FUNÇÕES DE 1º GRAU FUNÇÕES DE 2º GRAU

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1 Matemática Matemática Avançada 2 os anos João mar/12 Nome: FUNÇÕES DE 1º GRAU Uma função de 1º grau é caracterizada pela seguinte lei: f(x) = ax + b Observações: Se a for positivo, a função é crescente; se for negativo, a função é decrescente. Para a nulo, a função é constante. O fator b corresponde à ordenada do ponto onde o gráfico de f(x) intercepta o eixo y. FUNÇÕES DE 2º GRAU São duas as principais formas de expressar a lei de uma função de 2º grau: f(x) = ax² + bx + c e f(x) = a.(x - R1).(x - R2) com R1 e R2 raízes de f(x) e com a 0 É possível observar que as duas maneiras são distintas, mas equivalentes. Ainda, o valor de a é o mesmo para ambas. Cada uma delas apresenta vantagens e desvantagens quando comparada com a outra, como veremos a seguir. O gráfico de uma função de 2º grau sempre será uma parábola e, para esboçarmos seu gráfico, é preciso analisar a concavidade da parábola, as raízes, o corte no eixo y e o vértice. As raízes são os pontos onde o gráfico intercepta o eixo das abscissas. Ou seja, tais que f(x) = 0. Assim, o cálculo das raízes depende da resolução da equação de 2º grau ax² + bx + c = 0, que, dependendo do sinal de Δ = b² - 4ac, pode ter duas raízes reais distintas, uma raiz real dupla ou duas raízes complexas conjugadas.

2 Não é difícil entender cada caso: Observe que quando Δ < 0 o gráfico de f(x) permanece sempre acima ou abaixo do eixo das abscissas, dependendo do sinal de a. Assim, f(x) será sempre positiva ou sempre negativa se e somente se Δ < 0. Observações: - A soma das raízes de uma equação de 2º grau ax² + bx + c = 0 é igual a!! - O produto das raízes será dado por!! O gráfico de f(x) intercepta o eixo y quando x = 0. Ou seja, a ordenada desse ponto é dada por f(0). Se a lei for dada na forma geral f(x) = ax² + bx + c, f(0) = c. O vértice da parábola é o ponto de máximo (a < 0) ou ponto de mínimo (a > 0) da função. IMPORTANTE: as parábolas que representam o gráfico de uma função são simétricas em relação à reta vertical que passa pelo vértice. A partir dessa simetria, é possível deduzir que a abscissa do vértice (x V ) de f(x) = ax² + bx + c será x V =!. A ordenada do!! vértice (y V ) será ( y V = f(x V ). 2

3 DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO Domínio de uma função f(x) é o conjunto de valores de x para os quais a função está definida. Ou seja, são os valores de x para os quais faz sentido aplicar a função. Esse conjunto é definido na maioria das vezes a partir de restrições. Imagem de uma função f(x) é o conjunto de valores de y gerados pela aplicação dos valores de x pertencentes ao domínio da função. Graficamente, são as ordenadas que estão associadas ao gráfico da função. Exercícios 1. (Unesp) Uma função de variável real satisfaz a condição f(x + 2) = 2f(x) + f(1), qualquer que seja a variável x. Sabendo-se que f(3) = 6, determine o valor de: a) f(1) b) f(5) 2. (FGV) Quando o preço por unidade de um produto (x) vale R$ 16,00, são vendidas 42 unidades por mês; quando o preço por unidade vale R$ 24,00, são vendidas 38 unidades por mês. Admitindo que o gráfico da quantidade vendida (y) em função de x seja formado por pontos de uma reta: a) Obtenha a expressão de y em função de x. b) Se o preço por unidade for R$ 26,00, qual a quantidade vendida? 3. (FGV) A figura abaixo fornece os gráficos dos lucros anuais L A e L B de duas empresas (em milhares de reais) em função da quantidade anual produzida e vendida (x). As intersecções dos gráficos com os eixos são: L A L B Eixo x (50, 0) (60, 0) Eixo y (0, -500) (0, ) a) Obtenha L A em função de x. b) Para que valores de x o lucro L B é superior a L A? 3

4 4. (Unesp) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela expressão: h(t) = 3t 3t 2 em que h é a altura atingida em metros. a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo? 5. (Unesp) Duas plantas de mesma espécie, A e B, que nasceram no mesmo dia, foram tratadas desde o início com adubos diferentes. Um botânico mediu todos os dias o crescimento, em centímetros, destas plantas. Após 10 dias de observação, ele notou que o gráfico que representa o crescimento da planta A é uma reta passando por (2, 3) e o que representa o crescimento da planta B pode ser descrito pela lei da matemática 2 24x x y =. Um esboço desses gráficos está apresentado na figura abaixo. 12 altura y (centímetros) 3 planta A planta B 2 x (dias) Determine: a) a equação da reta; b) o dia em que as plantas A e B atingiram a mesma altura e qual foi essa altura. 6. (FGV) Uma função quadrática f tem um gráfico cujo vértice é o ponto (3, _ 4). Sabe-se que 2 é uma raiz da função. a) Obtenha a expressão da função f. b) Para que valores de x tem-se f(x) > 0? 4

