= 0, 4343 = 0, 43 = 1, 0222 = 1, 02

Transcrição

1 1 Conjuntos Numéricos Neste capítulo, serão apresentados conjuntos cujos elementos são números e, por isso, são denominados conjuntos numéricos. 1.1 Números Naturais (N) O conjunto dos números naturais é constituído por números inteiros positivos, inclusive o zero. N = {0, 1,, 3, } 1. Números Inteiros (Z) Os números inteiros são formados por números naturais e seus opostos (negativos). Z = {, 3,, 1, 0, 1,, 3, } 1.3 Números Racionais(Q) Números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma razão (ou fração) de dois números inteiros. Eles se dividem em inteiros ou fracionários. Os números 1 3, 7 6, 4, 0, e -3 5 são alguns exemplos de números racionais. No caso dos números fracionários, é possível que tenham infinitas casas decimais, desde que a parte fracionária seja repetida indefinidamente. Exemplos: 1 3 = 0, 333 = 0, = 0, 4343 = 0, = 1, 0 = 1, 0 Números com essa característica de repetição são denominados dízimas periódicas. 1.4 Números Irracionais (I) O conjunto dos números irracionais é formado por números que não podem ser escritos na forma de fração. Exemplos: = 1, π = 3, Números com essa característica são denominados dízimas nãoperiódicas. 1.5 Números Reais (R) É o conjunto que engloba os conjuntos já citados nessa apostila: N, Z, Q e I. 1.6 Valor absoluto ou módulo (R) O módulo, ou valor absoluto (representado matematicamente como x ) de um número real x é o valor numérico de x desconsiderando seu sinal. 1

2 Do mesmo modo, o módulo de -1 é 1: 1 = 1. Operações Fundamentais.1 Adição Adição é a operação que representa uma junção de quantidades, e para representá-la será utilizado o sinal + (mais). Figura 1: Diagrama com os conjuntos numéricos estudados O valor do módulo está associado à ideia de distância de um ponto até sua origem (o zero), ou seja, a sua magnitude. Tomando como exemplo o número 1 e seu oposto -1. Percebe-se que a distância entre 1 e 0 é 1 unidade. E a distância entre -1 e 0 também é 1 unidade (ver figura ) = 9 Os números 5 e 4 são chamados de parcelas e o número 9 é a soma. Importante: As operações de adição que envolvem números com casas decimais devem ser feitas com vírgula sobre vírgula. Figura : Módulo Nesse caso, se diz que o módulo (ou valor absoluto) de 1 é 1: 1 = 1. (a), 3 + 4, 6 + 7, 9 + 3, 5 = 18, 3 (b) = 5 3

3 . Subtração A subtração é a operação contrária a adição, e para representá-la será utilizado o sinal - (menos). 7 5 = Na operação 7 5 = o número 7 é chamado minuendo, o 5 é subtraendo e o número é a diferença. Importante: As regras para subtração são iguais as de adição. Portanto, quando a operação envolve números com casas decimais, todo o procedimento também deve ser feito com vírgula sobre vírgula. (a) +9 + = +11 (b) 7 5 = 1 (c) = +10 (d) 7 8 = 15 (e) 9 10 = 19 Segundo Caso: Quando os sinais são diferentes, deve-se subtrair os números mantendo o sinal do número de maior módulo.. Exemplos: (a) = 5 (b) = + (c) = +16 (d) = +0 (e) = 16.3 Adição e Subtração de números inteiros A adição e a subtração de números inteiros envolvem algumas regras básicas, essenciais para a obtenção do resultado correto. Para uma melhor fixação dessas regras e como utilizá-las, vamos demonstrar os cálculos seguidos da respectiva regra matemática. Primeiro Caso: se os sinais dos números são iguais, a operação deve ser feita adicionando os números e mantendo o sinal. Terceiro Caso: Quando na expressão houver a presença de parênteses, colchetes ou chaves deve-se resolver primeiro as operações que estão dentro deles. Deve-se eliminar primeiro os parênteses, seguidos pelos colchetes e por último as chaves. O último passo é realizar o jogo de sinais para então efetuar as demais operações. 3

