CÁLCULO 1 Teoria 0: Revisão Gráfico de Funções elementares Núcleo de Engenharias e Ciência da Computação. Professora: Walnice Brandão Machado

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1 CÁLCULO 1 Teoria 0: Revisão Gráfico de Funções elementares Núcleo de Engenharias e Ciência da Computação FUNÇÕES POLINOMIAIS Função polinomial de 1º grau Professora: Walnice Brandão Machado O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a aos eixos Ox e Oy. Exemplo: y = 3x 1 0, é uma reta oblíqua Função Quadrática (polinomial de 2º grau) O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax 2 + bx + c, com a chamada parábola. 0, é uma curva Construção da Parábola: É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte: 1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola; 2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x (quando isso ocorrer); 3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0); 4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola; 5. Para x = 0, temos y = a b 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y. Observação: Quando é negativo, não há raiz real, logo, a parábola não intercepta o eixo das abscissas, ficando inteiramente acima dele (no caso de a > 0 ) ou inteiramente abaixo dele, quando a < 0.

2 Exemplo: y = x 2 + x: FUNÇÃO EXPONENCIAL Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente. A função f:ir IR + definida por f(x)=a x, com a IR + e a 1, é chamada função exponencial de base a. Gráfico da função exponencial Temos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 0<a<1. a>1 0<a<1 f(x) é crescente e Im=IR + x 2 >x 1 y 2 >y 1 (as desigualdades têm mesmo sentido) f(x) é decrescente e Im=IR + x 2 >x 1 y 2 <y 1 (as desigualdades têm sentidos diferentes) Observe que na função exponencial: a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal, ou seja, a função não tem raízes; b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);

3 c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR +. Função exponencial (de base e) A função exponencial (de base ) é a função real de variável real que a cada x faz corresponder x (recorde que denota o número de Neper). As propriedades e a aparência do gráfico seguem às mesmas condições de uma função exponencial de base maior que 1. FUNÇÃO LOGARÍTMICA A função f:ir + IR definida por f(x)=log a x, com a 1 e a > 0, é chamada função logarítmica de base a. GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Temos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 0<a<1. a>1 0<a<1 f(x) é crescente e Im=IR x 2 >x 1 y 2 >y 1 (as desigualdades têm mesmo sentido) f(x) é decrescente e Im=IR x 2 >x 1 y 2 <y 1 (as desigualdades têm sentidos diferentes) Observe que na função logarítmica: d) o gráfico nunca intercepta o eixo vertical; e) o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0), ou seja, a raiz da função é x=1; f) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im=IR. Função logarítmica (de base e) f ( x) ln x A função logarítmica (de base ) é a função real de variável real que a cada x faz corresponder log e x (recorde que denota o número de Neper) que normalmente é representado por f ( x) ln x. É também conhecida como logaritmo neperiano. As propriedades e a aparência do gráfico seguem às mesmas condições de uma função logarítmica de base maior que 1.

4 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Função y = sen (x) Função y = cos (x) Para detalhes sobre as funções trigonométricas consulte FUNÇÃO RACIONAL f(x) = 1/x Seja a função real de variável real f: \{0} definida por 1 f ( x). x Recorde que esta função tem as seguintes propriedades: Domínio: (todos os números reais, exceto o zero); Zeros e Sinal: o não tem zeros o positiva em e negativa em Extremos e Monotonia: o não tem nem mínimos nem máximos o é sempre decrescente Contradomínio: (todos os números reais, exceto o zero); A função é ímpar A função é contínua no seu domínio

5 Gráfico o hipérbole equilátera o concavidade voltada para cima em IR IR o concavidade voltada para baixo em o assíntota horizontal: reta de equação y =0 (eixo dos xx) o assíntota vertical: reta de equação x =0 (eixo dos yy) Na figura abaixo encontra-se representado o gráfico da função f e respectivas assíntotas (o eixo dos xx e o eixo dos yy). Fonte: - Acesso em 01/08/2010. FUNÇÃO DEFINIDA POR PARTES Denominamos função definida por partes toda função definida com a aplicação de fórmulas diferentes a diferentes partes do domínio. Exemplo 1: 0, H (t ) 1, se t 0 se t 0

6 Exemplo 2: