Para cada partícula num pequeno intervalo de tempo t a percorre um arco s i dado por. s i = v i t
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- Marta Barbosa Bandeira
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1 Capítulo 1 Cinemática dos corpos rígidos O movimento de rotação apresenta algumas peculiaridades que precisam ser entendidas. Tem equações horárias, que descrevem o movimento, semelhantes ao movimento de translação 1.1 Rotação em torno de um eixo fixo Figura 1.1: Descrição do Movimento Circular Figura 1.2: Descrição do Movimento Circular Para cada partícula num pequeno intervalo de tempo t a percorre um arco s i dado por s i = v i t O arco si varia, mas o ângulo coberto por todas as partícula θ é o mesmo. Exemplo: quando uma partícula percorre uma circunferência completa todas as partículas andam um comprimento de 2π rad. 1
2 2 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS Assim o ângulo percorrido é igual para todas as partículas é: θ = s i r i = v i t r i Logo a variação do ângulo percorrido com o tempo é igual a: ω = θ velocidade angular. Por convenção ω > 0para rotação anti horária ω < 0para rotação horária t = v i v i,que chamaremos de A unidade mais usada é rad/s. Para indicação da velocidade angular podemos usar o /s ou rotações por minuto, usando as seguintes igualdades: 2πrad = 360 o = 1rotação É bom ficar claro que os resultados encontrados só podem ser usados com os arcos sendo dados em radianos. De modo semelhante podemos definir a aceleração angular como a variação da velocidade angular com o tempo: α = ω t = 1 v i = a i t v i A unidade da aceleração é rad/s 2. Deve ficar claro que esta aceleração é tangente a rotação do corpo. A aceleração radial é dada por: a ir = v2 i = r i ω 2 r i São bastante importantes as seguintes expressões: s i = r i θ v i = r i ω a i = r i α que relacionam as grandezas escalares e angulares do movimento. A semelhança com as definições do movimento de translação permite nos usar os resultados do movimento uniforme e movimento uniformemente variado. Movimento Angular Uniforme α = 0 r i
3 1.2. TRANSMISSÃO DE MOVIMENTO 3 ω = cte θ = θ o + ωt Movimento Angular Uniformemente Variado α = cte ω = ω o + αt θ = θ o + ω o t + αt 2 ω 2 = ω 2 o + 2α(θ θ o ) 1.2 Transmissão de movimento Num movimento circular pode ocorrer o contato, por exemplo, de dois cilindros. Figura 1.3: Transmissão de Movimento Não havendo deslizamento entre os dois, a velocidade no ponto de contato deve ser igual em módulo, isto é: v 1 = v 2 Pela definição da aceleração, também ocorre que o módulo da aceleração no contato deve ser igual, isto é: a 1 = a 2
4 Aplicação CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS Figura 1.4: Transmissão de Movimento O disco A parte do repouso e gira com uma aceleração angular constante de 2 rad/s Quanto tempo é necessário para que o mesmo complete 10 revoluções? 2. Se o disco A está em contato com o disco B e não ocorre deslizamento entre os discos, determine a velocidade angular e a aceleração angular de B imediatamente antes de A completar 10 revoluções. O movimento rotatório de A pode ser determinado usando as equações de aceleração angular constante já que α = 2rad/s 2. Já que há 2π radianos em cada revolução, o deslocamento angular para o disco A é dado por: θ A = 2πrad = 62, 83rad 1rev Como se sabe que o disco A parte do repouso sua velocidade angular quando θ A = 62, 83rad pode ser determinada pela equação: Complete os dados abaixo Assim obtém se: ω 2 = ωo 2 + 2α(θ θ o ) ω = 15, 9rad/s O tempo pode ser achado resolvendo se a equação. Use a para verificar sua solução Pode se obter uma solução mais fácil usando se o resultado calculado para a velocidade angular e a
