MATEMÁTICA PROFESSOR AMBRÓSIO ELIAS CÔNICAS

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1 QUESTÕES: CÔNICAS 01. Determine o centro, o comprimento do eixo maior, o comprimento do eixo menor, a distância focal, as coordenadas dos focos, a excentricidade e o gráfico das elipses: (x 6)² y² (y 4)² a) 1 b) 1 c) (x )² y² x² d) 1 e) 1 f) (x )² (y 3)² (x 3)² (y )² g) 1 h) 4x² + 9y² 16x + 18y 11 = 0 i) J) x² + 3y² = 6 k) 9x² + 5y² + 54x 30y + 81 = 0 l) 4x² + y² + 3x 6y + 69 = 0 m) 4x² + y² 8x = 0 n) 9x² + 4y² 18x 16y 11 = 0 0. (CESESP-PE) Dada a elipse de equação 5x² + 9y² 90y = 0, assinale a alternativa que nos indica corretamente as coordenadas do centro, dos focos, as medidas do eixo maior e menor e a distância focal, respectivamente. a) C(0, 0), F 1 (0, 4), F (0, 4), 10, 6, 8 d) C(5, 0), F 1 (1, 0), F (9, 0), 6, 8, 10 b) C(0, 5), F 1 (0, 1), F (0, 5), 4, 8, 6 e) C(0, 5), F 1 (0, 1), F (0, 9), 10, 6, 8 c) C(0, 3), F 1 (1, 0), F (5, 0), 10, 6, (UFPR) Um dos focos da elipse 1 é o ponto: 16 5 a) (3, 0) b) (0, 3) c) (0, 4) d) (0, 5) e) (0, 6) 04. (UDESC-SC) A área do triângulo cujos vértices são os focos da elipse 1 e o centro da 13 4 circunferência x² + (y + 3)² = 1 é: a) 9/ b) 3 c) 9 d) 7/ e) Trace o gráfico da equação Os eixos de uma elipse medem 35 cm e 8 cm. Obtenha sua distância focal O eixo maior de uma elipse mede 15 cm e seu eixo menor, 8 cm. Obtenha sua distância focal e sua excentricidade. 08. A excentricidade de uma elipse vale 0,8 e um de seus pontos dista dos focos 18 cm e 1 cm. Calcule o comprimento de seus semi-eixos. 15 e Os pontos A(3, 0) e B(x, y) estão sobre uma elipse cujos focos são F 1 (, 0) e F (, 0). Calcule o perímetro do triângulo BF 1 F. 10. (PUC-SP) Um ponto P da elipse 1 dista de um dos focos. Qual é a distância de P ao outro 9 4 foco da elipse? (UEMA) Os focos de uma elipse estão sobre a reta y = x. As abscissas desses focos são e, e o gráfico da elipse corta a reta y = x no ponto P cuja ordenada é 5/. O eixo maior dessa elipse mede: a) 3 + b) 7 c) 5 d) + 7 e) 4 + 1

2 1. Obtenha e equação da elipse de: a) focos F 1 ( 3, 0) e F ( 3, 0) e o eixo menor de comprimento igual a 6. x²/1 + y²/9 = 1 3 b) focos F 1 ( 6, 0) e F (6, 0), e excentricidade e = x²/48 + y²/1 = 1 c) focos F 1 (4, 9) e F (4, 3) e eixo maior com extremos nos pontos (4, 1) e (4, 11) (x 4)² (y 6)² Resp Determine a equação da elipse de focos F 1 (3, 0) e F ( 3, 0), sabendo que o comprimento do eixo maior é 8. Resp (FGV-SP) Uma elipse tem centro na origem, eixo maior medindo 1, contido no eixo das abscissas e distância do centro a um dos focos igual a 4. a) Obtenha as coordenadas dos focos e a medida do eixo menor. Resp. ( 4, 0), (4, 0) e 4 5 b) Achar a equação da elipse. Resp As metades do eixo maior e a distância focal de uma elipse medem, respectivamente, 5 cm e 4 cm, e o centro dela é o ponto (, 1). Se o eixo menor é paralelo ao eixo coordenado Ox, escreva a equação reduzida dessa elipse. 16. Determine a equação da elipse cujos focos são os pontos F 1 (, 0) e F (, 0), sendo 6 cm a medida de seu eixo menor. 17. Qual é a equação da elipse que tem focos F 1 (0, 0) e F (0, ) e eixo maior 6? 18. O ponto C( 3, ) é o centro de uma elipse tangente aos eixos coordenados. Se os eixos de simetria são paralelos aos eixos coordenados, escreva a equação da elipse. 19. O ponto P(4, 3) pertence à elipse, cujos focos e centro são F 1 (0, 5), F (0, 5) e C(0, 0). Determine a x² y equação dessa elipse. Resp Qual a equação da elipse de focos F 1 ( 3, 0) e F (3, 0) que passa pelo ponto 4,? x²/5 + y²/16 = Determine a equação da elipse cujos focos são F 1 ( 1, 0) e F (1, 0) e que contém o ponto P 1,. 5. Determine a equação da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto P(1, 6 ) e tem um foco F 1 (0, ). 3. Determine a equação da elipse cujo centro é C(, 1), a qual passa pelos pontos A( 1, 1) e B(, 3), possuindo os seus eixos paralelos aos eixos cartesianos. 4. (UNICAMP-SP) A órbita de um satélite é uma elipse que tem a Terra em um de seus focos. Esse satélite atinge velocidade máxima e mínima nos pontos de maior e menor proximidade da Terra, respectivamente, quando então essas velocidades são inversamente proporcionais às distâncias do

