Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 08 Licenciatura em Matemática Osasco -2010

Transcrição

1 1. Função Eponencial Dado um número rela a > 0, e a 1, então chamamos de função eponencial de base a, a função f: R R tal que: f = a Por eemplo: f = 5 g = 1 2 = 3 Gráfico de uma função eponencial Para toda função eponencial do tipo f = a, com a real e positivo, o seu gráfico no plano cartesiano sempre conterá o ponto (0,1), devido as propriedades das potências. Além disso, o gráfico estará sempre acima do eio, pois a > 0, para qualquer real que tomarmos. Eemplo: f = 2

2 Crescimento e decrescimento de uma função eponencial Dados dois reais 1 e 2, com 2 > 1, temos que: se a > 1, então a 2 > a 1; e, se 0 < a < 1, então a 2 < a 1; e, Portanto uma função eponencial do tipo f = a será crescente se a > 1, e, será decrescente se a < 1. Eemplos: 1)Função eponencial crescente: f = 2 2)Função eponencial decrescente: f = 1 3 Obs: As funções eponenciais do tipo f = a com a 1 e a > 0, são injetoras, mas não são sobrejetoras.

3 2. Equações Eponenciais Equações eponenciais são aquelas onde a incógnita se encontra no epoentes. Eemplos: 3 = = = 2 Método da redução a uma base comum para a solução de equações eponenciais Se tomarmos a > 0 e a 1, uma função eponencial f = a é injetora, temos que se f = f(y), então = y. Então, se conseguirmos reduzir os dois lados a igualdade em uma equação eponencial a epressões que sejam potências de bases iguais, poderemos igualar os epoentes e solucionar a equação. Por eemplo: a) Resolver a equação 2 = 128 Temos que 128 = 2 7, e, portanto 2 = 2 7, e logo, = 7. b) Resolver a equação = 32 Temos que 32 = 2 5, e, portanto = 2 5, e logo, 3 1 = 5, e = 2. c) Resolver a equação = 8 Temos que E = = = 2 3 = 2 3 Portanto = 2 2, e igualando os epoentes temos = = 0 Resolvendo a equação = 0 temos: = , e = 5 = 3 ± = 2 e 2 = 1 2

4 2 d) Resolver a equação = Usando o fato de que n a m = a m n, podemos escrever a equação dada como = = = Agora que reduzimos os dois lados da equação ao mesmo epoente podemos escrever = = = = 0 resolvando a eq.do 2º grau = 3 ou = 6 e) Resolver a equação = 120 Neste caso, podemos colocar o termo 2 1 em evidência e teremos = = = = = 2 3 Agora que reduzimos os dois lados da equação ao mesmo epoente podemos escrever 1 = 3 = 4 f) Resolver a equação = 64 Podemos reescrever a equação como = = = 64 Substituindo 2 por y teremos a equação y 2 20y = 64 y 2 20y + 64 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau obtemos = 144, e y 1 = 16 e y 2 = 4

5 Voltando à epressão y = 2 teremos Ou 2 = 16 2 = 2 4 = 4 Ou 2 = 4 2 = 2 2 = 2 3. Inequações Eponenciais Para resolvermos inequações eponenciais, precisamos nos lembrar de que a função f = a é crescente se a > 1, e que f() será decrescente se 0 < a < 1. Por isso, Se m e n são número reais então Para a > 1 teremos que a m > a n m > n ; e, Para 0 < a < 1 teremos a m > a n m < n. Por eemplo: 2 1,2 < 2 2,2 0,5 3 > 0,5 4 Usando a propriedade descrita acima, podemos resolver inequações eponenciais, usando o método de redução à mesma base, da mesma forma como foi feito para as equações eponenciais. Eemplos: a) Resolver a inequação 2 > 128 Reduzindo à mesma base temos 2 > 2 7 como 2 > 1, teremos que a solução é dada por S = { R, tal que > 7}. b) Resolver a inequação Reduzindo à mesma base temos como 3 < 1, teremos que 3, e a solução é dada por 5 S = { R, tal que 3}.

6 3 4 c) Resolver a inequação 2 < 8 Reduzindo à mesma base temos 2 3 < como 2 > 1, teremos que a solução é dada por 3 < 3 < E teremos o conjunto solução dado por S = { R, tal que < 9 4 }.