AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE CASTRO DAIRE Escola Secundária de Castro Daire

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1 3º Período 2º Período º Período AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE CASTRO DAIRE Escola Secundária de Castro Daire Grupo de Recrutamento 500 MATEMÁTICA Ano lectivo 202/203 Planificação Anual Disciplina: Matemática A Ano: 2º Carga horária semanal: 3 blocos de 90 minutos Período da planificação: 4 de setembro até 8 de junho Manual adotado: Matemática A Porto Editora Atividades / Conteúdos Blocos Apresentação Conteúdos Programáticos Avaliação Escrita Auto e hétero avaliação Conteúdos Programáticos Avaliação Escrita Auto e hétero avaliação Conteúdos Programáticos Avaliação Escrita Auto e hétero avaliação Planificação 2º Ano 202/203 Página de 4

2 AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE CASTRO DAIRE Grupo de Recrutamento 500 MATEMÁTICA Ano lectivo 202/203 Planificação a Médio Prazo Matemática A 2ºAno º Período Tema: Probabilidades e Combinatória Número de aulas previstas: 25 Temas/Conteúdos programáticos Unidade: Experiências aleatórias. Espaço de resultados. Acontecimentos. Operações com acontecimentos Experiências aleatórias e experiências deterministas. Espaço de resultados. Acontecimentos. Operações com Acontecimentos. Reunião de dois acontecimentos. Intersecção de dois acontecimentos. Acontecimentos disjuntos. Acontecimentos contrários ou complementares. Acontecimento A implica B. Acontecimento diferença entre A e B. Conjuntos. Operações com conjuntos. Leis de De Morgan. Cardinal de um conjunto. Representação de um conjunto. Conjunto vazio. Igualdade entre conjuntos. Subconjunto de um conjunto. Conjunto Universal. Distinguir experiência determinista de experiência aleatória. Definir o conjunto de resultados de uma experiência aleatória. Determinar o espaço de resultados em experiências aleatórias. Definir acontecimento como subconjunto do conjunto de resultados. Classificar acontecimentos. Utilizar as notações de conjuntos para representar relações entre acontecimentos. Resolver problemas simples aplicando as operações com conjuntos. Resolver problemas utilizando as operações com conjuntos. Planificação 2º Ano 202/203 Página 2 de 4

3 Operações com conjuntos. Complementar de um conjunto. Complementar de um conjunto relativamente a outro. Conjuntos disjuntos. Propriedades das operações com conjuntos. Definição frequencista de probabilidade. Definição clássica ou de Laplace de probabilidade. Aplicar as primeiras leis de De Morgan à reunião e interseção de conjuntos. Conhecer terminologia das probabilidades. Aplicar a definição frequencista de probabilidade. Aplicar a definição clássica ou de Laplace de probabilidade utilizando métodos elementares de contagem (tabelas, diagramas de árvore, diagramas de Venn e outros esquemas). Temas/Conteúdos programáticos Unidade2: Problemas de Contagem Cálculo Combinatório Triângulo de Pascal Binómio de Newton Princípio fundamental da contagem Fatorial de um número natural Permutações Arranjos sem repetição Arranjos com repetição Combinações sem repetição Triângulo de Pascal Propriedades do triângulo de Pascal Propriedades das combinações (sem repetição) Binómio de Newton Aplicação ao cálculo de probabilidades Resolução de problemas usando a regra de Laplace em experiências compostas. Aplicar o princípio fundamental da contagem. Aplicar estratégias de contagem Aplicar o conceito de fatorial de um número natural. Calcular o fatorial de um número Resolver problemas de probabilidades aplicando permutações, arranjos sem repetição, arranjos com repetição e combinações sem repetição. Associar o triângulo de Pascal com combinações. Construir e explorar o triângulo de Pascal. Resolver problemas aplicando as propriedades do triângulo de Pascal. Aplicar as propriedades das combinações. Aplicar o desenvolvimento do binómio de Newton na resolução de problemas. Desenvolver e aplicar em situações diversas o Binómio de Newton. Resolver problemas de probabilidades usando a análise combinatória para efetuar contagens. Descrever raciocínios em probabilidades.,5 Planificação 2º Ano 202/203 Página 3 de 4

