Função de 1º Grau. Como construir um Gráfico. Função constante. Matemática Básica I. RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE:

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1 Matemática Básica Como construir um Gráfico Unidade 5. Gráficos de Funções Reais RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE: x y = f(x) x y x x 3 y x 4 y 3 y 4 x 5 y 5 Tabela y y 5 y 4 y 3 y y x x x 4 x 5 x 3 Plotagem y = f(x) x Função constante O gráfico é sempre uma reta horizontal que passa por (0, b). Função de º Grau Uma função de º grau, ou RETA, é toda função real do tipo: Y ( x, y) R y = ax + b (0,b) b Onde: X Denomina-se função constante toda função cuja lei é do tipo f(x) = b, em que b IR. a = taxa de variação da função(coeficiente angular); b = ponto onde a reta toca o Eixo Y(coeficiente linear);

2 Retas Coeficiente angular da reta R: Retas a = variação vertical variação horizontal y y y a = = x x x Y y y P ( x, y ) P ( x, y ) x = x x R y = y y Equação da Reta: Forma Ponto Coeficiente angular A equação abaixo é a equação na forma ponto coeficiente angular que passa pelo ponto (x, y ) e tem coeficiente angular a. Obs.: Retas horizontais: a = 0 Retas verticais: Não tem a x x X y y = a ou ( x x ) y = a( x x ) + y Retas Retas Exemplo Escreva uma equação para a reta que passa pelo ponto P(, 3) com coeficiente angular -3/. x = y y = a( x x ) y = 3 3 a = -3/ y 3 = ( x ) 3 y 3 = x y = x + 6 Exemplo Escreva uma equação para a reta que passa pelos pontos P (-, -) e P (3, 4). x = - y = - x = 3 y = 4 a =? Cálculo do coeficient e angular y y a = x x 4 ( ) a = = = = 3 ( ) Cálculo da equação da reta y y = a( x x ) y ( ) = ( x ( ) ) y + = x + y = x +

3 Propriedades da Reta Propriedades da Reta É definida por um polinômio de grau; Possui uma única raiz real, isto é, ela cruza o Eixo X em apenas um ponto; O sinal da taxa de variação a fornece a informação sobre o crescimento ou decrescimento da função: a < 0 função decrescente; a > 0 função crescente; Se a < 0, a função decresce. Se a > 0, a função cresce. Só tocam o eixo X uma vez. Raízes da Função de º Grau Função do.º grau As funções de º Grau possuem apenas uma raiz, que é justamente onde a reta (que representa a função de º Grau) cruza o Eixo x. Isto é, onde a função tem valor zero. y = 0 ax + b = 0 ax = b x = b a Denomina-se função polinomial do º grau toda função cuja lei é do tipo f(x) = mx + b, em que m, b IR e m 0. 3

4 Coeficiente angular da reta Equação da reta de inclinação m que passa por (x, y ) m = tgα Δ y y - y m = = Δ x x - x y y = m(x x ) Estudo do sinal da função do.º grau Exercícios ) Dada a função y = x + 3 determine: a) O gráfico b) A interseção com o eixo x e com o eixo y. ) O custo de um determinado produto é de R$0,00 fixo mais R$,00 por unidade. Determine: a) A equação que expressa o custo em função da quantidade. b) O gráfico. 3) Dado o gráfico determine a sua respectiva função. a) b) 4

5 Função de º Grau Propriedades da Parábola É definida por um polinômio de o grau; Uma função de º grau, também chamada de função QUADRÁTICA, representada por uma PARÁBOLA, é toda função real do tipo: Pode possuir: Duas raízes reais e distintas; Duas raízes reais e iguais; y = ax + bx + c Nenhuma raiz real (não cruza o Eixo X). O sinal de a fornece a informação sobre a concavidade da função: Desde que a 0; a < 0 concavidade para baixo; a > 0 concavidade para cima; Propriedades da Parábola Raizes da Função de º Grau Para encontrar as raízes de funções de o Grau, resolvemos a equação: ax + bx + c = 0 Cuja solução pode ser dada pela fórmula de Bhaskara: Se a < 0, a concavidade é para baixo. Se a > 0, a concavidade é para cima. Podem ter três tipos de raízes. b ± x =, com = b 4ac a 5

6 Vértice da Parábola y = ax² + bx + c Se a > 0, Se a < 0, Exercícios ) Determine as raízes, o vértice e o gráfico das seguintes funções : a) y = x ² - 6x + 8 b) y = x ² + 4x 4 c) y = x ² + 4x + 5 b v =, a 4a ) A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada por h = t² + 6 t, determine a altura máxima atingida pela bola. Função do.º grau (quadrática) Coordenadas do vértice Função polinomial do.º grau (ou função quadrática) é toda função cuja lei é da forma f(x) = ax + bx + c, em que a, b, c IR e a 0. b V =, a 4a 6

7 Crescimento e decrescimento da função quadrática Estudo do sinal da função do.º grau > 0 = 0 < 0 a > 0 a < 0 Imagem da função quadrática Função definida por partes 0, se t < 0 H(t) =, se t 0 Im = y IR / y Im = y IR / y 4a 4a Denominamos função definida por partes toda função definida com a aplicação de fórmulas diferentes a diferentes partes do domínio. 7

8 Função por Partes y = x p/ x < e y = x p/ x > Exercício Determine o gráfico da função: x +, y = x, se se x < 3 x 3 Função definida por partes, se x< 0 y = f(x) = x, se 0 x x, se x > Definição de módulo de um número real x, se x 0 x = x, se x < 0 f(x) = x 4 8

9 Função exponencial Função exponencial O gráfico da função f(x) = a x passa pelo ponto (0,). A função é crescente se a >. A função é decrescente se 0 < a <. O domínio é IR; O conjunto-imagem é IR* + (reais positivos). Denominamos função exponencial toda função f: IR IR do tipo f(x) = a x, definida para todo número real x, com a > 0 e a. Definição de logaritmo Propriedades operacionais dos logaritmos Log b = x a = b a x I) log (b.c) = log b+log c a a a Nomenclatura b logaritmando a base do logaritmo b II) log a = logab logac c x logaritmo m a III) log b =m.log b a Condições de existência b > 0 a > 0 e a 9

10 Mudança de base Função logarítmica log b c logab = log c a (b>0, 0<a e0<c ) Seja a função exponencial f: IR IR* + definida por y = a x, com a > 0 e a. A sua inversa é chamada de função logarítmica e é indicada por y = log a x. Função logarítmica A função f(x) = log a x passa pelo ponto (,0). A função é crescente se a >. * + A função é decrescente se 0 < a <. O domínio é IR* + (Reais positivos). O conjunto imagem é IR. RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE: 0