Aplicações das derivadas ao estudo do gráfico de funções

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1 Aplicações das derivadas ao estudo do gráfico de funções MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS: Seja f uma f. r. v. r. definida num intervalo e D f. 1) f tem um mínimo local f ( ), em, se e só se f ( ) f ( ) para qualquer I; 2) f tem um máimo local f ( ), em, se e só se f ( ) f ( ) para qualquer I onde I D f é um intervalo que contém. Se f tem um máimo ou um mínimo local em D f, então diz-se que f tem um etremo local em. O número D f onde f atinge o máimo (mínimo) local diz-se maimizante (minimizante) local. y f ( 3 ) y f ( 2 ) f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 1 ) 1 2 O O Figura 1 Figura 2 Na figura 1, f tem um mínimo local f ( 2 ) em 2 e dois máimos locais f ( 1 ) e f ( 3 ) com maimizantes locais 1 e 3. Na figura 2, f tem um mínimo local f ( 1 ) com minimizante 1 e um máimo local f ( 2 ) com maimizante 2. 42

2 A figura 2 mostra que uma função pode ter máimos (mínimos) locais e não ter máimo (mínimo) absoluto. Contudo se o máimo (mínimo) absoluto de uma função eiste, então é o máimo (mínimo) local de maior (menor) valor. Portanto se f tem máimo (mínimo), então um processo para o determinar consiste em obter todos os máimos (mínimos) locais e escolher aquele de maior (menor) valor. NOTA : Aos máimos e mínimos de uma dada função f é usual chamar-se valores etremos ou etremos de f. O estudo dos etremos locais de uma função pode ser feito a partir da monotonia da função. O próimo teorema é importante para esse estudo. Teorema: Seja f uma função contínua no intervalo [ b] intervalo ] a,b [. 1. Se f ( ) > ] a,, então f é crescente em ] 2. Se ( ) < a, e derivável num a, ; f ] a,, então f é decrescente em ] f ] a,, então f é constante em ] 3. Se ( ) = a, ; a,. NOTA : Se f é uma função contínua e derivável no interior de um determinado intervalo, então a função só pode passar de decrescente a crescente ou vice-versa se, num certo ponto desse intervalo, o declive da recta tangente é zero. Nesses pontos a função tem um valor mínimo ou máimo, respectivamente. Um ponto de abcissa, D f, diz-se ponto crítico (ponto estacionário) de f se f ( ) = ou f ) não eiste. ( 43

3 NOTA : Uma função f não tem necessariamente um valor máimo (mínimo) f ( ) num ponto crítico. Os pontos críticos são possíveis maimizantes(minimizantes) locais, ou seja, aos pontos críticos correspondem possíveis etremos locais de f. f () f ( 3 ) = f ( ) > f ( ) > f ( 1 ) = f ( ) < f ( ) > f ( 2 ) = Vamos agora apresentar condições suficientes pelas quais é possível concluir que um ponto é maimizante ou minimizante local a partir da derivada da função nesse ponto. Iremos distinguir os casos dos pontos interiores e pontos fronteiros. Teorema (pontos interiores): Se f é uma função contínua no intervalo I e derivável lateralmente num ponto interior I, então Se f ( ) < e f ( ) > então f tem um mínimo local em ; Se f ( ) > e f ( ) < então f tem um máimo local em Teorema (pontos fronteiros): Se f é uma função contínua no intervalo [ a, b] e derivável lateralmente em a e b, então f (a ) < f tem um máimo local em a; (a ) > f f tem um mínimo local em a; (b ) > f f tem um máimo local em b; (b ) < f f tem um mínimo local em b.. 44

4 Eemplo: Determine, se eistirem, os máimos e os mínimos das funções: a) f ( ) = ; b) f ( ) = 2 ; 1 c) f ( ) = ; d) f ( ) = sen ( ). Teorema: Seja f uma função contínua no intervalo [ b] de segunda ordem no intervalo ] a,. f ] a, 1. Se ( ) > para cima em ] 2. Se ( ) < a, ; f ] a, para baio em ] a,. 4 2 a, que admite derivada, então f tem a concavidade voltada, então f tem a concavidade voltada Um ponto (, f ( )), D f, diz-se ponto de infleão se o gráfico de f muda o sentido da concavidade nesse ponto. Um ponto de abcissa, D f, diz-se ponto crítico de segunda espécie (ponto estacionário de segunda espécie) de f () se f ( ) = ou f ) não eiste. ( NOTA: Os pontos críticos de segunda espécie são pontos onde a função poderá ou não mudar o sentido da concavidade. 45

5 Eemplo: Dada a função f ( ) = 1 3 determine: a) intervalos de monotonia ; b) pontos de intersecção com os eios ; c) pontos de infleão. Faça um esboço gráfico da função. 1 Uma recta chama-se assímptota de uma curva se a distância de um ponto qualquer da curva a essa recta se aproima cada vez mais de zero à medida que o ponto percorre a curva. Assímptotas Verticais Diz-se que a recta de equação =a é uma assímptota vertical da curva de f se lim a f ( ) = ± ou lim f ( ) = ± a ou lim f ( ) = ± a Assímptotas Oblíquas Diz-se que a recta de equação y=mb é uma assímptota oblíqua da curva de f se eistem e são finitos os limites: f ( ) m lim ± = e b = lim [ f ( ) m] ± NOTA: Se m= tem-se y=b que é a equação de uma assímptota horizontal. 46

6 Esquema geral para o esboço de um gráfico de uma função 1. Domínio; 2. Periodicidade e simetrias da função; 3. Pontos de descontinuidade da função; 4. Pontos de intersecção com os eios; 5. Intervalos de monotonia e etremos da função; 6. Intervalos de concavidade e conveidade e pontos de infleão da função; 7. Assímptotas. Eemplo Esboce o gráfico das seguintes funções: 2 a) f ( ) = ; b) f ( ) = (2 1) ; 3 c) 2 1 f ( ) = ; d) 1 log( ) f ( ) =. 47