5 7. (UFMS) Considere a função quadrática f: IR IR definida por f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais com a 0. Se, no sistema cartesiano de eixos Ox e Oy, o gráfico de f é tangente ao eixo Ox, é correto afirmar que: 1) a equação ax² + bx + c = 0 não admite raiz real. 2) se f(1) = f(5), então f(3) = 0. 3) se o ponto (!!,! ) representa o vértice da parábola que é o gráfico da função f, então! = 0. 4) se f( 3) = 4, então f(x) 0 para todo x IR. 5) o conjunto imagem da função f é o conjunto dos números reais. 8. (Unicamp) Uma transportadora entrega, com caminhões, 60 toneladas de açúcar por dia. Devido a problemas operacionais, em certo dia cada caminhão foi carregado com 500 kg a menos que o usual, tendo sido necessário alugar mais 4 caminhões. a) Quantos caminhões foram necessários naquele dia? b) Quantos kg cada caminhão transportou naquele dia? 9. (Unesp) Em uma loja, todos os CDs de uma determinada seção estavam com o mesmo preço (y). Um jovem escolheu, nesta seção, uma quantidade (x) de CDs, totalizando R$ 60,00. a) Determine y em função de x. b) Ao pagar sua compra no caixa, o jovem ganhou, de bonificação, 2 CDs a mais, da mesma seção e, assim, cada CD ficou R$ 5,00 mais barato. Com quantos CDs o jovem saiu da loja e a que preço saiu realmente cada CD (incluindo os CDs que ganhou)? 10. (FGV) a) Desenhe, em um mesmo sistema de coordenadas, os gráficos das seguintes funções: f(x) = x 2 4x + 3 e g(x) = _ x + 3. b) Resolva a inequação: x 2 4x + 3 _ x

6 11. (FGV) A administração de uma autoestrada observou que, quando o preço do pedágio por carro é R$ 3,00, passam por dia carros. Além disso, a cada R$ 0,10 a mais no preço do pedágio, passam 20 carros a menos por dia. a) Chamando de y o número de carros que passam por dia e de x o preço do pedágio por carro, expresse y em função de x. b) Se a relação fosse y = _ 180x + 810, qual o preço que maximizaria a receita diária do pedágio? 12. (FGV) Para uma determinada viagem, foi fretado um avião com 200 lugares. Cada pessoa deve pagar R$ 300,00 mais uma taxa de R$ 6,00 por cada lugar que ficar vago. a) Qual a receita arrecadada se comparecerem 150 pessoas para a viagem? b) Qual a máxima receita que pode ser arrecadada nas condições do problema? 13. (Unesp) Um ônibus de 40 lugares transporta diariamente turistas de um determinado hotel para um passeio ecológico pela cidade. Se todos os lugares estão ocupados, o preço de cada passagem é R$ 20,00. Caso contrário, para cada lugar vago será acrescida a importância de R$ 1,00 ao preço de cada passagem. Assim, o faturamento da empresa de ônibus, em cada viagem, é dada pela função f(x) = (40 x)(20 + x), em que x indica o número de lugares vagos (0 x 40). Determine: a) quantos devem ser os lugares vagos nos ônibus, em cada viagem, para que a empresa obtenha faturamento máximo; b) qual o faturamento máximo obtido em cada viagem. 14. (FGV) Um hotel tem 30 quartos para casais. O gerente verificou que, cobrando R$ 120,00 por dia de permanência de cada casal, o hotel permanecia lotado e cada aumento de R$ 5,00 na diária fazia com que um quarto ficasse vazio. a) Chamando de x o preço da diária e y o número de quartos ocupados, qual seria a relação entre x e y? b) Qual o preço que deve ser cobrado por dia para maximizar a receita do hotel? 6

7 15. (Unicamp) Um restaurante por quilo vende 100 kg de comida por dia, a R$ 15,00 o quilograma. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de aumento no preço do quilo, o restaurante deixa de vender o equivalente a 5 kg de comida. Responda às perguntas abaixo, supondo corretas as informações da pesquisa e definindo a receita do restaurante como o valor total pago pelos clientes. a) Em que caso a receita do restaurante será maior: se o preço subir para R$ 18,00/kg ou para R$ 20,00/kg? b) Formule matematicamente a função f(x), que fornece a receita do restaurante como função de quantia x, em reais, a ser acrescida ao valor atualmente cobrado por kg de refeição. c) Qual deve ser o preço do kg da comida para que o restaurante tenha a maior receita possível? 16. (Fuvest) Considere a função f dada por f(x) = a) Determine o domínio de f. b) Resolva a inequação f(x) > x + 5 x + 1 x x + 1 x 17. (GV) Considere dois relógios analógicos: o primeiro atrasa 5 minutos por dia, enquanto o segundo adianta 10 minutos. Se o horário indicado em determinado instante for de 11 horas e 20 minutos no primeiro e 2 horas e 5 minutos no segundo, quantos dias deverão passar para que, pela primeira vez, ambos marquem a mesma hora? 18. (FUVEST) Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x² + mx + 2. Nessas condições: a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y = f(x). b) Determine os valores de m IR para os quais a imagem de f contém o conjunto {y IR : y 1}. c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y IR : y 1} e, além disso, f é crescente no conjunto {x IR : x 0}. d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada y 2, o único valor de x 0 tal que f(x) = y. 7

