Exercícios de Revisão: Análise Complexa 1- Números Complexos

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1 Exercícios de Revisão: Análise Complexa - Números Complexos Exercícios Propostos Globais I... Soluções dos Exercícios Propostos Globais I... Introdução... 4 Definições e propriedades elementares Números Complexos Propriedades elementares O conjugado Módulo de um número complexo Argumento de um número complexo Potência de um número complexo Exercícios Resolvidos Equações e Inequações Equações Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Soluções/Sugestões dos Exercícios Propostos... 4 Parametrizações de curvas Descrição paramétrica em IR Descrição paramétrica em Exercícios Propostos Representação no plano complexo... 4 Descrição: Esta ficha de exercícios de revisão é uma compilação de enunciados com solução/resolução. Para iniciar a resolução de exercícios é absolutamente necessário que o aluno tenha a teoria bem estudada. Agradece-se a indicação de gralhas e/ou inconsistências: apoioacademico@portugalmail.pt.

2 Exercícios Propostos Globais I EPGI.. Determine o lugar geométrico das imagens dos complexos z que satisfazem: a) z i = z + i b) arg ( z - a) = θ a, θ fixos c) < z 4 < z a d) = λ z b

3 Soluções dos Exercícios Propostos Globais I EPGI.. a) Recta y = 0 y y = 0 i -i x b) Semi-recta com origem em a e declive tg(θ) y a º a θ x c) ( x 4) + y < 4 < - coroa circular aberta com r =, R = e C = 4 y 4 x

4 d) Se λ = mediatriz do segmento de recta que une os pontos a e b y a b a, b º quadrante x a λ b Se λ circunferência com centro z 0 = e raio λ r = λ b a λ y z 0 r z 0 º quadrante x 3

5 Introdução Descrever a necessidade histórica dos números complexos, não para a resolução de equações do º grau, mas para dar sentido à fórmula resolvente de equações do 3º grau.(...). Definições e propriedades elementares. Números Complexos Representação algébrica, rectangular ou cartesiana : z = x + yi ; xy, R Representação trigonométrica ou polar: z = ρcis( θ ) Em que : Parte imaginária de z : x = ρsin θ Im( z) Parte real de z y = ρcosθ Re( z) Exemplo Passe o número complexo z = 8 i para a forma trigonométrica. z = + = = a 0 cos( θ ) = = = 0 z 8 π θ = b 8 sen( θ ) = = = z 8 Passando para a forma trigonométrica: z = z.(cos( θ) + isen. ( θ)) π π z = 8. cos + isen. Observação: cis θ é apenas uma forma condensada de escrever cosθ + i sinθ. Definição: Unidade imaginária: i, em que i. Ou z = a + bi ; a,b 3. 4

6 Exemplo: i n, n = 4k i, n = 4k + =, com k IN. i, n = 4k +, n = 4k + 3. Propriedades elementares Definição: Sejam z = a + bi e ω = c + di, então: i. z + ω = (a + c) + (b + d) i ii. z ω = (a c) + (b d) i iii. z ω = (a + bi).(c + di) = (ac bd) + (bc + ad) i iv. z = [( ac + bd) + ( bc ad) i] ω c + d Na realidade ii. e iv. são casos particulares de i. e iii., respectivamente. Proposição: Sejam z = ρcisθ e z = ρ cisθ então i. z z = ρ ρ cis( θ + θ ) ii. z = ρ cis θ iii. z ρ = cis( θ θ ), 0 z ρ.3 O conjugado Definição: Seja z = a + bi define-se complexo conjugado de z por z = a bi. Propriedades: i. z = z ii. z + z = Re( z) iii. z z = Im( z) iv. z = z z ou conj(z). 5

7 .4 Módulo de um número complexo Definição: Módulo, norma ou valor absoluto Seja z = a + bi define-se módulo de z pelo real positivo z + = x y. Propriedades: i. z z = z z ii. z z z =, z z 0 iii. z + z z + z (desigualdade triangular). Exemplo: Cálculo do Módulo de um Número Complexo (4 3 i)( 5 i) Determine o módulo do número complexo. i Primeiramente colocamos o número na forma x+ yi: (4 3)( i 5) i ( ) i (48 0i 36i+ 5 i ).( ) i (33 56).( i ) i. = = = ( i) ( i) i ( ) 33 i = = 8 i Agora encontramos o módulo desse número complexo: = + = + = + = = = z a b ( 8 ) =. = z = 6