4 Unidade 3: Definição axiomática de probabilidades. Probabilidade condicionada. Acontecimentos Independentes Definição axiomática de probabilidades Probabilidade condicionada Probabilidade da interseção de dois acontecimentos Acontecimentos Independentes Resolução de problemas envolvendo acontecimentos independentes Resolução de problemas envolvendo probabilidade condicionada e acontecimentos independentes Probabilidade condicionada e axiomática Compreender a axiomática das probabilidades. Aplicar os axiomas das probabilidades. Resolver problemas de probabilidade condicionada. Determinar a probabilidade da intersecção de dois acontecimentos. Definir acontecimentos independentes Resolver problemas de probabilidade usando a independência de acontecimentos. Resolver problemas envolvendo probabilidade condicionada e acontecimentos independentes Conhecer e indicar os axiomas das probabilidades. Conhecer e demonstrar teoremas das probabilidades. Aplicar teoremas de probabilidades na resolução de problemas. Resolver problemas de probabilidade condicionada. Planificação 2º Ano 202/203 Página 4 de 4

5 Unidade 4: Distribuição de frequências relativas e distribuição de probabilidades Variável aleatória Distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta. Distribuição de frequências versus distribuição de probabilidades Média versus valor médio. Desviopadrão amostral versus desviopadrão populacional Distribuição binomial. Distribuição de probabilidades de uma variável aleatória com distribuição binomial. Valor médio e variância da distribuição binomial. Aplicação do modelo binomial. A simetria da distribuição binomial Variáveis aleatórias contínuas. Distribuição normal Distribuição normal estandardizada. Definir variável aleatória Obter a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta. Determinar, em tabela e gráfico, a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória. Utilizar distribuições de probabilidades de uma variável aleatória. Relacionar distribuição de frequências com distribuição de probabilidades. Relacionar média e desvio-padrão amostral com valor médio e desvio-padrão populacional. Determinar o valor médio e o desviopadrão de uma distribuição de probabilidades. Identificar variável aleatória binomial Identificar as características da distribuição binomial. Usar tabelas e calculadora gráfica para calcular o valor de uma probabilidade numa distribuição binomial. Calcular o valor médio e a variância da distribuição binomial. Estudar a simetria da distribuição binomial. Identificar uma distribuição normal. Conhecer as características de uma distribuição normal. Estudar variáveis aleatórias contínuas e a distribuição normal. Usar tabelas da distribuição N(0,) Estandardizar uma distribuição normal. Usar a calculadora gráfica para determinar probabilidades numa distribuição normal. Resolver problemas envolvendo distribuição binomial e distribuição normal Planificação 2º Ano 202/203 Página 5 de 4

6 Tema: Introdução ao Cálculo Diferencial II Número de aulas previstas: 5 Temas/Conteúdos programáticos Unidade : Funções exponenciais e funções logarítmicas Introdução ao estudo das funções exponenciais. Definição de função exponencial Propriedades das funções exponenciais Equações exponenciais Transformações do gráfico de uma função exponencial Aplicação das funções exponenciais na modelação de situações reais Função exponencial de base e. Identificar funções exponenciais. Definir função exponencial Realizar o estudo analítico e representação gráfica de funções exponenciais Conhecer propriedades das funções exponenciais. Resolver equações exponenciais Aplicar as transformações dos gráficos de funções a funções exponenciais. Aplicar as funções exponenciais na modelação de situações reais. Resolver problemas de modelação matemática relativos a funções exponenciais Aplicar a função exponencial de base e na modelação de situações reais. Identificar funções logarítmicas Definir função logarítmica. Conhecer as bases especiais 0 e e Planificação 2º Ano 202/203 Página 6 de 4

7 2º Período Tema: Introdução ao Cálculo Diferencial II Número de aulas previstas: 25 Temas/Conteúdos programáticos Objectivos/Competências Unidade : Funções exponenciais e funções logarítmicas Definição de função logarítmica Logaritmos com bases especiais Propriedades das funções logarítmicas Transformações do gráfico de funções logarítmicas Propriedades operatórias dos logaritmos Equações exponenciais e logarítmicas Resolução de inequações com exponenciais ou logaritmos Inversa de uma função exponencial ou de uma função logarítmica Aplicação das funções exponenciais e logarítmicas na modelação de situações reais Identificar funções logarítmicas. Definir função logarítmica. Conhecer as bases especiais 0 e e Conhecer e reconhecer as propriedades das funções logarítmicas. Aplicar as transformações dos gráficos de funções às funções logarítmicas. Resolver problemas de modelação matemática relativos a funções logarítmicas Aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos. Resolver equações exponenciais e logarítmicas. Resolver inequações com exponenciais e logaritmos. Definir (caracterizar) a função inversa de uma função exponencial ou logarítmica dada. Resolver problemas em contexto real usando funções exponenciais e funções logarítmicas. Planificação 2º Ano 202/203 Página 7 de 4