5 1.3. EXERCÍCIOS 5 equação: θ = θ o + ω o t + αt 2 A velocidade no ponto de contato P na borda de A é: v P = ω A r A = (15, 9)(0, 2) = 3, 18m/s A velocidade é sempre tangente a trajetória do movimento, tal que a velocidade do ponto P no disco B é a mesma que a velocidade do ponto P no disco A ( já calculada). A velocidade angular de B é então ω B = v P 3, 18 = = 21, 2rad/s r B 0, 15 Como os dois discos não deslizam entre si, podemos dizer que as acelerações escalares são iguais para os dois discos, ou seja 1.3 Exercícios α A r A = α B r B α B = r ( ) A 0, 2 α A = 2 = 2, 67rad/s 2 r B 0, O volante de uma máquina viga com velocidade angular de 150rpm. Desligada, o atrito com o ar e os mancais a faz parar depois de t = 2h. Determine: (a) A aceleração angular constante em rad/s 2, o /s 2 e rpm 2 (b) O deslocamento angular até parar em rad e voltas. (c) O instante em que ela atinge 75 rpm (d) A velocidade escalar num ponto a 50cm do eixo de rotação (e) A aceleração centrífuga máxima e mínima 2. A correia acopla a roda A r A = 10cm com a roda C r C = 25cm. A roda A parte do repouso e ganha velocidade a taxa constante de 1, 6rad/s 2. Determine: (a) O tempo para a roda A chegar a100rpm (b) a respectiva velocidade da correia (c) o número de voltas dados até esse instante
6 6 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS (d) O tempo para a roda C chegar a100rpm (e) a respectiva velocidade da correia (f) o número de voltas dados até esse instante 3. Uma roda partiu do repouso tem aceleração angular de módulo α = πrad/s 2. Durante o intervalo de tempo de t = 0 a t = 18s. Calcule: (a) o número de voltas dadas (b) a velocidade em t = 18s 4. Num referencial fixo no solo, um carro com pneus de 75 cm de diâmetro se desloca a 80 km/h. Calcule: (a) o módulo da velocidade angular dos pneus em torno dos seus eixos (b) o módulo da aceleração angular dos pneus, se o carro pára depois que cada roda completa 30 revoluções (c) a distância percorrida pelo carro durante a freada 5. A figura 5 representa dois atletas numa corrida, percorrendo uma curva circular, cada um em uma raia. Eles desenvolvem velocidades lineares com módulos iguais e constantes, num referencial fixo no solo. Atendendo à informação dada, assinale a resposta correta. (a) Em módulo, a aceleração centrípeta de A é maior do que a aceleração centrípeta de B. (b) Em módulo, as velocidades angulares de A e B são iguais. (c) A poderia acompanhar B se a velocidade angular de A fosse maior do que a de B, em módulo. (d) Se as massas dos corredores são iguais, a força centrípeta sobre B é maior do que a força centrípeta sobre A, em módulo. (e) Se A e B estivessem correndo na mesma raia, as forças centrípetas teriam módulos iguais, independentemente das massas.
7 1.3. EXERCÍCIOS 7 Figura 1.5: Atletas correndo 6. Um carro de corrida percorre uma pista circular com velocidade constante de 180km/h e aceleração centrípeta de 25m/s 2. Determine (a) o raio da pista (b) a velocidade angular do carro (c) o número de voltas para um intervalo de 1 minuto 7. Usando a figura 1.4, a roda C gira, a partir do repouso, com aceleração angular constante de 1rad/s 2. Dado r A = 30cm, r B = 15cm e r C = 5cm. Determine para t = 10s : (a) quantas voltas completa a roda C. (b) a velocidade escalar de C (c) a velocidade escalar de B (d) a velocidade angular de B (e) quantas voltas completa a roda B (f) a velocidade escalar de A (g) a velocidade angular de A (h) quantas voltas completa a roda A Quando a roda A completa uma volta, determine: (i) o tempo decorrido (j) a velocidade angular de A (k) a velocidade escalar de A (l) a velocidade escalar de B
8 8 CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS (m) a velocidade angular de B (n) quantas voltas completa a roda B (o) a velocidade escalar de C (p) a velocidade angular de C (q) quantas voltas completa a roda C. 8. Dois pontos estão sobre uma roda gigante, a velocidade angular é constante. Um deles está na borda e o outro a meia distância entre o centro e a borda. (a) Qual dos dois percorre a maior distância no mesmo intervalo de tempo? (b) Qual ponto gira o maior número de vezes? (c) Qual tem maior velocidade escalar? (d) Qual tem maior aceleração escalar? (e) Qual tem maior velocidade angular? (f) Qual tem maior aceleração angular? 9. Uma roda tem uma velocidade angular inicial no sentido horário de 10 rad/s e uma aceleração constante de 3rad/s 2. Determine: (a) o número necessário de revoluções para adquirir uma velocidade angular no sentido horário de 15rad/s (b) o tempo decorrido 10. O disco A, parte do repouso e gira com uma aceleração angular constante de 2 rad/s 2. (a) Quanto tempo é necessário para que o mesmo complete 10 revoluções? Se o disco A está em contato com o disco B, e não ocorre deslizamento entre os discos, (b) determine a velocidade angular e a aceleração angular de B imediatamente antes de A completar 10 revoluções.
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