4 = 0 ou 5 x 4 = 0 Na multiplicação 5 x 4 = 0 os números 5 e 4 são chamados fatores e o 0 é denominado produto. Figura 3: Jogo de sinais utilizado nas operações que envolvem parênteses, colchetes e chaves. 3. Exemplos: (a) (+81) + ( 1) (+7) = +6 (b) { [( + 3) (7 8) + ( 6 4)]} { [(5) ( 1) + ( 10)]} { [ ]} { [ 4]} = 4.4 Multiplicação É a operação que determina a soma de parcelas iguais. Para indicar a multiplicação é possível utilizar o sinal x, ou *. Importante: Quando a multiplicação envolve números com casas decimais, soma-se a quantidade de casas após a vírgula. (a) x 4 + x 3 + x 5 = = 4 4

5 (b) 5, 37 11, = 60, 144 (c) = = 1.5 Divisão É a operação inversa da multiplicação, e está ligada ao ato de repartir em partes iguais. 100 : 4 = 5 Nessa operação, o número 100 é o dividendo, 4 é o divisor e 5 é o quociente..6 Casos Particulares da Multipicação e Divisão Multiplicação N 1 = N N 0 = 0 Divisão N/1 = N N/N = 1 0/N = 0 (N 0) N/0 Não existe!.7 Os sinais na multiplicação e divisão Sinais iguais sinal positivo Sinais diferentes sinal negativo Uma fração é simplesmente uma divisão entre dois números. 1 = 1 : = 0,5 Quando a divisão de um número inteiro por outro é exata, dizemos que o primeiro é múltiplo do segundo ou que um número é divisível pelo outro. Caso a divisão entre números inteiros não seja exata, irá sobrar um determinado valor denominado resto da divisão. Figura 4: Comportamento dos sinais na multiplicação e divisão 5

6 .8 Decomposição de um número A decomposição de um número é feita com o objetivo de reescrevêlo por meio de uma multiplicação de números primos..10 Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c) O mínimo múltiplo comum entre um conjunto de números é o menor número divisível por todos eles. Para o cálculo do m.m.c. utiliza-se o processo de decomposição simultânea, como pode ser visto no exemplo a seguir: 1. Exemplo: Calcular o m.m.c. (1, 16, 45) Importante: Número primo é aquele divisível somente por ele mesmo e pelo número 1..9 Máximo Divisor Comum (m.d.c) O máximo divisor comum (m.d.c) a vários números é o maior número que os divide. 1. Exemplo: Calcular o m.d.c. (1, 18, 36) Decompondo cada um dos números em fatores primos: 1 = 3 18 = = 3 3 A multiplicação das menores potências dos fatores em comum entre os números 1, 18 e 36 é o m.d.c. m.d.c.(1, 18, 36) =.3 = 6 6

7 .11 Exercícios 1. Calcule o valor das expressões: (a) (4 + 3) ( + 6) = (b) = (c) (4 + 1) = (d) 9, 3 + (4, 5 + 1, 7) = (e) (10, 6 + 7, 35) +, + 1, 3 = (f) (414 0) + 70 = (g) ( ) + (53 1) 63 = (h) (56 43) (14 7) = (i) (30, 7 70, 35) + 17, , 3 = (j) = (k) = (l) 35 : 7 = (m) 6 : 5 = (n) 10 : 3 = (o) [ (6) ( 17)] = (p) [ 7 + ( 6 : 3 + ) 5] = (q) [ ( + 4) ( 4 13)] = (r) { [3 4 : (3 1)]} + 1 = (s), 5 + 3{3, 8 4 : [3 + 5, 1((3 +, 3 8)] 1} =. Substitua o? pelos números adequados: (a) 9+? = 11 (b) 7+? = 1 (c)? + 10 = 19 (d) 6? = 1 (e) 1? = 14 (f)? 5 = 3. Cálcule o m.m.c e o m.d.c entre os seguintes números: (a) (4, 3) (b) (3, 5, 8) (c) (50, 75) (d) (60, 15, 0, 1) (e) (18, 0, 30) (f) (1, 18, 3) (g) (60, 80) 4. A oferta abaixo estava em uma loja. Qual é a diferença entre os preços do plano à vista e do plano a prazo? PROMOÇÃO: R$ 703,00 à vista ou 5 prestações de R$ 59,00 7