8 Unidade 2: Limites. Cálculo de limites de funções e de sucessões Noção intuitiva de limite Limites laterais. Definição de limite segundo Heine. Regras operatórias com limites. Limites e infinitos. Cálculo de Limites. Calcular limites das funções por concretização da variável independente Calcular limites laterais. Aplicar a definição de limite segundo Heine Utilizar regras nas operações com limites Aplicar teoremas sobre limites no cálculo de limites. Calcular limites quando x Indeterminações Limites de funções envolvendo exponenciais e logaritmos Identificar e levantar indeterminações no cálculo de limites. Calcular limites envolvendo funções exponenciais e logarítmicas. Limites de sucessões (revisão) Calcular limites de sucessões Temas/Conteúdos programáticos Unidade 3: Continuidade de uma função Continuidade de uma função num ponto Continuidade lateral Continuidade de uma função num intervalo Operações com funções contínuas Teorema de Bolzano-Cauchy Determinação das assimptotas do gráfico de uma função Estudar a continuidade de uma função num ponto. Investigar a continuidade lateral de uma função num ponto. Estudar a continuidade de uma função num intervalo dado. Aplicar teoremas e propriedades sobre funções contínuas. Aplicar o Teorema de Bolzano-Cauchy na resolução de alguns problemas. Determinar as assintotas do gráfico de uma função. Resolver problemas usando continuidade. Resolver problemas aplicando o conceito de assintota do gráfico de uma função. Planificação 2º Ano 202/203 Página 8 de 4

9 Unidade 4: Derivadas Introdução ao conceito de derivada. Definição de derivada. Significado geométrico de derivada. Derivadas laterais Referências a pontos nos quais a função não é derivável Derivabilidade e continuidade Função derivada Regras de derivação Derivada de uma função constante Derivada de uma função afim Derivada do produto de uma constante por uma função Derivada da soma e da diferença de duas funções Derivada de uma potência Derivada de funções polinomiais Derivada de um produto de funções Derivada de um quociente de funções Derivada de funções compostas Derivada de funções exponenciais e logarítmicas Função segunda derivada Compreender o conceito de derivada. Definir derivada de uma função num ponto. Interpretar geometricamente o valor da derivada de uma função num ponto. Interpretar a derivada como taxa de variação instantânea de uma função num ponto. Interpretar a derivada como velocidade ou aceleração de um móvel num ponto. Determinar as derivadas laterais de uma função num ponto. Referenciar pontos nos quais a função não é derivável. Interpretar derivadas infinitas. Compreender o conceito derivabilidade e continuidade. Relacionar os conceitos de derivabilidade e de continuidade de uma função num ponto. Conhecer o significado de função derivada de uma função. Demonstrar regras de derivação (derivada da função constante, derivada da função afim, derivada do produto de uma constante por uma função, derivada da soma e do produto de funções). Aplicar regras de derivação. Calcular derivadas de funções usando as regras. Derivar funções exponenciais e logarítmicas. Calcular a segunda derivada de uma função. Relacionar os gráficos de uma função da respectiva função derivada. Relacionar os gráficos de uma função e da respetiva função segunda derivada. Planificação 2º Ano 202/203 Página 9 de 4

10 Unidade 5: Aplicações das derivadas Revisão de: Função estritamente crescente e função estritamente decrescente. Extremos de uma função. Intervalos de monotonia e primeira derivada de uma função Máximos e mínimos absolutos e primeira derivada da função. Extremos relativos e primeira derivada de uma função Concavidade e segunda derivada de uma função Teste da segunda derivada Estudo de funções Problemas de Otimização Objectivos/Competências Determinar a derivada de uma função num ponto, usando a calculadora gráfica. Determinar os extremos de uma função aplicando o conceito de derivada. Estudar a monotonia de uma função usando o conceito de derivada. Relacionar o sinal da primeira derivada com o sentido de variação de uma função Estudar o sentido das concavidades do gráfico de uma função usando a segunda derivada da função. Relacionar o sinal da segunda derivada com o sentido da concavidade de uma função Determinar pontos de inflexão de uma função Estudar analiticamente uma função (usar apenas a calculadora gráfica para confirmação dos resultados obtidos) Escrever o modelo matemático correspondente a uma situação real. Resolver problemas de otimização. Planificação 2º Ano 202/203 Página 0 de 4