8 O que pegou em 2011/ (UFF 2012) Um modelo matemático simplificado para o formato de um vaso sanguíneo é o de um tubo cilíndrico circular reto. Nesse modelo, devido ao atrito com as paredes do vaso, a velocidade v do sangue em um ponto P no tubo depende da distância r do ponto P ao eixo do tubo. O médico francês Jean-Louis-Marie Poiseuille ( ) propôs a seguinte lei que descreve a velocidade v em função de r: 2 2 v = v(r) = k(r r ), Onde R é o raio do tubo cilíndrico e k é um parâmetro que depende da diferença de pressão nos extremos do tubo, do comprimento do tubo e da viscosidade do sangue. Considerando que k é constante e positivo, assinale a alternativa que contém uma representação possível para o gráfico da função v = v(r). 2. (UEL 2012) O óxido de potássio, KO 2, é um nutriente usado para melhorar a produção em lavouras de cana-de-açúcar. Em determinada região, foram testadas três dosagens diferentes do nutriente e, neste caso, a relação entre a produção de cana e a dosagem do nutriente se deu conforme mostra a tabela a seguir. Dose do Produção de nutriente cana-de-açúcar (kg/hectare) (toneladas/hectare) Considerando que a produção de cana-de-açúcar por hectare em função da dose de nutriente pode ser descrita por uma função do tipo 2 y(x) = ax + bx + c, determine a quantidade de nutriente por hectare que maximiza a produção de cana-de-açúcar por hectare. Apresente os cálculos realizados na resolução da questão. 8

9 3. (Fuvest 2011) No plano cartesiano 0xy, considere a parábola P de equação y = - 4x2 + 8x + 12 e a reta r de equação y = 3x +6. Determine: a) Os pontos A e B, de intersecção da parábola P com o eixo coordenado 0x, bem como o vértice V da parábola P. b) O ponto C, de abscissa positiva, que pertence à intersecção de P com a reta r. c) A área do quadrilátero de vértices A, B, C e V. 4. (Unicamp 2011) Uma grande preocupação atual é a poluição, particularmente aquela emitida pelo crescente número de veículos automotores circulando no planeta. Ao funcionar, o motor de um carro queima combustível, gerando CO 2, além de outros gases e resíduos poluentes. a) Considere um carro que, trafegando a uma determinada velocidade constante, emite 2,7 kg de CO 2 a cada litro de combustível que consome. Nesse caso, quantos quilogramas de CO 2 ele emitiu em uma viagem de 378 km, sabendo que fez 13,5 km por litro de gasolina nesse percurso? b) A quantidade de CO 2 produzida por quilômetro percorrido depende da velocidade do carro. Suponha que, para o carro em questão, a função c(v) que fornece a quantidade de CO 2, em g/km, com relação à velocidade v, para velocidades entre 20 e 40 km/h, seja dada por um polinômio do segundo grau. Determine esse polinômio com base nos dados da tabela abaixo. Velocidade (km/h) Emissão de CO 2 (g/km) (UFBA 2011) Sabendo que os gráficos das funções quadráticas f(x) = x² 4x + 3 e g(x) = x² bx + c se intersectam em um ponto do eixo x e em um ponto do eixo y, determine o valor de b 4 c. 9

10 6. (FGV 2011) Nos últimos anos, o salário mínimo tem crescido mais rapidamente que o valor da cesta básica, contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da população. O gráfico a seguir ilustra o crescimento do salário mínimo e do valor da cesta básica na região Nordeste, a partir de Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste, possam ser aproximados mediante funções polinomiais do 1º grau, f (x) = ax + b, em que x representa o número de anos transcorridos após a) Determine as funções que expressam os crescimentos anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste. b) Em que ano, aproximadamente, um salário mínimo poderá adquirir cerca de três cestas básicas, na região Nordeste? Dê a resposta aproximando o número de anos, após 2005, ao inteiro mais próximo. 10

11 7. (UFRJ 2011) Um ponto P desloca-se sobre uma reta numerada, e sua posição (em metros) em relação à origem é dada, em função do tempo t (em segundos), por P(t) = 2(1 t) + 8t. a) Determine a posição do ponto P no instante inicial (t = 0). b) Determine a medida do segmento de reta correspondente ao conjunto dos pontos obtidos pela variação de t no intervalo 3 0, (UERJ 2011) Em um determinado dia, duas velas foram acesas: a vela A às 15 horas e a vela B, 2 cm menor, às 16 horas. Às 17 horas desse mesmo dia, ambas tinham a mesma altura. Observe o gráfico que representa as alturas de cada uma das velas em função do tempo a partir do qual a vela A foi acesa. Calcule a altura de cada uma das velas antes de serem acesas. 11