8 3 Frações Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade ou um inteiro. As frações 3, 3, e 8 1 representam o mesmo valor, porém seus termos são números diferentes. Por causa dessa característica, estas frações são denominadas frações equivalentes. Para obtermos uma fração equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número (diferente de zero). Numa fração o numerador indica em quantas partes são tomadas do inteiro (partes coloridas), enquanto o denominador indica em quantas partes o inteiro foi dividido. 3.1 Frações Equivalentes Para efetuarmos operações com frações é mais cômodo deixar os números que representam a fração (numerador e denominador) primos entre si, isto é, simplificá-los até torná-los irredutíveis. Para fazer a simplificação (em algumas frações, isto não é possível), devemos, primeiramente, procurar um número que divida ao mesmo tempo o numerador e o denominador. Observe a figura: 3. Frações Próprias Quando o numerador da fração é menor do que o denominador ela é denominada própria. 3.3 Frações Impróprias 5 6, 1, 3 5, 3 31, etc A fração é imprópria quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível representá-la por um número misto. 8

9 Caso as frações não tenham o mesmo denominador, é preciso encontrar o mínimo múltiplo comum (mmc) entre os denominadores, para então encontrar as frações equivalentes. (a) 4 3 = = (b) 5 = = 1 (c) 11 3 = = 3 3 (d) 11 4 = = 3 4 (e) 1 3 = = = 5 3 (f) = = = Adição e Subtração de Frações 1. Exemplo: (a) = 1+3 (b) = 10+3 (c) = (d) = = 4 = 1 = = = = - 0 = Multiplicação de frações A multiplicação entre frações tem como resultado uma outra fração, cujo numerador é o produto entre os numeradores das frações envolvidas. De forma semelhante o denominador da fração resultante é o produto dos denominadores dos fatores. Em algumas situações é possível simplificar o cálculo da multiplicação entre frações realizando a simplificação dos fatores: Se as frações possuírem o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores e repetir o denominador comum entre as frações. 9

10 3.6 Divisão de frações Para fazer a divisão entre frações deve-se fazer a multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda. (b) = (c) = (d) = (e) 5 : 5 9 = 3.7 Comparação de Frações Para comparar as frações devemos reduzi-las ao mesmo denominador e comparar os numeradores. A fração que tiver o maior numerador maior será a maior fração. (f) : 7 =. Você encheu o tanque do seu carro. Gastou /5 da gasolina para trabalhar e 1/5 para passear no final de semana. Quanto sobrou de gasolina no tanque? 1. Exemplo: Comparar 3 e 5 7 mmc(3,7) = 1 3 = = 15 1 Logo: 14 1 < 15 1, e portanto 3 < Exercícios 1. Efetue as operações e simplifique o resultado quando possível. (a) = 10

11 4 Potenciação Utilizando a operação de multiplicação é possível realizar outra operação: a potenciação. Como já foi visto, os números envolvidos em uma multiplicação se chamam fatores e o resultado da multiplicação é o produto. Caso os fatores sejam todos iguais, existe uma forma diferente de fazer a representação denominada potenciação. Numa potenciação é possível identificar três elementos: Base é o número que representa o valor do fator. Expoente é a quantidade de vezes que o fator repete. Potência é o resultado do produto. = 4 = 16 No exemplo acima, o número é a base o número 4 é o exp7oente e o 16 é a potência. 4.1 Casos particulares da potenciação 1. Todo número diferente de zero e elevado a zero é um. 0 = = = 1. Todo número diferente de zero e elevado a um é o próprio número. 5 1 = = = Base zero com qualquer número no expoente, o resultado será zero. 0 = = = 0 4. Base negativa com expoente ímpar, resultado negativo. ( ) 7 = 18 ( 3) 3 = 7 ( 4) 5 = Base negativa com expoente par, resultado positivo. ( ) 4 = +16 ( 3) = +9 ( 5) = Se a base é um número racional (fração): devemos elevar ao expoente tanto o numerador quanto o denominador da fração. ( 3) = ( 3 ) = Quando o expoente é um número negativo: invertemos a base e mudamos o sinal do expoente para positivo. ( 1 ) = 3 = 3 = 1 8 ( 5 ) = 5 = 15 11

