- Cálculo 1 - Limites -

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1 - Cálculo - Limites -. Calcule, se eistirem, os seguintes ites: (a) ( 3 3); (b) 4 8; (c) + 5 (d) 3 (e) 3. Faça o esboço do gráfico de f() = entre 4 f() e f(4)? 3. Seja f a função definida por f() = ; 3 3 ; 3 7 (f) 3 3 ; (g) 0 se < 4 6 se = se > 4 { se se = (a) Encontre f() e verifique que f() f(). (b) Faça um esboço do gráfico de f. { 4. Seja f a função definida por f() = 9 se 3 4 se = 3 (a) Encontre f() e verifique que f() f(3) 3 3 (b) Faça um esboço do gráfico de f. f( + h) f() 5. Determine o valor de quando h 0 h a) f() = b) f() = c) f() = 3. (h) 3 ; (j) y 3 8t3 7 4t 9 ; (i) ; y 9 y + 7y + 3 ; h (k) ; h h h 3 (l) ; h 0 h 4 6 (m) ; ; (n). e observe no gráfico o valor de 4 f(). Há alguma diferença 6. Nos ítens a seguir, calcule os ites laterais pedidos e verifique se o ite (bilateral) eiste. Caso eista dê seu valor. (a) f() =, f(), 0 + (b) f() = (c) f(r) = (d) g() = 7. Dada f() = + se < se = 3 se > r + 3 se r < se r = 7 r se r > + se < 0 se = se > f(), f() Eiste f()? 0 ; f(), f(), f() + ; f(r), f(r), f(r) r + r r ; + f(), f(), f() 8. Dada f() = +. Verifique se eistem os ites abaio e, caso eistam, determine seus valores: a) f() b) f(). 0

2 - Gabarito -. Calcule, se eistirem, os seguintes ites: se < 4. f() = 6 se = se > 4 (a) ( 3 3) = ; (h) 3 8t t 9 = ; (b) 4 8 = ; (i) = 7 ; y (c) = ; (j) y 3 y + 7y + 3 = 5 ; 9 (d) = 6; h (k) = 0 + 5; h h 5 3 (e) 3 = 3 + 3h ; (l) = h 0 h ; (f) = 7; (m) 3 3 = 3; (g) = ; (n) 0 6 =. f() = 4 f(4) = 6 4 { se 3. f() = se = { 4. f() = 9 se 3 4 se = 3 f() = 3 f() =. f() = 0 f( 3) = 4. 3 (a) Figura e. (b) Figura e.3 (c) Figura e.4 5. a) b) c) (a) f() =, f() =, f() (b) f() = 3, f() =, f() + (c) (d) r f(r) = f(r) = 5, f(r) = 5 + r r f() = 5, f() = 6, f() + 7. f(), pois f() = e f() = a) f() = 0 b) f() =, f() =, f()

3 - Cálculo - Limites - Lista. Determine, caso eistam, os seguintes ites: a) 0 +(3 5 ) b) 4 c) e) f) g) 3 y i) j) ( 5 k) y ) m) (3 + ) n) ( ) o) q) r) s) u) ( 4 4 ( + ) v) w) ) y) 0 z) α) a + bt a γ) δ) ϵ) 7 6 t 0 t 7 ζ) η) θ) d) h) 3 3 l) + (3 + ) p) t) ( + ) 3 + ) 0 + β) ( + 4 ) ε) z 4 ϑ) z z Sejam f() = { + 3 se + se >. e g() = { se se >. (a) Eiste f()? (b) Encontre uma epressão para f().g() e mostre que eiste ( f().g() ) 3. Considere a função definida por: f() = a) Faça o gráfico da função f. b) Determine: 0 f() f() 0 + +, < 0, 0 <, f() 0 f() f() f() f( + h) f() 4. Calcule, quando: a) f() = sen b) f() = cos c) f() = h 0 h. sen 5. Sabendo-se que = e que cos = sen ( sen() 0 ), calcule: a) 0 5 cos b) Sabendo-se que as desigualdades 6 < sen() < valem para todos os valores de próimos de zero, calcule cos() sen() 0 cos(). 7. Mostre que se f() M e a g() = 0 então a ( f().g() ) = 0 sen 8. Use o item anterior para mostrar que = Encontre as assíntotas verticais e/ou horizontais das seguintes funções: (a) f() = 0. Observando o gráfico das funções eponenciais conclua que +3 9 ; (b) g() = ; (c) h() = + ; (d) ψ() = 4 + ; (e) ϕ() = + ; (f) φ() = a = { +, se a > 0, se 0 < a < e a = { 0, se a > +, se 0 < a <