8 .5 Argumento de um número complexo Argumento : arg z = θ + kπ, k IN principal : arg z [-π,+π [ positivo mínimo : arg z [0, π [ Exemplo: Obtenha o argumento do numero complexo: + i 3 z = + i z = + = + = = a cos( θ ) = = = z 4 0 π θ = 60 = b sen( θ ) = = = z 4 3 ( 3) Exemplo: Obtenha na forma trigonométrica do numero complexo: 8i É determinado obtendo separadamente do módulo e do argumento do número complexo dado na forma algébrica: z = + = = a 0 cos( θ ) = = = 0 z 8 π θ = b 8 sen( θ ) = = = z 8 Passando para a forma trigonométrica: z = z.(cos( θ) + isen. ( θ)) π π z = 8. cos + isen..6 Potência de um número complexo Proposição: ª Fórmula de De Moivre- Potenciação Seja ρ n n cisθ z = ρ. cis nθ, n IN. z =, então ( ) Proposição: ª Fórmula de De Moivre- Radiciação Seja ρ θ + kπ z = cisθ, então n z = n ρcis, n k=0,...,n- 7

9 Observação: esta fórmula tem uma interpretação geométrica: todas as raízes estão sobre a mesma circunferência de raio n ρ, cuja distância angular constante é π / n ; i.e., as raízes definem um polígono regular incrito numa circunferência de raio n ρ. Exemplos: n kπ i. = cis, k=0,...,n-; n ii. 3 =, / + i 3 /, / i 3 / ; 4 iii. =, i, -, -i..7 Exercícios Resolvidos + i ER.7. Calcule. 5 3i Res.:Multiplicam-se ambos os termos da fração pelo número complexo conjugado do denominador: ( + i) (5 + 3 i) 0 + 6i+ 5i+ 3i 0 + i i 7. = = = = + (5 3 i) (5 + 3 i) 5 9i 5 ( 9) i i ER.7. Coloque na forma a+ bi a expressão +. + i i Res.:Em cada fração, multiplicamos seus termos pelo número complexo conjugado do denominador: ( i) ( i) i ( i) i+ i i i i i ( ).. ( + i) ( i) ( + i) ( i) i 4 i ( ) 4 ( ) + = + = + = = i i i 5 i+ i 7 i + = i+ = = = 7 i i 8

10 ER.7.3 Calcule: i i = i i = i a) 9 3 b) c) i i = d) i 0 4n 4 4n+ 4n e). ( ).( ) f).. i = i = i i = = i = i i= i= i 4n+ 4n g)..( ) i = i i = = i = i π π ER.7.4 Dados z = 5(cos( π) + isen. ( π)) e z = 3. cos isen., obtenha z. z s z = + sen = + = = Re.: (5cos( π)) (5 ( π)) ( 5) π π z = 3cos sen = + = = = a 3/ a 5 cos( θ ) = = = cos( θ ) = = = z 3 z 5 θ = π b sen( θ ) = = = 0 b 3 z 5 sen( θ ) = = = z 3 z. z = z. z.(cos( θ + θ ) + isen. ( θ + θ )) π π z. z = 5.3. cos π isen. π π 4π z. z = 5. cos isen π θ = 3 9

11 3 Equações e Inequações 3. Equações Toda a equação redutível à forma az n + b = 0, onde ab, Ca, 0, n é fácil de resolver, basta isolar z n e aplicar a definição de radiciação em. az n + b = 0 z n = b a z = n b a e obtemos n raizes distintas. 3.. Exercícios Resolvidos ER3. Considere a seguinte equação: z i = 0. i. resolva-a em. ii. represente as duas soluções e comente a afimação: São complexos conjugados. Resolução: iπ / 4 π/ 4 + kπ z i = 0 z = + i = e = exp i, com k=0,. π 9π 8 O conjunto solução é = 4 i 8 4, i S e e e os complexos não são complexos conjugados Exercícios Propostos EP3. Comente a seguinte afirmação, justificando adequadamente: Se um número complexo é solução de uma equação então o seu complexo conjugado também é solução dessa mesma equação. EP3. Resolva em C as seguintes equações de coeficientes reais: i. z 3 z + z = 0 ii. z 8 3z 4 4 = 0 0