12 4. Multiplicação de potências de mesma base Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes = 4 (3+6) = Divisão de potências de mesma base Mantém-se a base comum e diminue-se os expoentes. 7 : 5 = (7 5) = 4.4 Potenciação de potência Eleva-se a base ao produto dos expoentes. (5 ) 3 = 5 ( 3) = Exercícios 1. Calcule: (a) ( ) 3 = (b) ( 3) 4 (c) 90 0 = (d) (0, 5) 3 = (h) ( ) + ( 3) ( ) 1 : ( 3) 1 = (i) 1 ( ) +( ) 1 + = (j) ( 5) 4 +( 1 5) (k) =. (FATEC) Das três sentenças abaixo: 1) x+3 = x 3 ) (5) x = 5 x 3) x + 3 x = 5 x (a) Somente a sentença 1) é verdadeira. (b) Somente a sentença ) é verdadeira. (c) Somente a sentença 3) é verdadeira. = (d) Somente a sentença ) é falsa. (e) Somente a sentença 3) é falsa. ( 5 ) (e) 4 = (f) 3 = (g) (0, ) 3 + (0, 16) = 1

13 5 Operações algébricas 5.1 Expressões Algébricas Equações algébricas são as equações em que as incógnitas são submetidas apenas às chamadas operações algébricas, ou seja, soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, utilizando letras e números Monômio É a expressão algébrica mais sintética. É a expressão formada por produtos e quocientes somente. Exemplos: x, 4w, 3x y 3, 7z 4 t Um monômio tem sempre dois componentes: a parte numérica, chamada coeficiente, e a parte literal, formada pelas letras ou variáveis. Dizemos que dois monômios ou temos são semelhantes quando tiverem a mesma parte literal Adição e subtração de monômios Só podemos somar ou subtrair dois monômios se eles forem semelhantes. A operação de soma/subtração é feita conservando-se a parte literal e somando-se os coeficientes. (a) 3xy + 6xy = 3xy (b) xyz + 1, 5xyz =, 5xy (c) 4x - 9x + 7y = 5x + 7y Multiplicação e divisão de monômios A Multiplicação/divisão de monômios é feita multiplicando/dividindo os coeficientes numéricos e multiplicando/dividindo as partes literais, obedecendo-se às regras de potenciação. Quando dois ou mais monômios tiverem a mesma parte literal diz-se que são monômios semelhantes. Exemplos: 4xy é semelhante a xy 3xy não é semelhante a 10xy (a) 3, 5x x = 7x (b) z 4xt = 8zxt (c) 11xy 3x 3 = 11y 3x (d) 10xyz,5xyz = 4 13

14 5.1.4 Polinômios Uma expressão formada por adições e subtrações de vários monômios é denominada de polinômios ( poli = muitos ). Exemplo: 5a - 6ab + b - a + 3ab + b é um polinômio formado por seis monômios Adição e subtração de polinômios Uma expressão formada por adições e subtrações de vários monômios é denominada de polinômios. ( Poli = muitos ). Opera-se de modo similar à adição e subtração de monômios. (a) 1, 3y +, 6y = 3, 9y (b) 3, 4y 4 (1, y 4 6xz) =, y 4 + 6xz (c) x 3 + x 6 + 3x + 5x 1 +, 3x 3 + 6x 1 = 3, 3x 3 + x 6 + 3x + 11x Multiplicação de polinômios Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do segundo fator, e em seguida realiza-se as operações de adição/subtração entre os termos semelhantes. (a) x 9z = 18xz (b) y(4x + 6w) = 4xy + 6yw (c) (x + y) (3x 5y) = x 3x + x ( 5y) + y 3x + y ( 5y) (d) (w + t)(3w t) = w 3w + w ( t) + t 3w + t ( t) = 3w tw + 6tw t 5. Produtos Notáveis São produtos freqüentemente usados, e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas. 1. Quadrado da soma de dois termos: (a + b) = a + ab + b. Quadrado da diferença de dois termos (a b) = a ab + b 3. Produto da soma pela diferença: (a + b)(a b) = a b Existem muitos outros produtos notáveis, mas nesse curso vamos nos restringir ao estudo dos produtos notáveis mais frequentemente utilizados. (a) ( + x) = + x + x = 4 + 4x + x (b) (x 3) = x + x ( 3) + ( 3) = x 6x + 9 (c) (y + 4) (y 4) = y 4 = y 16 14

