ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA

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1 ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA FUNÇÃO EXPONENCIAL PROF. CARLINHOS 1

2 Antes de iniciarmos o estudo da função eponencial faremos uma revisão sobre potenciação. 1. Potência com epoente natural Dado um número real a e um número natural n diferente de zero, chama-se potência de base a e epoente n o número a n que é igual ao produto de n fatores iguais a a. a n a. a. a... a, onde: a base n epoente Eemplos: (-) (-). (-). (-) -6 Observação: Para n 1, temos: a 1 a Eemplo: Propriedades Dados a e b reais e m e n naturais, as seguintes propriedades são válidas: a) a m. a n a m +n b) para a diferente de zero e m > n) c) (ab) m a m b m d) (para b diferente de zero) e) ( ) n a mn Observação: para epoentes iguais a zero, convencionou-se que a a 0 1, com a diferente de zero. 2. Potência com epoente inteiro negativo com a diferente de zero. Eemplos: a) b) 2

3 . Potência com epoente racional fracionário com a real positivo e n 2,,,... Eemplos: a) b) Equações eponenciais Uma equação é chamada eponencial quando a incógnita aparece no epoente. Para resolver uma equação eponencial, você deve reduzir ambos os membros da igualdade a uma mesma base. Então, basta igualar os epoentes para recair numa equação comum. Há equações eponenciais em que não é possível reduzir de imediato os dois membros à mesma base, então, para resolvê-las, devemos recorrer as propriedades da potenciação para reduzir ambos os membros da igualdade a uma mesma base. Veremos a seguir os três tipos de equações eponenciais, cuja resolução é feita através das propriedades da potenciação. 1º tipo: São as equações eponenciais onde se igualam potencias de mesma base. Eemplo: Resolva as equações a) Solução: S { } b) 9 1 Solução: S { 0 } c) Solução : ; então S { } d) 27 Solução : 27 ; logo S

4 2º tipo : São as equações eponenciais que recaem em equações do 2º grau. Eemplo: Resolva a equação Solução: A epressão dada pode ser escrita na forma: ( ) Fazendo y, temos: y 2 y + 0 resolvendo esta equação temos: y 1 ou y Como y, então: ou 1 1 S {0,1}. º tipo : São as equações eponenciais onde figuram soma ou subtração no epoente. Eemplo: Resolva a equação Solução: A epressão dada pode ser escrita na forma: Fazendo 2 y, temos: Como 2 y, então: S { 2 } EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APREDIZAGEM 1) Resolva a equações: a) Resp: S {/2} b) 9 2 Resp: S { 5/2} 1 1 c) 2 2 Resp: S{5} d) Resp: S{/2} 1 0,25 e) Resp: S {1/} f) 2 Resp: S{5/6}

5 1 g) Resp: S{-/} h) Resp: S{7} i) Resp: S{5} j) Resp: S{2} k) Resp: S{0;} l) Resp: S{1} FUNÇÃO EXPONENCIAL Chamamos de funções eponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em epoente. Dado um número real a (a > 0 e a 1) denomina-se função eponencial de base a, toda função f:irir + definida por f() a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR + (reais positivos, maiores que zero). Eemplos: a) f() b) y Gráfico da função eponencial O gráfico da função eponencial é uma curva, na qual devemos considerar dois casos: função crescente função descrescente Acompanhe os eemplos seguintes: 1) Construa o gráfico da função: a) y 2 (nesse caso, a2, logo a>1) Atribuindo alguns valores a e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaio: y 1/ 1/

6 b) y (1/2) (nesse caso, a1/2, logo 0<a<1) Atribuindo alguns valores a e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaio: y 2 1 1/2 1/ Nos dois eemplos, podemos observar que a) o gráfico nunca intercepta o eio horizontal; a função não tem raízes; b) o gráfico corta o eio vertical no ponto (0,1); c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é ImIR +. 2) Uma pessoa deposita R$ 500,00 na caderneta de poupança e, mensalmente, são creditados juros de 2% sobre o saldo. Sabendo que montante capital + rendimento, determine: a) O montante dessa aplicação após meses. 6

7 Resolução: A aplicação na caderneta de poupança está relacionada ao montante do juros compostos, ou seja, M(t) C.(1 + i) t, onde: C( capital) i(taa de juros em decimal) t(período da aplicação) No caso, então: M() 500.(1 + 0,02) M() 500.(1,02) b) O montante, após 1 ano Resolução: 1 ano 12 meses M(12) ,02 12 M(12) 6,12 reais c) O rendimento no primeiro ano Sabemos que, montante capital + rendimento, logo, rendimento montante capital, então: rendimento 6,12 500,00 1,12 reais EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APREDIZAGEM 1) Construa o gráfico, determine o conjunto imagem e classifique em crescente ou decrescente as funções: 1 a) f() b) f() c) y d) f() 2 Resp: Crescente Resp: Decrescente Resp: Crescente Resp: Decrescente Im R * + ImR * + Im[1; [ ImR * + y y y y ½ ) Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um capital C, a juros compostos, a taa i durante um tempo t. O montante pode ser calculado pela fórmula M C(1 + i) t. Supondo que o capital aplicado é de R$ ,00 a uma taa de 12% ao ano durante anos, qual o montante no final da aplicação? Use: 12% 0,12 Resp: R$ , ) Resolva o sitema y y 11 5 resp: e y 1 7

8 ) (Ueg) A bula de certo medicamento informa que, a cada seis horas após sua ingestão, metade dele é absorvida pelo organismo. Se uma pessoa tomar 200 mg desse medicamento, quanto ainda restará a ser absorvido pelo organismo imediatamente após 18 horas de sua 1 t 6 ingestão? E após t horas? Resp: 25 mg e f(t) Inequações eponenciais É toda desigualdade onde a variável figura no epoente. Na resolução da inequação eponencial, devemos considerar 2 casos 1.º caso Se a > 1, o sentido da desigualdade é conservada. 2.º caso Se 0 < a < 1, o sentido da desigualdade se inverte. Eemplos 01. Resolva a inequação < 9. 8

9 Solução: A inequação proposta pode ser escrita na forma: < 2 Observe que as bases são iguais e maiores que 1, então devemos manter o sinal da desigualdade, isto é: < 2 O conjunto solução da inequação é: S { < 2} 02. Resolva a inequação. A inequação dada pode ser escrita assim:. Observe que a base da inequação é a mesma e menor que 1. Sendo assim, invertemos o sinal da desigualdade para os epoentes: > 20 > 5. Então, S { > 5} EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 1) Resolva as inequações: a) -1 >2 +1 Resp: S { R/ >2} b) (0,1) 5-1 (0,1) 2+8 Resp: S { R/ } > c) 2 6 Resp: S { R/ -2 < < } 9