Expressões de sequencias

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1 Expressões de sequencias Semana Olímpica/01 Prof. Armando 01 de fevereiro de 01 1 Introdução Um assunto que cai com frequência em olimpíada são as sequências. Sequências são listas ordenadas de números (que, no contexto de sequências, são chamados de termos). Por exemplo, temos que: a 1 é o primeiro termo da sequência; a é o segundo termo da sequência; e assim sucessivamente, sendo que a n é o n-ésimo termo da sequência. Alguns exemplos famosos de sequência: PA: a k+1 = a k + r, sendo r a razão da PA (Progressão Aritmética); PG: a k+1 = a k q, sendo q a razão da PG (Progressão Geométrica); Fibonacci: F n+1 = F n + F n 1, sendo F 1 = F = 1; Muitas vezes, estamos interessados no termo geral da sequência. Nesses casos, o objetivo é saber um termo qualquer de uma sequência, sabendo apenas a posição dele e outros valores constantes como, por exemplo, termos iniciais. Em outras palavras, o objetivo é encontrar uma equação que expresse o valor de a n em função da posição n e outras constantes definidas como, por exemplo, termos iniciais. Para treinar um pouco, tentemos resolver o exercício a seguir: 1

2 1.1 Questão inicial Problema 1 Encontre os termos gerais das seguintes sequências: a) a k+1 = a k +, sendo a 1 = 4 (Progressão Aritmética de termo inicial igual a 4 e razão igual a ); b) S n = a 1 + a + + a n, sendo a n a sequência do item anterior; c) b k+1 = b k 3, sendo b 1 = (Progressão Geométrica de termo inicial igual a e razão igual a 3); d) T n = b 1 + b + + b n, sendo b n a sequência do item anterior; e) U n = (Progressão Geométrica infinita com razão entre 0 e 1). Podemos generalizar os resultados do exercício anterior, assim como encontrar termos gerais de outros tipos de sequências. Vejamos alguns exemplos famosos de termos gerais: PA: a k+1 = a 1 + (n 1) r = a 0 + n r, sendo r a razão da PA; PG: a k+1 = a 1 q n 1 = a 0 q n, sendo q a razão da PG; Fibonacci: F n+1 = [( 1+ ) n ( 1 ) n ] ; Nesse material, veremos algumas ideias para encontrar o termo geral ou, ao menos, encontrar alguma propriedade de tal termo. Para isso, vejamos algumas dicas: 1. Encontre alguns termos iniciais e procure algum padrão. Daí, tente provar o padrão encontrado por indução;. Quando você precisa encontrar alguma propriedade sobre o termo geral da sequência, procure algum padrão. Daí, tente provar o padrão encontrado por indução; 3. Nos casos de sequências não simples, procure achar alguma outra sequência que possa reescrever a mesma expressão de uma forma mais simplificada que permita o uso de alguma outra técnica como, por exemplo, soma/produto telescópico; 4. Procure ver se a sequência é crescente/decrescente/não-crescente/nãodecrescente;

3 . Nos casos de sequências lineares, lembre-se da equação característica; 6. Procure avaliar se todos os elementos da sequência são distintos; 7. Procure ver se a sequência é periódica. Antes de começar as questões, mostraremos exemplos de como aplicar algumas das dicas acima. 1. Aplicação de algumas dicas iniciais (Aplicação da dica 3) Uma sequência do tipo x n+1 = A x n + B onde A e B são constantes pode ser resolvida da seguinte forma: Caso 1: Caso : Se A = 1, então a sequência é uma PA e o termo geral é bem conhecido: x n = x 1 + (n 1) B Se A 1, então pensemos em substituir por uma sequência y n tal que: x n = y n + t n N Onde procuraremos um t esperto. Fazendo as contas, teremos que: t = B 1 A é uma ótima ideia, pois para esse t específico, y n se tornará uma PG. (Aplicação da dica ) Recorrência linear homogênea: tipo x n = k 1 x n k t x n t Sequências do onde k 1, k,, k t são constantes são chamadas de recorrências lineares homogêneas. Existe uma fórmula generalizada para encontrar termos gerais desse tipo de sequência, mas esse assunto foge ao tema desse material. Vamos mostrar apenas como se resolve, sem provar, como se resolve uma recorrência linear homogênea de grau, isto é, sequências do tipo: x n = A x n 1 + B x n onde A e B são constantes. Para isso, considere a equação: x = Ax + B 3

4 A equação acima é chamada de equação característica. Sejam λ 1 e λ as raízes da equação característica. Daí, temos dois casos: Caso 1: Se λ 1 λ, então existem k 1 e k constantes tais que: x n = k 1 λ n 1 + k λ n n N Caso : Substituindo a fórmula acima para n = 1 e n = (ou n = 0), teremos um sistema com duas equações e duas variáveis e, assim, podemos achar os valores de k 1 e k. Se λ 1 λ, então existem k 1 e k constantes tais que: x n = k 1 λ n 1 + k nλ n n N Analogamente ao caso anterior, substituindo a fórmula acima para n = 1 e n = (ou n = 0), teremos um sistema com duas equações e duas variáveis e, assim, podemos achar os valores de k 1 e k. É possível provar as fórmulas acima com algum algebrismo. Porém, para não desfocar, deixemos essa demonstração para outro momento. Para assimilar melhor, vejamos uma questão resolvida: 1.3 Segunda questão inicial Problema Encontre o termo geral da famosa sequência de Fibonacci definida por: Solução: F 1 = F = 1 F n+1 = F n + F n 1 1. equação característica: x = x + 1. raizes da equação característica: λ 1 = 1 λ = termo geral: F n = k 1 λ n 1 + k λ n = k 1 ( 1 ) n ( 1 + ) n + k 4