15 5.3 Fatoração de polinômios Já vimos que fatorar um número significa escrevê-lo na forma de um produto de números primos. No caso da fatoração de polinômios, deve-se reescrever o polinômio na forma de um produto entre outros polinômios. Essa fatoração é feita utilizando o fator comum entre os termos do polinômio. Fator comum dos termos de um polinômio é o monômio cujo coeficiente numérico é o máximo divisor comum dos coeficientes dos termos do polinômio e cuja parte literal é formada pelas letras comuns com os menores expoentes. Apresentando um fator comum, o polinômio pode ser escrito como o produto de dois fatores: o 1 o é o fator comum e o o é obtido dividindo-se o polinômio original pelo fator comum. No polinômio x + x, a variável x é comum aos dois termos. Ela será o termo em evidência que dividirá todos os termos do polinômio original. (a) x + x = x(x + ) x : x = x x : x = (b) 4x 3 x = x (x 1) 4x 3 : x = x x : x = 1 (c) 5x y + x 4 y 3 + x = x (5y + x y 3 + ) 5x y : x = 5y x 4 y 3 : x = x y 3 x : x = 5.4 Exercícios 1. Efetue as seguintes operações: (a) 3a 7ab + 4b 5a + 3ab 4b = (b) (3xy 7x y + 3y 3 ) (y 3 8x y + 3xy ) = (c) (7xy )( 8x y)(xy) = (d) (a + b + c)(a b) = (e) (x 3 3x y + x)(x y) = (f) 6x 4x 5 +x 4 x x = (g) a bc+3a 3 b 3 c abc abc = (h) (3xy + 8a ) = (i) (5ab + 3c)(5ab 3c) =. Fatore: (a) 15a 10ab = (b) 3a x 6b x + 1x = (c) 5x 3 y + 1, 3x y 3 z = 15

16 6 Equações de 1 o grau Uma equação é definida como toda e qualquer igualdade que pode ser satisfeita para alguns valores que estejam agregados em seus domínios. Exemplo: 3x 4 = A variável x do exemplo recebe o nome de incógnita. A equação se divide em primeiro membro e segundo membro. O primeiro membro é o que está do lado esquerdo do sinal de igualdade, e o segundo membro é o que está do lado direito. 6.1 Resolução de equações de 1 o grau Resolver uma equação é determinar sua raiz. No caso de uma equação do 1 o grau a uma incógnita, deve-se resolver isolando a incógnita no 1 o membro e transferindo para o o membro os termos que não contenham a incógnita. Ao transferir um número ou uma incógnita de um membro para outro, deve-se efetuar a operação inversa no número/incógnita transferido (as operações inversas são: adição e subtração; multiplicação e divisão; potenciação e radiciação). (a) x + = 7 x = 7 x = 5 (b) x 3 = 0 x = x = 3 (c) x = 8 x= 8 x = 4 É possível verificar que a equação 3x 4 = se torna verdadeira quando: Para x = : 3x 4 = 3 4 = = Os valores atribuídos às incógnitas que tornam verdadeiras as igualdades denominam-se raízes da equação. Portanto, a raiz da equação do exemplo dado é x = Caso a equação contenha apenas uma incógnita e se o maior expoente dessa incógnita for 1 então a equação é dita equação do 1 o grau a uma incógnita. (d) x 3 = 5 x = 5 3 x = 15 (e) x + = x + 3 ( x + ) = ( x + 3) x + = x + 3 x x = 3 x = 1 x = 1 (f) 3x - x+1 3 = 4x 6 5 3x - x+1 3-4x 6 5 = 0 15(3x ) 10(x+1) 6(4x 6) 30 =0 15(3x ) 10(x + 1) 6(4x 6) = 0 45x 30 0x 10 4x + 36 = 0 x 4 = 0 x = 4 16

17 Verificação ou Prova Real : Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da equação dada. Se os valores numéricos forem iguais, a raiz encontrada está correta. 6. Sistema de equação do 1 o grau com duas incógnitas A forma genérica de um sistema é: { ax + by = c mx + ny = p Onde: a,b,c,m,n,p R x,y são incógnitas Equações a duas incógnitas (como as de um sistema) admitem infinitas soluções. Por exemplo, a equação x - y = 4 é verificada para um número ilimitado de pares de valores de x e y. Entre estes pares é possível exemplificar: (x = 4; y = 4), (x = ; y = 0), (x = -1; y = -6), etc. Resolver um sistema de duas equações a duas incógnitas significa determinar os valores de x e y que satisfaçam simultaneamente às duas equações. Por exemplo, o sistema: { 5x + y = 16 x 3y = 3 A solução existe para x = 3 e y = 1, pois apenas estes valores satisfazem simultaneamente às duas igualdades. (Verifique!) Existem vários métodos para que seja encontrada a solução de um sistema de equação, e nesse curso estudaremos os dois métodos mais utilizados: substituição e adição Substituição Consiste em escolher uma das duas equações e isolar uma incógnita, substituindo-a na outra equação. Seja o sistema : { x + 3y = 8 (1) 5x y = 1 () O primeiro passo é isolar uma das incógnitas em uma das equações. Vamos isolar o valor de x na equação (1): x + 3y = 8 x = 8 3y x = 8 3y (3) O segundo passo é substituir o x da equação () pelo seu valor encontrado na equação (3). 5 ( 8 3y ) y = 1 (4) A equação (4) possui apenas uma incógnita, logo podemos determinar o valor de y: 5 ( 8 3y ) y = 1 (x ) 5 (8 3y) 4y = 40 15y 4y = 15y 4y = 40 17

