemos que um é o suplemento do outro. Exemplo: 0º D Nesse caso os ângulos e CD são suplementares pois a soma de suas medidas é igual a 180º. EP.1) Dado os ângulos e C (figura a seguir) que são adjacentes e suplementares, determine a medida do ângulo C. y=? C 30º EP.16) Encontre a medida do suplemento do ângulo cuja medida é igual a 2º. EP.17) Qual a medida do ângulo que é igual ao triplo de seu suplemento? EP.18) soma da medida de um ângulo com a quinta parte da medida de seu suplemento é 60º. Calcule a medida desse ângulo. 130º C Exercícios Complementares EC.01) Classificar os ângulos em nulo, agudo, reto, obtuso ou raso. 78º (a) 160º (c) EC.02) Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). a) ( ) 90º = 89º 60 b) ( ) 90º = 89º 9 60 c) ( ) 180º = 179º 60 d) ( ) 180º = 179º 9 60 e) ( ) 0º = 49º 9 EC.03) Determine o valor da medida do ângulo x em cada situação a seguir: a) x = (32º º ) 31º 4 12 b) x = 180º 42º c) x = 360º 27º 12 6 d) x = 42º + (7º º ). EC.04) Efetue as multiplicações envolvendo as medidas de ângulos: a) 4 x (22º ) b) 3 x (7,º) c) 1 x (1º ) d) 2 x (2,º) e) 0, x 12º f) 4 x 1,6º g) 4 x (1º 36 ) EC.0) Determine o valor da medida do ângulo x em cada situação a seguir: a) x = (4º) º 30 b) x = (61º ) 2 2º c) x = (3600 ) º d) x = (º) 2 1º 30 90º 180º (d) (b) EP.19) quádruplo do complemento de um ângulo aumentado de 40º é igual ao dobro do suplemento do ângulo. Determinar a medida desse ângulo. EC.06) Dado um ângulo de medida x (x < 90º), escreva em linguagem simbólica: a) o dobro da medida desse ângulo; b) o seu complemento; c) o seu suplemento; d) o triplo de seu complemento; e) a quinta parte do seu complemento; f) a metade da medida do suplemento. Matemática ásica XVI

6 EC.07) Calcule o complemento dos seguintes ângulos: a) 28 b) 32 2 c) d) EC.08) Calcule o suplemento dos seguintes ângulos: a) 4 b) c) d) EC.09) Calcular os ângulo de EC.10) Calcular os ângulo de da medida do complemento do 3 4 da medida do suplemento do 3 EC.11) Calcular os da medida do complemento do 4 ângulo cuja metade mede EC.12) Calcular os da medida do suplemento do 6 ângulo cuja terça parte mede 32º. EC.13) Determinar um ângulo sabendo que a diferença entre a metade da medida do seu complemento e a quinta parte da medida do seu suplemento resulta em 6º. EC.14) Calcule um ângulo sabendo que a diferença entre a metade da medida do seu suplemento e a medida do seu complemento resulta em 30º. EC.1) Determinar um ângulo sabendo que a diferença entre os 3 2 da medida do seu suplemento e a metade da medida do seu complemento resulta em 70º. EC.16) Determinar um ângulo sabendo que a soma da metade de seu complemento com a medida do seu suplemento resulta em 10º. EC.17) triplo do complemento de um ângulo aumentado de 0º é igual ao suplemento do mesmo ângulo. Determinar a medida desse ângulo em graus. EC.18) diferença entre as medidas de dois ângulos é 40º. ângulo formado por suas bissetrizes mede 0º. Calcule a medida dos ângulos. bservação: a reta bissetriz divide um ângulo em dois outros ângulos de mesma medida. GRIT EP.01) a) menor = 60 o (agudo) e maior = 300 o (obtuso). b) menor = 90 o (reto) e maior = 270 o (obtuso). c) menor e maior ângulo = 180 o (raso). d) menor 30 o (agudo) e maior = 330 o (obtuso). e) menor = 10 o (obtuso) e maior = 210 o (obtuso). f) menor = 0 o (nulo) e maior = 360 o (pleno). g) menor = 120 o (obtuso) e maior = 240 o (obtuso). EP.02) a) 600 b) 63 EP.03) a) 7200 b) 9000 EP.04) a) 1º 40 b) 4º 10 EP.0) a) 2º 21 b) 2º EP.06) a) º 40 b) 38º EP.07) a) 44º b) 14º 49 0 EP.08) a) 126º 1 1 b) 100º EP.09) a) 3º 4 b) 8º 2 40 EP.10) 60º EP.11) 49º 3 EP.12) 60º EP.13) 24º EP.14) 30º EP.1) 10º EP.16) 127º EP.17) 13º EP.18) 30º EP.19) 20º Exercícios Complementares EC.01) a) agudo b) reto c) obtuso d) raso EC.02) V V V V F EC.03) a) 1º 1 28 b) x = 137º c) x = 84º d) x = 80º EC.04) a) 89º 28 2 b) 22º 30 c) 1º 1 1 d) º e) 6º f) 6,4º = 6º 24 g) 6º 24 EC.0) a) 36º b) x = 28º 03 2 c) x = 41º 10 6 d) x = 1º EC.06) a) 2x b) 90º x c) 180º x d) 3.(90º x) 1 1 e) ( 90 x) f) ( 180 x) 2 EC.07) a) 62 b) 7 3 c) d) EC.08) a) 13 b) c) d) EC.09) 3 32 EC.10) EC.11) EC.12) 70º EC.13) 10º EC.14) 60º EC.1) 30º EC.16) 80º EC.17) 70º EC.18) 70º e 30º Matemática ásica XVI 6