3 satélite à Terra (com mesma constante de proporcionalidade). Calcule a excentricidade da órbita do satélite, sabendo também que a velocidade máxima é o dobro da velocidade mínima. (A excentricidade, como se sabe, é o quociente da distância a entre os focos pelo comprimento do eixo maior). Resp. 1/3 5. Em um terreno plano, com a forma aproximada de uma elipse, o governo federal vai construir duas estações transmissoras para controle do tráfego aéreo. O terreno pode ser descrito aproximadamente pela equação 4x² + y² = 100 (x e y em quilômetros). As estações transmissoras serão localizadas nos focos das elipses. Qual será a distância entre elas? Escolha a aproximação que lhe parece mais conveniente. a) 16 km b) 17 km c) 18 km 6. (UEL-PR) Em uma praça dispõe-se de uma região retangular de 0 m de comprimento por 15 m de largura para construir um jardim. A exemplo de outros canteiros, este deverá ter a forma elíptica e estar inscrito nessa região retangular. Para aguá-lo, serão colocados dois aspersores nos pontos que correspondem aos focos da elipse. Qual será a distância entre os aspersores? a) 4 m b) 6 m c) 8 m d) 10 m e) 1 m 7. Determine o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a excentricidade e os focos das hipérboles: (x 3)² (y 4)² x² a) 1 b) 1 c) ( y 5)² y² x² (x 1)² (y )² d) 1 e) 1. f) (y 7)² (x 9)² (x )² y² g) 1 h) 1 i) 9x² 16y² + 160y 544 = j) y² x² + 4y 8x 13 = 0 k) x² y² = 1 l ) 4x² 5y² = 100. Resp. Letra (l) F1 ( 9, 0), F ( 9, 0), A1(5, 0), A ( 5, 0), e 8. (AFA-SP) A equação (x + y)(x y) = 1 representa: a) um hipérbole com excentricidade e = 30 c) um elipse com centro na origem b) duas retas perpendiculares entre si d) uma hipérbole cuja distância focal é igual a 9. Numa hipérbole, a excentricidade é e = 5 e os vértices são A 1 (, 0) e A (, 0). Determine as coordenadas dos focos da hipérbole. Resp. F 1 ( 5, 0) e F ( 5, 0). 30. Encontre a excentricidade de uma hipérbole em que o eixo principal mede a = 10 e o eixo secundário, b = Determine a distância focal de uma hipérbole em que sua excentricidade vale 8/3 e o semi-eixo imaginário, 8 dm. 3. Os eixos de uma hipérbole medem 10 mm. Encontre sua distância focal e sua excentricidade. 10 e 33. A excentricidade de uma hipérbole vale,6 e seu semi-eixo real, 10. Determine a distância focal e o valor do semi-eixo imaginário. 34. Um ponto P de uma hipérbole dista 8 cm e 4 cm, respectivamente, de seus focos. A distância focal dessa hipérbole vale 10 cm. Determine seus semi-eixos. 5 e 4 9 5