18 19y = 38 y = y = Como já temos o valor de y, podemos substituí-lo em qualquer uma das equações (1, ou 3) para determinar o x: A partir da equação (3): x = 8 3 x = 8 6 x = x = 1 Portanto, a solução do sistema é: x=1 e y=. 6.. Adição Consiste em adicionar os membros das equações de forma que se anule uma das incógnitas. Em alguns casos, devemos manipular as equações de forma que se possa proceder à anulação de uma das incógnitas. Exemplo 1: { x + y = 4 (1) x y = 0 () Somando cada membro do sistema, teremos: (x + y) + (x y) = x + y + x y = 4 x = 4 x = Substituindo o valor de x na equação (1): + y = 4 y = 4 y = Exemplo : { 3x + y = 4 (1) 5x y = 3 () Se for feita a soma das equações como fizemos no primeiro exemplo, nenhuma incógnita será anulada. Por isso, antes de realizar a soma de equações precisamos modificá-las de forma que alguma incógnita seja anulada quando a adição for feita. Multiplicando a equação () por dois: { 3x + y = 7 10x y = 6 Somando membro a membro, teremos: 13x = 13 x = 1 Substituindo o valor de x na equação 1 (ou na equação ), é possível encontrar o valor de y: y = y = 7 18

19 y = 7 3 y = 4 y = (a) { x + y = 1 3x + y = Exercícios 1. Resolva as seguintes equações: (a) 4x = 8 (b) 5x = 10 (c) 7 + x = 8 (d) 3 x = 7 (e) x 4 = x + 1 (f) 8 + 7x 13 = x 7 5x (g) x 3 = 3 4 (h) 1 4 = 3x 10 (i) 9x + (4x + 5) = 4x + 3 (j) 3( x) 5 (7 x) = 10 4x + 5 (k) x 3 1 x = 5x (l) 5x x 3 + x = x 6. Resolva os seguintes sistemas de equações: (b) (c) (d) { 5x + 6y = 19 7x + y = 1 { x + 5y = 1 3x 4y = { x 4 + y 5 = x+1 3 y 3 = 3. A idade do pai é o dobro da idade do filho. Há 10 anos atrás, a idade do pai era o triplo da idade do filho. Qual é a idade do pai e do filho? 19

20 7 Equações de o grau Equação de o grau é toda igualdade do tipo: a x + b x + c = 0 Onde a, b e c são números reais e a é não nulo (a 0). Comparando a forma geral da equação de o grau :a x +b x+c = 0 com a equação x + x + 1 = 0 teremos que nesse caso a = 1, b = e c = 1. A equação é denominada de o grau porque o maior expoente da incógnita (x) é. Se a equação tiver b 0 e c 0, ela é dita completa. Se a equação tiver b = 0 ou c = 0, ela é dita incompleta. 1 o caso: b 0 e c 0 x 9x 9 = 0 o caso: b=0 x 9 = 0 3 o caso: c=0 x 9x = 0 4 o caso: b=c=0 x = Resolução de equações de o grau Se a equação de o grau for incompleta, a solução é relativamente simples: (a) 3x = 0 x = 0 x = 0 S = {0} (b) x 18 = 0 x = 18 x = 9 x = ±3 S = { 3, +3} (c) 3x 1x = 0 3x(x 4) = 0 Teremos: 3x = 0 x = 3 ou x 4 = 0 x = 4 S = {+3, +4} Quando a equação de o grau for completa, o resultado é obtido por meio da fórmula de Bhaskara. Fórmula de Bhaskara: x = b± b 4ac a Observação: Nunca teremos a = 0, pois caso isso acontecesse o termo x seria anulado e a equação se tornaria de primeiro grau. (a) x x 0 = 0 Temos: a=1, b=-1 e c = -0 0

