AMEI Escolar Matemática 9º Ano Trigonometria do triângulo rectângulo

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1 AMEI Escolar Matemática 9º Ano Trigonometria do triângulo rectângulo Conteúdos desta unidade: Razões trigonométricas de um ângulo agudo. Resolução de triângulos rectângulos; Relações entre as razões trigonométricas do mesmo ângulo; Resolução de problemas aplicando trigonometria. Razões trigonométricas de um ângulo agudo. Resolução de triângulos rectângulos A palavra trigonometria resultou da composição de três termos gregos: tri (três) + gono (ângulo) + metria (medida). Vamos aprender a trigonometria aplicada aos triângulos rectângulos, cujas propriedades já nos anos anteriores estudaste algumas: existe sempre um ângulo recto (90º), daí o nome; a soma de todos os ângulos internos é igual a 180º; ao lado oposto ao ângulo recto chamamos hipotenusa e aos outros lados chamamos catetos; o teorema de Pitágoras relaciona o comprimento dos diferentes lados do triângulo a partir da fórmula. Exercício resolvido: Indica a hipotenusa e os catetos e calcula o comprimento da hipotenusa. R: O comprimento da hipotenusa é de 29 cm.

2 Quando assinalamos um dos ângulos agudos do triângulo rectângulos podemos diferenciar os catetos em cateto adjacente (que faz parte do ângulo) e cateto oposto (que é oposto ao ângulo), da seguinte maneira: As razões trigonométricas que vais estudar são três: o seno, o coseno e a tangente. Sendo [ABC] um triângulo rectângulo em B e α a amplitude de um dos ângulos agudos, definem-se as razões trigonométricas seno α (sinα), co-seno α (cosα) e tangente α (tanα) do seguinte modo: Por simplificação da linguagem podemos chamar ao comprimento do lado x simplesmente lado x. Para determinar na calculadora o seno, o co-seno ou a tangente de um número devemos carregar nas teclas correspondentes (sin, cos ou tan). Quando nos é dado o valor de sinα, cosα ou tanα e queremos saber o valor de α basta calcular o valor dado elevado a -1 (sin -1, cos -1 ou tan - 1 ). Na calculadora encontramos também as teclas correspondentes a estas funções, normalmente nas segundas funções. Podemos resumir isto nas seguintes equações:

3 Resolver um triângulo rectângulo é determinar os ângulos e os lados desconhecidos a partir do conhecimento de determinados ângulos e lados. Exercício resolvido: Resolve o seguinte triângulo. Exercícios 1: 1. Observa os seguintes triângulos.

4 Exercícios 1 (continuação): 1.1. Completa a tabela com as letras correspondentes. Triângulo Hipotenusa Cateto oposto ao ângulo assinalado Amarelo Verde Laranja Cateto adjacente ao ângulo assinalado 1.2. Sabendo que a = 8, b = 17 e c = 15: a) determine tanα. b) determine α Sabendo que d = 12, e = 25,5 e f = 22,5: a) determine sinβ. b) determine β.

5 Exercícios 1 (continuação): 1.4. Sabendo que g = 7,4, h = 7 e i = 2,4.: a) determine cosθ. b) determine θ. 2. Observa os seguintes triângulos Resolve o triângulo [MAR].

6 Exercícios 1 (continuação): 2.2. Resolve o triângulo [ABC] Resolve o triângulo [TRI]. Relações entre as razões trigonométricas do mesmo ângulo Existem uma fórmula da trigonometria que relaciona as 3 razões trigonométricas estudadas que é:

7 Exercício resolvido: Observa o seguinte triângulo e calcula. Existe também outra fórmula que é chamada de fórmula fundamental da trigonometria: Exercício resolvido: Observa o seguinte triângulo e prova a fórmula fundamental da trigonometria. c.q.p.

8 A partir da fórmula fundamental da trigonometria podemos retirar outras fórmulas que nos podem ser úteis tais como: Exercícios 2: 1. Sabendo que α é um ângulo agudo e que sinα = 0,8: 1.1. determina cosα; 1.2. determina tanα. 2. Sabendo que β é um ângulo agudo e que cosβ = 0,9: 2.1. determina tanβ;

9 Exercícios 2: 2.2. determina β. 3. Classifica as equações com VERDADEIRO ou FALSO. a) b) c) d) e) Resolução de problemas aplicando trigonometria A resolução de muitos problemas que envolvem a determinação de alturas ou amplitudes de ângulos é facilitada através do uso da trigonometria. Exercício resolvido: Qual a largura do rio ilustrado na figura? R: A largura do rio é aproximadamente 143 metros.

10 Exercício resolvido: Qual a altura do prédio ilustrado na figura? R: O prédio tem aproximadamente 85 metros de altura. Exercícios 3: 1. A situação apresentada nesta figura significa que, em cada 100 m medidos (ou percorridos pelo carro) na horizontal a estrada "sobe" 10 m na vertical. Determina α.

11 Exercícios 3 (continuação): 2. A Joana foi visitar um castelo. Do cimo do fosso vazio, ela avista o topo do castelo com um ângulo de elevação de 72º e a base segundo um ângulo de depressão de 31º. Sabe-se também que a largura do fosso é de 10 metros. Determina a altura do castelo.

12 Exercícios 3 (continuação): 3. A Rita construiu um quadrante e com ele quer determinar a altura da árvore que fica em frente à sua casa. Observa a figura e determina a altura da árvore. 4. Observa a imagem e determina a que altura se encontra o balão de ar quente.