4 35. (UFBA) Considere uma elipse e uma hipérbole no plano cartesiano, ambas com centro na origem e eixos de simetria coincidindo com os eixos coordenados. Sabendo que os pontos (3, 0) e 15, 1 pertencem à elipse e que os pontos, 0 e (, 1) pertencem à hipérbole, determine os pontos de intersecção dessas cônicas. ( 6, ),( 6, ),( 6, ) e ( 6, ) 36. (USF-SP) Se a diagonal de um quadrado coincide com o eixo transverso da hipérbole de equação x² y 1, a área desse quadrado, em unidades de área, é igual a: 36 5 a) 36 b) 48 c) 50 d) 7 e) (PUC-SP) A equação de uma das assíntotas à hipérbole x y = 16 é: a) y = x 1 b) y = 4x c) y = x d) y = x + 1 e) y = x 38. Determine as equações das assíntotas da hipérbole de equação 9x² = (y + 6)(y 6). 3x + y = 0 e 3x y = Obtenha a equação da hipérbole de focos: a) F 1 ( 4, 0) e F (4, 0) e que passa pelo ponto P( 3, 0) b) F 1 ( 8, 0) e F (8, 0) e excentricidade igual a Dê a equação da hipérbole de centro (6, 1) e eixo real paralelo ao eixo das abscissas, sabendo que o eixo real mede 9 e o imaginário mede 5. 4(x 1)²/81 4(y + 1)²/5 = Dê a equação da hipérbole de centro (10, ) e eixo real paralelo ao eixo das ordenadas, sabendo que o eixo real mede 10 e o eixo imaginário mede Determine a equação da hipérbole cujos focos são F 1 (5, 0) e F ( 5, 0) e o eixo real mede Determine o vértice, o parâmetro, o foco, a equação da diretriz e esboce o gráfico das parábolas a) (x 1)² = 16(y + 1) b) (y 3)² = 4x c) (x 1)² = 8y d) (x 3)² = (y 3) e) y² = 18x f) y² = 0x g) y² = 0x h) x² + 4x + 8y + 1 = 0 i) (y )² = 16(x 3) j) y² = 4x k) x² = 4y l) x² 7y = 0 m) y² 16x = 0. n) x = y² o) x = y² + y p) (y + 3)² = 1(x ) q) y² 7x 6y + 9 = 0. r) 3x = y² + y 5 s) x² = 3y t) x = y² u) y² = 1x v) y² + 10y + 16x 73 = x) y = x² x z) x² + y = Resp. letra(z) F 0, e (d) : y (PUC-SP) As coordenadas do vértice da parábola x² + 4x + 3y 4 = 0 são: a) (1, ) b) ( 1, 0) c) ( 1, ) d) (0, 1) e) (1, 1) 45. (UFAL) Determine a equação da reta r, paralela ao eixo x, que passa pelo vértice da parábola de equação x² 10x 4y + 9 = Determine a distância entre os focos das parábolas y = x² e x = y² 47. (VUNESP) A distância do vértice da parábola y = (x )(x 6) á reta y = 3 4 x + 5 é:

5 7 a) 5 9 b) 5 43 c) 43 d) 5 e) Deduza a equação das parábolas que apresentam foco e diretriz seguintes: a) F( 3, ); y + 4 = 0 Resp. (x + 3)² = 4(y + 3) c) F(0, 5); x = 0 Resp. (y 5)² = 4(x 1) b) F(0, 3); y 3 = 0 Resp. x² = 1y d) F( 1, 0); x 1 = 0 Resp. y² = 4x 49. Obtenha a equação da parábola de: a) foco F(0, 5) e vértice V(0, 1) f) F(, ) e diretriz x = b) foco F(0, 1) e diretriz y = 4 g) V(, 1) e F(4, 1) c) foco F(3, ) e vértice V(, ) h) F(5, ) e diretriz x 4 = 0 d) F(3, 0) e diretriz x = 5 e) vértice V(3, 4), que passa por P(1, ) e tem eixo de simetria paralelo ao eixo x. 50. Determine a equação da parábola de foco F e diretriz d, sendo F(1, 0) e (d): x = 1. Resp. y² 4x = Obtenha a equação da parábola cuja diretriz é d: x = e cujo foco é F(6, 0). 5. Uma parábola tem o foco no ponto F(0, 6) e a diretriz é a reta de equação y 6 = 0. Determine a equação da parábola. Resp. x² + 4y = Obtenha a equação da parábola de vértice V(, 1), com eixo de simetria paralelo ao eixo dos y, passando pelo ponto P(, 3). Resp. (x )² = 8(y + 1) 54. Uma parábola tem vértice na origem, eixo de simetria coincidente com o eixo dos x e passa pelo ponto P(4, 7). Qual é a sua equação? 55. Dê a equação da parábola simétrica relativamente ao eixo dos y e que passa pelos pontos de intersecção da reta x + y = 0 com a circunferência x² + y² + 8y = (UFBA) Determine os valores de p para os quais a parábola e a reta, representadas pelas equações y = x² x + 3 e y = px 1, interceptam-se em dois pontos distintos.