12 3.4. Soluções/Sugestões dos Exercícios Propostos EP3. Falsa, apenas é verdadeira se os coeficientes forem todos reais. EP3. S =,/ + i 3 /,/ + i i. { 3 / } ii. Sabemos que podemos aplicar a formula resolvente a equações bi-quadráticas do tipo 4 z + z + = 0 em que olhamos para essas equações na forma ( z ) + ( z ) + = 0, em que a incógnita começa por ser ( z ), à qual aplicamos a fórmula resolvente. Neste exercício o raciocínio pedido é análogo. Vamos então olhar para a equação dada na forma: ( z 4 ) 3( z 4 ) 4 = 0, aplicando a fórmula resolvente z ( + 3 ± ) / = ( 3 ± 5) / z = = 4. = z Podemos então reescrever a equação inicial na forma: z 3z 4 = 0 ( z 4)( z + ) = 0. Aplicando a lei do anulamento do produto concluímos que as soluções pedidas são as raízes quartas de 4 e de. Logo: π 3π 5π 7π i = 4 i i,,, ;,,, i S i i e e e e.

13 4 Parametrizações de curvas 4.- Descrição paramétrica em IR Definição: g:[a,b], a,b IR, g(t)= ( x(t), y(t) ) x(t) = 5cost Exemplo: A partir da descrição paramétrica,0 t π y(t) = 5sin t Podemos obter a descrição cartesiana, através da eliminação do parâmetro t, assim, x (t) + y (t) = 5 cos t + 5 sen t = 5, i.e., x + y = 5. Exemplo: Uma forma prática de parametrizar um segmento de recta com origem no ponto A e extremidade em B é g(t) = A (-t) + B t, t (0,), ou g(t) = A + t( B - A ), t (0,). 4. Descrição paramétrica em No conjunto dos números complexos existe um paralelismo muito forte entre o que se recordou no ponto anterior e a descrição paramétrica em termos complexos. Definição: Caminho Seja γ (t) = x(t) + y(t)i, caminho. a t b, em que x(t) e y(t) são funções reais, γ é um Definição: Curva ou contorno 3 Γ= γ () t : t ( a, b) { } é uma curva, imagem do caminho γ, i.e., = γ( [ a,b] ) Γ. Exemplo: Segmento de recta. Uma forma prática de parametrizar um segmento de recta com origem no complexo z e extremidade no complexo z é γ () t = z + t( z z ), t (0,). Exemplo: O caminho γ (t) = t + ti, t (0, ) representa um segmento de recta com extremidades γ (0) = 0 e γ () = +i. Exemplo: Circunferência. Uma forma prática de parametrizar uma circunferência de raio R e centro no complexo z 0 é it () t = z + 0 Re γ, [ 0,π [ t. 3 Termo característico da análise complexa.

14 Exemplo: Os caminhos γ(t)=5cost+i.5sint, t (0, π) e γ(t)=5cos(t)+i.5sin(t), t (0, π) representam uma circunferência centrada na origem de raio 5. it Exemplo: O caminho γ () t = + i + 5e, t (0,π ), representa uma semicircunferência, com y>0, centrada no complexo z 0 =+i e raio 5. Definição: Caminho simétrico Γ= γ () t : t a, b Seja { [ ]} então Γ = { γ( a + b t) C : t [ a, b] }. Definição: Contorno simples ou contorno de Jordan Se γ ( t) = γ( t ) então t = t Exercícios Propostos EP4. Represente: it i. γ () t = + e /, t [ π, π] ; it ii. γ () t = + i + e /, t [ π, π] ; γ = cost + i sint t π, π. iii. () t ( ), [ ] 3 EP4. Construa uma parametrização para: i. segmento de recta que une a +i; ii. recta que passa em e +i. EP4.3 Represente o caminho: em que α > 0. γ α ( θ) = α αe θ + iθ π [( θ π)( e ) + e ],, θ [ 0,π[ [ π,π + ] θ 3

15 5 Representação no plano complexo Exercicio 5. : Represente no plano complexo ou plano de Argand. i. { z C : z- <3 } ii. { z C : 3 z <5} iii. iθ { z C : z = + i + re, r<, π < θ π } iv. { z C : z-3i+4 4} v. { z C : (z-i)(- 3 i) = z } 4