5 4. casos iniciais: ( 1 ) ( F 1 = k 1 + k ( 1 ) ( F = k 1 + k 1 + ) = 1 ) = solução do item anterior: k 1 = 1 = k = 1 = 6. resposta final: F n = F n+1 = [( 1 + ) n ( 1 ) n ] Agora, é hora de praticar! Questões Problema 3 Prove as seguintes fórmulas da sequência de Fibonacci: a) F 0 + F F n = F n+ 1; b) F 0 F 1 + F F n 1 + F n = F n 1 1; c) F0 + F1 + F + + Fn = F n F n+1 ; d) F n 1 F n+1 = Fn + ( 1) n ; e) F m+n+1 = F m+1 F n+1 + F m F n. Obs.: Na sequência de Fibonacci, temos que: F 0 = 0. Problema 4 (Itália/1996) Dado o alfabeto com três letras a, b e c encontre o número de palavras com n letras contendo um número par de a s.

6 Problema (Alemanha/001) Seja uma sequência a i R, i 1,,, n tal que: a 0 = 1 a n+1 = a n + (a n+1 + a n ) Prove que tal sequência é única e encontre uma fórmula para a recorrência definida por esta sequência. Problema 6 (Turquia/1998) Seja a n uma sequência de números reais definida por: a 1 = t a n+1 = 4 a n (1 a n ), n 1 Para quantos valores distintos de t temos a 1998 = 0? Problema 7 (Sérvia/011) Seja n um inteiro. Seja a 0,, a n uma sequência de reais positivos tais que: (a k 1 + a k ) (a k + a k+1 ) = (a k 1 a k+1 ) para todo k = 1,,, (n 1). Prove que a n < 1 n 1. Problema 8 (Irlanda/1999) Mostre que existe um número positivo na sequência de Fibonacci que é divisível por Problema 9 (Seletiva Fortaleza - Rioplatense/01) Mostre que se p é um divisor primo de L n, entãop p é um divisor primo de L n+1 1. Obs.: L k é a sequencia de Lucas: L 0 = ; L 1 = 1 e, para k 1: L k+1 = L k + L k 1. Problema 10 (Bulgária/01) A sequência a 1, a, é definida pela regra: a n+1 = a n + t(n), n 1 sendo t(n) o número de divisores positivos distintos de n. É possível que dois termos consecutivos da sequência sejam quadrados de números naturais? 6

7 Problema 11 Considere a sequência: Determine o valor de a n. a 0 = a 1 = 1 a n+ = a n+1 + a n para n 0 Problema 1 (Espanha/01) Uma sequência (a n ) n 1 é definida pela recorrência: a 1 = 1 a = a n = a n a n Prove que todos os termos da sequência são inteiros e determine o valor de a n. Problema 13 (Lista Cone Sul/014) Considere a sequência (x n ) n 1 tal que: x 1 = 1 x = 011 x n+ = 40x n+1 x n, n = 0, 1, Prove que x é um quadrado perfeito. Problema 14 (Lista Cone Sul/014) Seja a n uma sequência de inteiros tais que: (n 1) a n+1 = (n + 1) a n (n 1), n 1 Sabendo que 016 a 01, encontre o menor valor de n tal que 016 a n. Problema 1 (Teste Cone Sul/013) Uma sequência de números reais a 1, a,..., a n,... é tal que a 1 = 1, a = 9 e a n+ = 14a n+1 a n 4 para todos os inteiros positivos n. Prove que para cada inteiro positivo n o número a n é um quadrado de um número inteiro. 7

8 Problema 16 (Teste Cone Sul/013) Seja x 1 = 1 e para todo inteiro n 1 seja x n definida por: xn x n+1 = x n + + n onde n denota parte inteira de n. Encontre o valor de x 013. Problema 17 (IMO - Shortlist/006) Uma sequência de números reais a 0, a 1,, a n é definida da seguinte forma: Prove que a n = a n+ para algum n. a 0 é um número real qualquer; a n+1 = a n {a n } para n 0 Problema 18 (Rússia/008) As sequências a n e b n são definidas da seguinte forma: a 1 = 1, b 1 = a n+1 = 1 + a n + a n b n b n, b n+1 = 1 + b n + a n b n a n para n 1 Prove que a 008 <. Problema 19 (Ibero/00) A sequência (a n ) n 1 é definida como: a 1 = 6 a n+1 = a n 1 a n, para cadan 1 Demonstre que existe um inteiro k, 1 k 00, tal que a k < 0. Problema 0 (Ibero/010) Determine se existe inteiros positivos a, b tais que todos os termos da sequência x n definidos por: são inteiros. x 1 = 010 x = 011 x n+ = x n + x n+1 + a x n x n+1 + b 8