21 A equação é completa e deve ser resolvida utilizando a fórmula de Bhaskara. x = ( 1)± ( 1) 4 1 ( 0) 1 x = 1± 1+80 x = 1± 81 x = 1±9 x1 = 1+9 x1 = 10 x1 = 5 x = 1 9 x = 8 x = 4 S={-4,5} (b) 3x = 5x Reescrevendo a equação: 3x 5x = 0 Temos: a=3, b=-5 e c = 0 Portanto a equação é incompleta. 3x 5x = 0 x(3x 5) = 0 Logo: x = 0 ou 3x 5 = 0 3x = 5 x = 5 3 S={0, 5 3 } (c) 5x + 0 = 0 Temos: a=5, b=0 e c = 0 Portanto a equação é incompleta. 5x + 0 = 0 5x = 0 x = 0 5 x = 4 x = ± 4 Não existe raiz de número negativo, e por isso o conjunto solução é vazio. S = { } 7. Exercícios 1. Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não: (a) 5x 3x = 0 (b) 3x + 55 = 0 (c) x 6x = 0 (d) x 10x + 5 = 0. Resolva as sequintes equações do o grau: (a) x 5x + 6 = 0 (b) x 8x + 1 = 0 S={,3} S={,6} (c) x 5x + 8 = 0 S={ } (d) x 8x + 8 = 0 S={} (e) x + x + 1 = 0 S={-3, 4} (f) x + 6x 5 = 0 (g) x = 1x 18 (h) x + 9 = 4x S={ } S={1,5} S={-3} (i) 5x = 0x 4 S={ 5 } 1

22 (j) x + 3x 6 = 8 S={-1, -} (k) 4x x + 1 = x + 3x S={ 1} (l) 3x + 5x = x 9 + x S={ -3} (m) 4 + x(x 4) = x S={1,4} (n) x(x + 3) 40 = 0 S={5, -8} (o) x 7x + 1 = 0 (p) x + 5x + 4 = 0 (q) (x + 3) = 1 (r) (x 5) = 1 (s) (x 4) = 0 S={3,4} S={-1,-4} S={-,-4} S={6,4} S={} (t) (x 3) = x S={ } (u) 4x 7 = x S={3 e -3} (v) 8x = 60 7x S={ e -} (w) 3(x 1) = 4 S={3 e -3} (x) (x 1) = x + 7 S={3 e -3} (y) 5(x 1) = 4(x + 1) S={3 e -3} (z) (x 3)(x + 4) + 8 = x S={ e -} 3. Qual o número que somado com seu quadrado resulta em 56? (R:-8 e 7) 4. Um numero ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 35. Qual é esse número? (R:-7 e 5) 5. O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número? (R:8 e -5) 6. Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o dobro desse número seja igual a 40. (R:4) 7. Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48. (R:8) 8. O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a. Qual é esse número? (R:1 e ) 9. Qual é o número, cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40? ( R: 5, -8) 10. O número -3 é a raíz da equação x 7x c = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficiente c. 11. Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número? 1. Desafio: (FUVEST) O menor número inteiro positivo que devemos adicionar a 987 para que a soma seja o quadrado de um numero inteiro positivo é: (a) 37 (b) 36 (c) 35 (d) 34 (e) 33 Resposta: a

23 8 Inequação do 1 o grau Uma inequação é toda sentença matemática que contenha um sinal de desigualdade. (a) 4 > 1 (b) 5 < 9 (c) x 10 < 0 (d) 3x 9 > 0 (e) x (f) 4x Resolução de inequações de 1 o grau A resolução de inequações de 1 o resolução de equações de 1 o grau. grau é feita de modo similar a (a) 4x 16 > 0 4x > 16 x > 16 4 x 4 (b) x x 5 x 5 x 5 (c) 3(x + 4) < 4( x) 3x + 1 < 8 4x (x-1) 8. Exercícios 1. Resolva as seguintes inequações de 1 o grau: (a) 3x x + (b) x > 5x 16 (c) (x + 1) + 3x < 5 7x (d) 5 x x 1 (e) 3(1 x) < (x + 1) + x 7 (f) [1 (x 1)] < (g) 8(x + 3) > 1(1 x) (h) (x + 10) > ( x + 6) 3x + 4x < 8 1 7x < 4 x < Importante: Quando multiplicamos uma inequação por um número negativo (-1, por exemplo) devemos modificar o sinal da inequação. 3