CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

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1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 07: Teorema do Valor Intermediário, Teorema do Confronto e Limite Trigonométrico Fundamental Objetivos da Aula Conhecer e aplicar o Teorema do Valor Intermediário; Conhecer e aplicar o Teorema do Confronto; Demonstrar o Limite Trigonométrico Fundamental. Teorema do Valor Intermediário Apresentaremos a seguir, uma propriedade importante das funções contínuas Teorema (do Valor Intermediário). Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado [a, b] e seja N um número qualquer entre f(a) e f(b), em que f(a) f(b). Então eiste um número c em (a, b) tal que f(c) = N. O Teoreoma do Valor Intermediário (TVI) estabelece que uma função contínua assume todos os valores intermediários entre os valores de f(a) e f(b). Geometricamente, o TVI diz que se for dada uma reta horizontal qualquer y = N entre y = f(a) e y = f(b), como mostra a figura abaio, então o gráfico de f intercepta a reta y = N pelo menos uma vez. Figura : Ilustração geométrica do Teorema do Valor Intermediário Observação. É importante que a função f do TVI seja contínua. O Teorema do Valor Intermediário não é verdadeiro em geral para funções descontínuas.

2 Um caso particular do Teorema do Valor Intermediário será apresentado a seguir. Bolzano (ou do Anulamento). É o Teorema de Teorema 2 (de Bolzano ou do Anulamento). Se f for contínua e f(a) e f(b) assumirem assumirem sinais contrários, então eistirá c (a, b) tal que f(c) = 0. Uma importante aplicação do TVI é a localização das raízes de equações. A seguir, apresentaremos alguns eemplos. Eemplo. Mostre que eiste uma raiz da equação = 0 entre e 2. Seja f() = Queremos encontrar um c entre e 2, tal que f(c) = 0. Tomando a = e b = 2 e N = 0, pelo Teorema do Valor intermediário, temos: f() = < 0 f(2) = 2 > 0. Logo, f() < 0 < f(2), isto é N = 0 é um número entre f() e f(2). Como f é contínua, por ser um polinômio, o TVI afirma que eiste um núero c entre e 2 tal que f(c) = 0. Em outras palavras, a equação = 0 tem pelo menos uma raiz c no intervalo (, 2). Graficamente, temos: Eemplo 2. Mostre que a equação = 0 admite pelo menos uma solução real. Considerando a função f() = , temos f(0) = 8, f( 3) = 7 e f é contínua, segue do Teorema do Anulamento que eiste pelo menos um c em ( 3, 0) tal que f(c) = 0, isto é, a equação = 0 admite pelo menos uma raiz real entre -3 e 0. 2 Teorema do Confronto Teorema 3 (do Confronto). Se f() g() h() para todo em um intervalo aberto que contenha a (eceto possivelmente a) e f() = h() = L, a a então g() = L. a Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

3 A mensagem do Teorema do confronte é que se uma função que está no meio de outras duas funções que tem o mesmo ite, então obrigatoriamente a função que está no meio terá o mesmo ite das outras duas, daí este teorema é também chamado de Teorema do Sanduiche. Eemplo 3. Seja f uma função definida em R tal que para todo, temos: Calcule f() e justifique. Como: = 2 2 = 2 temos, pelo Teorema do Confronto: Portanto: f() f() ( ) Eemplo 4. Mostre que 2.sen = 0. Como Multiplicando por 2 a desigualdade, temos: f() = 2. sen 2 2.sen ( ) ( ) 2 2 f() 2. Como 2 = 2 = 0, pelo Teorema do Confronto, temos: ( ) 2.sen = 0. ( ) Graficamente, note que que a função f() = 2.sen é itada superiormente pela função g() = 2 e itada inferiormente pela função h() = 2. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

4 Eemplo 5. Suponha f uma função contínua e suponha que para todo, f() < 2. (a) Calcule, caso eista, f(). (b) f é contínua em 0? Por quê? (a) Pelas propriedades de módulo, temos: f() 2 2 f() 2. Como 2 = 0 = 2, segue pelo Teorema do Confronto que f() = 0. (b) Segue de (a) que f será contínua em 0 se f(0) = 0. Pela hipótese, f() 2 para todo, logo, f(0) 0 e, portanto, f(0) = 0. Assim, f() = 0 = f(0), ou seja, f é contínua em 0. O próimo eemplo nos diz que se f tiver ite 0 em p e se g for itada, então o produto f g terá ite 0 em p. Eemplo 6. Sejam f e g duas funções com o mesmo domínio A tais que f() = 0 e g() M para todo em A, em que M > 0 é um número real fio. Prove que: Note que: para todo em A. Daí, para todo em A f()g() = 0. f()g() = f(). g() M. f(), M. f() f(). g() M. f() Como f() = 0, segue que M. f() = 0 e M. f() = 0. Pelo Teorema do Confronto: f()g() = 0. ( π Eemplo 7. Calcule.sen Note que = 0 e ). sen ( π ). Pelo resultado obtido no Eemplo 6, temos: ( π ).sen = 0. Graficamente, temos: Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 3 Limite Trigonométrico Fundamental Usando o triângulo retângulo no círculo trigonométrico de raio e o Teorema do Confronto demonstra-se que sen = A demonstração usando a regra do L Hospital é mais simples que vou deiar para depois da aula de derivadas. sen(5) Eemplo 8. Calcule. Note que: sen(5) = 5. sen(5) sen5u = = 5. }{{} 5 u 0 u u Ou seja: sen(5) = 5. cos Eemplo 9. Calcule 2. Note que: Assim: cos 2 = cos2 2 + cos = sen2 2 cos sen 2 2 = 2 + cos = 2, + cos. sen 2 pois 2 = e + cos = 2. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 sen(6) Eemplo 0. Calcule. 5 Seja u = 6. Quando 0, temos u 0 e, como Passando o ite, temos: sen(6) 5 = 5.6.sen(6) 6 = 6 5.sen(6) 6 = 6 5.senu u. sen(6) 6 = 5 u 0 5.senu u = 6 5. tg Eemplo. Calcule. Segue que: Note que: tg = Eemplo 2. Calcule π sen π. Fazendo u = π, temos: sen π = sen(u + π) u Quando, π, temos que u 0. Portanto: π tg = sen cos = cos.sen cos.sen = = senu cos π + cos usenπ u cos. sen = = senu u. sen π = senu u 0 u =. Resumo O que afirma o Teorema do Confronto? Como ele foi usado nesta aula? Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula no Capítulo 2 - Seção 2.3 e Capítulo 3 -Seção 3.3 do livro teto. Sugestão de eercícios Resolva os eercícios do assunto na seçãao 2.3 do livro teto e a lista etra de eercícios disponível em nossa sala no Moodle. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6