4 . Calcule os seguintes ites: ( ) ( ) 3 (a) (b) (c) ( ) (d) ( ) (e) + ( 3 ). se. Seja f() = se < f é contínua em =? Em =? Em =? Em = 3? se > { + 3 se 4 3. Seja f() = se > 4 f é contínua em = 4? 4. Seja f() = { 3 se 3 se = f é contínua em =? 5. Encontre os pontos, caso eistam, nos quais f é descontínua e dê as razões para esta possível descontinuidade: (a) f() = 3 8; (b) f() = + 4 ; (c) f() = + (d) f() = Verifique se as funções a seguir são contínuas nos pontos indicados. Caso não sejam, determine as razões da descontinuidade. (a) f() = + 3 em = ; (b) f() = (c) f() = em = e em = ; { se 3 5 se = 3 em = Encontre um valor para a constante k, se possível, para que a função seja contínua para todo R. { 7 se (a) f() = k se > { k se (b) f() = + k se > 8. Encontre os valores das constantes k e m, se possível, que para que seja contínua para todo R a função + 5, se >, f() = m( + ) + k, se <, , se. 9. Dê eemplo de duas funções f e g descontínuas em um certo ponto = c tal que f + g seja contínua neste ponto. 0. É verdade que uma função contínua que nunca é zero em um intervalo nunca muda de sinal nesse intervalo? Justifique sua resposta.. Utilize o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação = 0 possui pelo menos uma solução no intervalo [, ].. Mostre que, se p() é um polinômio de grau ímpar, então e equação p() = 0 possui pelo menos uma solução real. 3. (Contração de Lorentz) De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto, por eemplo, de um foguete, parece a um observador depender da velocidade com que o objeto se desloca em relação a esse observador. Se ele medir o comprimento L 0 do foguete em repouso e em seguida com a velocidade v, o comprimento parecerá ser L = L 0 v c, sendo c a velocidade da luz no vácuo. O que acontece com L à medida que v aumenta? Calcule L. Por que é necessário tomar v c o ite lateral à esquerda?

5 - Cálculo - Limites - Gabarito Lista. a) 3 b) 0 c)- d) e) + f) g) h) 3 6 i) 0 j) 5 k) l) + m) n) o) 0 + p)+ q) 0 r) 0 + s)- t) + u) v) w) + ) + y) + z) α) β) γ) 7 δ) 3 b 3 ϵ) a +a ε) 4 ζ) 7 η) θ) 5 ϑ) 0. (a) Não, pois f() = 4 e f() =. + { (b) f()g() = se ( ) f().g() = 4 + se >. 3. a) b) 0 f() = f() = f() f() = 4 f() = + f(). 4. a) cos b) sen c) f() =. 5. a) /5 b) 0. sen() 6. 0 cos() =. 7. M g() f().g() M g() Mg() f().g() Mg() M g() f().g() M g() 0 f().g() 0 f().g() = sen e + = 0 sen = (a) Assíntotas verticais: = 3 e = 3, Assíntota horizontal: y = 0; (b) Assíntota vertical: =, Assíntota horizontal: y = 0; (c) Assíntota vertical: =, Assíntota horizontal: y = ; (d) Assíntota vertical: = 0; (e) Assíntota vertical: = ; (f) Assíntota vertical: = { +, se a > + a = 0, se 0 < a < e { 0, se a > a = +, se 0 < a <. (a) + (b) 0 (c) + (d) (e)

6 . f não é contínua em =, pois já que f() = f( ) = 0, 3. Sim, pois 4 f() = f(4) =. 4. Não, pois f(). f() = e f() = 0, logo f(). Em =, = e = 3 ela é contínua, + f() =, f() = f( 3) = (a) Contínua em R; (b) Descontínua em = ±, pois f() e f( ); (c) Descontínua em = 0 e = ±, pois f(0), f( ) e f(); (d) Contínua em R. 6. (a) Contínua em = ; (b) Contínua em = e descontínua em = pois f(); (c) Contínua em = (a) 5 (b) 4/3 8. k = 4 e m = 5/3. 9. f() = { 0 se < 0 se 0. e g() = { se 0 0 se > Sim, pois, pelo teorema do valor intermediário, se ela mudasse de sinal então o zero deveria ser também imagem da função.. f() = 3 + = 0 f() = e f( ) =, logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, eiste 0 [, ] tal que f( 0 ) = 0.. Se p() é um polinômio de grau ímpar, então vai sempre eistir um 0 R para o qual p( 0 ) e p( 0 ) têm sinais opostos. Logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, eiste c [ 0, 0 ] tal que p(c) = À medida que v aumenta L diminui. v c L = 0. O ite lateral à esquerda é necessário já que a função não está definida para v > c.