Equações Trigonométricas

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1 Equações Trigonométricas. (Insper 04) A figura mostra o gráfico da função f, dada pela lei 4 4 f(x) (sen x cos x) (sen x cos x) O valor de a, indicado no eixo das abscissas, é igual a a) 5. b) 4. c). d) e).. (Unesp 04) O conjunto solução (S) para a inequação 0 x, é dado por: a) S x (0, ) 0 x ou 5 x b) S x (0, ) x c) S x (0, ) 0 x ou x 5 d) S x (0, ) x S x (0, ) e) cos x cos(x), em que Página de 8

2 . (Uece 04) Usando a expressão clássica do desenvolvimento da potência (a + b) n onde a e b são números reais e n é um número natural, pode-se resolver facilmente a equação 4 sen x 4sen x sen x 4senx 0. Então, para os valores de x encontrados, teremos que cosx é igual a a). b). c). d) (Unicamp 04) Seja x real tal que cos x tg x. O valor de sen x é a). b). c) 5. d) (Uece 04) Se p e q são duas soluções da equação senp senq, então o valor da expressão a) 0. b) 0,5. c) 0,50. d). sen p cos q é igual a sen x sen x 0 tais que. (Unifesp 0) A sequência (,a,b), denominada S, e a sequência (c,d,e), denominada S, são progressões aritméticas formadas por números reais. a) Somando ao segundo termo e 5 ao terceiro termo de S, a nova sequência de três números reais passa a ser uma progressão geométrica crescente. Calcule a razão dessa PG. b) Aplicando a função trigonométrica seno aos três termos de S, a nova sequência que se forma tem soma dos três termos igual a zero, e termo do meio diferente de zero. Determine a razão r de S, para o caso em que r. 7. (Fuvest 0) Sejam α e β números reais com α e 0 β. Se o sistema de equações, dado em notação matricial, tg α 0, 8 cos β for satisfeito, então α β é igual a a) b) c) 0 d) e) Página de 8

3 8. (Uem 0) Com relação aos conceitos e às propriedades de funções e equações trigonométricas, assinale o que for correto. 0) A equação tg(x)=sen(x) não tem soluções. 0) Se f é definida por f x sen x cos x, então a equação f(x)=0 tem como conjunto solução x x k, k. 04) A função f(x)=cos(x) é crescente no intervalo 0,. 08) O gráfico da função f, definida por f x senx senxcosx, coincide com o gráfico da função g, definida por g(x)=sen (x). ) Para qualquer a, existe x, tal que tg(x)>a. 9. (Ufpr 0) Considere o hexágono indicado na figura abaixo. a) Qual é a área do hexágono, quando α 0? b) Sabendo que a expressão que fornece a área em função do ângulo é α A α sen sen α, e que o ângulo α que fornece a área máxima é uma solução α da equação trigonométrica cos cos α=0, resolva a equação e calcule a área máxima do hexágono. Página de 8

4 Gabarito: Resposta da questão : [A] Lembrando que sen αcos α e senα senα cos α, temos 4 4 f(x) (sen x cos x) (sen x cos x) [(sen x cos x) (sen x cos x) ][(sen x cos x) (sen x cos x) ] ( sen xcos x sen xcos x)( sen xcos x sen xcos x) 4 sen xcos x 4senx. Logo, como o período de f é, segue-se que a é o maior número real pertencente ao intervalo 0,, tal que f(a) 4 sena sena sen 5 a ou a. Portanto, 5 a. Resposta da questão : [A] cos x cos x cos x cos x sen x cos x cos x cos x 4cos x cos x ou cosx 0 Logo, o conjunto solução será: 5 S x (0, ) 0 x ou x Página 4 de 8

5 Resposta da questão : [D] 4 4 sen x 4sen x sen x 4senx 0 (senx ) 0 senx 0 senx Utilizando a relação Fundamental, temos: sen x + cos x = + cos x = cos x = 0 Portanto, cosx = 0. Resposta da questão 4: [C] Sabendo que sen x tgx, com x k e cos x cos x sen x, vem sen x cos x tgx cos x cos x cos x sen x sen x sen x sen x 4 5 sen x 5 sen x. Resposta da questão 5: [B] sen x sen x 0 Δ ( ) 4 Δ ( ) senx senx senx / sen p cos q sen p ( sen q) sen p sen q (/ ) / 4 0,5. Resposta da questão : a) Como (, a,b) é uma progressão aritmética, segue que b a b a. Além disso, sabendo que (, a, b 5) é uma progressão geométrica crescente, vem Página 5 de 8

6 (a ) (b 5) a a (a 7) a a 85 0 a 7. Portanto, a razão pedida é dada por a 7. b) Como (c, d, e) é uma progressão aritmética, segue que e d c e r d c. Daí, sabendo que senc send sene 0 e send 0, vem sen(d c) senc sen d 0 d c c d c c sen cos sen d 0 sen d cos(d c) sen d 0 sen d ( cosr ) 0 pois r. Resposta da questão 7: [B] Efetuando o produto matricial, vem cosr r, tg 0 tg cos 0 8 cos tg 8 cos tg cos 0 tg 4cos Desse modo, cos cos rad. tg cos 0 tg rad e, portanto, rad. Página de 8

7 Resposta da questão 8: =. [0] Incorreto. x 0 é solução. [0] Correto. Lembrando que uma função está bem definida apenas quando se conhece o domínio, o contradomínio e a lei de associação, iremos supor que o domínio de f seja o conjunto dos números reais. Logo, sen(x) cos(x) 0 sen(x) 0 sen(x) sen0 x k x k x k, k. Portanto, o conjunto solução da equação f(x) 0 é x x k, k. [04] Incorreto. Temos 0 e f(0) f. [08] Correto. De acordo com o comentário do item (0), iremos supor que o domínio e o contradomínio de f e g sejam iguais. Desse modo, temos f(x) sen(x) sen(x)cos(x) sen(x) sen(x)cos(x)cosx sen(x) sen(x)cos (x) sen(x) sen(x)( sen (x)) sen (x) g(x). Por conseguinte, como os valores de f e g são iguais para todo x pertencente ao domínio de ambas, segue-se que f e g são iguais e, portanto, seus gráficos coincidem. k [] Correto. Sabendo que a função f :D, com D x x, k, definida por f(x) tgx, é uma função ilimitada superiormente, segue-se que para todo a existe um real x, tal que tg(x) a. Página 7 de 8

8 Resposta da questão 9: a) Admitindo que a região central seja interna de um quadrado, teremos a área A da figura dada por: A. 4 b) α cos cos 0 α α α α cos cos sen 0 α α α cos cos cos 0 α α cos cos 0 α α α cos cos 80 0 (não convém) α ou α α cos 0 0 α Admitindo que a região interna é um retângulo de lados e e que α 0, temos o seguinte cálculo para a área A da figura. A sen0. Página 8 de 8