11 3º Período Tema: Trigonometria e Números Complexos Número de aulas previstas: 24 Temas/Conteúdos programáticos Unidade : Funções Propriedades. Fórmulas Introdução ao estudo da trigonometria. Razões trigonométricas no triângulo retângulo (Revisão). Generalização da noção de ângulo. Razões trigonométricas de um ângulo qualquer (Revisão). Funções trigonométricas como funções reais de variável real. Gráficos de funções trigonométricas Estudo intuitivo das funções Transformações dos gráficos das funções Aplicação das funções trigonométricas na modelação de situações reais Utilização da calculadora na modelação de funções cujo gráfico é uma sinusóide. Equações trigonométricas (revisão). Fórmula fundamental da trigonometria. Fórmulas trigonométricas do seno, cosseno e tangente da soma e da diferença de dois ângulos. Razões trigonométricas do ângulo duplo. Definir as razões trigonométricas de um ângulo agudo (revisão). Generalizar as razões trigonométricas a um ângulo qualquer (revisão). Relembrar conceitos de Trigonometria lecionados no º Ano. Definir as funções trigonométricas como funções reais de variável real. Representar graficamente as funções Conhecer propriedades das funções Fazer o estudo analítico de funções Obter gráficos de funções trigonométricas, a partir do gráfico de y sin x e y cos x Utilizar as funções trigonométricas na modelação de situações reais. Utilizar a calculadora gráfica na modelação de funções cujo gráfico é uma sinusóide. Resolver equações trigonométricas (revisão) 2 2 Deduzir as fórmulas sin cos e sin tan sendo um ângulo cos qualquer. Deduzir as fórmulas trigonométricas do seno, cosseno e tangente da soma e da diferença de dois ângulos. Verificar identidades trigonométricas aplicando fórmulas 3 Planificação 2º Ano 202/203 Página de 4

12 Unidade 2: Estudo intuitivo de. Derivada das funções Estudo intuitivo do Derivada das funções sin x lim x0 x Resolução de problemas envolvendo a derivada de funções sin x Conhecer que lim =. x0 x Calcular limites, aplicando o sin x conhecimento de que lim =. x0 x Deduzir e aplicar as fórmulas das derivadas das funções y sin x ; y cos x e y tan x Resolver problemas envolvendo a derivada de funções Planificação 2º Ano 202/203 Página 2 de 4

13 Unidade 3: Números Complexos. Forma algébrica e forma trigonométrica. Evolução do conceito de número. O conjunto dos números complexos. Representação geométrica de um número complexo. Complexos conjugados e complexos simétricos. Igualdade entre dois números complexos. Operações com números complexos. O número i como operador da rotação de 90 o. Raízes complexas de uma equação do 2º grau. Módulo e argumento de um número complexo. Forma trigonométrica de um número complexo. Operações com números complexos na forma trigonométrica Construção geométrica das raízes de uma equação em C. Translação e rotação no plano de Argand. Identificar como i, ou seja, a unidade imaginária. Determinar as soluções imaginárias de uma equação do 2º grau que seja impossível em IR. Conhecer o conjunto C. Representar geometricamente um número complexo. Escrever o conjugado e o simétrico de um número complexo. Definir complexos iguais. Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir dois números complexos. Calcular potências de i. Reconhecer que multiplicar por i um número complexo equivale a rodar 90 o a sua representação geométrica. Determinar as raízes complexas de uma equação do 2º grau. Calcular o módulo e o argumento de um número complexo. Escrever números complexos na forma trigonométrica e na forma algébrica. Multiplicar e dividir dois números complexos escritos na forma trigonométrica Calcular uma potência de um número complexo escrito na forma trigonométrica Calcular as raízes de índice n de um número complexo escrito na forma trigonométrica. 2 2 Planificação 2º Ano 202/203 Página 3 de 4

14 Unidade4: Domínios planos e condições em variável complexa Operações com condições e com conjuntos (revisão) Conjuntos definidos por condições envolvendo números complexos Representar no plano conjuntos definidos por condições. Representar no plano complexo conjuntos definidos por condições Escrever uma condição que represente um conjunto de pontos, definido no plano complexo Interpretar condições em C, tais como: z z r z z z z2 Im z z a Re z z b arg zz,5 Planificação 2º Ano 202/203 Página 4 de 4