FUNÇÃO EXPONENCIAL. e) f(x) = 10 x. 1) Se a > 1 2) Se 0 < a < 1. Observamos que nos dois casos, a imagem da função exponencial é: Im = R + *.

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1 FUNÇÃO EXPONENCIAL Definição: Dado um número real a, tal que 0 < a?, chamamos função eponencial de ase a a função f de R R que associa a cada real o número a. Podemos escrever, tamém: f: R R a Eemplos de funções eponenciais em R: a) f() = d) f() = e - ) f() = c) f() = e e) f() = 0 Gráfico: O gráfico de f() = a tem o seguinte aspecto: ) Se a > ) Se 0 < a < função crescente função decrescente Oservamos que nos dois casos, a imagem da função eponencial é: Im = R + *. Dizemos, ainda, que a função f() = a, corta o eio no ponto (0, ). Equações eponenciais Definição: Equações eponenciais são equações com incógnita no epoente. Eemplos a) = 64 = ) ( ) c) 4 = 8

2 Para resolvermos essas equações, devemos reduzir amos os memros em potências de mesma ase, usando para isso as propriedades de potência. Pelo fato da função eponencial f() = a ser injetora, podemos concluir que potências iguais e de mesma ase têm os epoentes iguais, ou seja: a = a c = c (0 < a? ). Eemplos a) = 64 ) ( ) = ( ) 6 / / = 8 c) 4 = = (8) = 0 4 = 6 = ( ) fazendo = t 4 V = {6} = t t = 0 4 = temos que t = ou t = = 8 = ou = 8 V = { } / / = = = V = {} LOGARITMOS Definição: Seja um número real positivo. Dado um número positivo qualquer, eiste um único número real tal que =. Este número é chamado logaritmo do número na ase e será denotado por = Log. Temos, então, a igualdade: = Log = Eemplos: ) Calcule Log 9. Da igualdade acima temos: = Log 9 9 = = =. Logo, Log 9 =

3 ) Calcule Log 4. Da igualdade acima temos: = Log 4 = 4 = = =. Logo, Log 4 = FUNÇÃO LOGARÍTMICA Para cada número real positivo, definimos a função logarítmica, na ase, como sendo a função f :]0, [ R, que a cada número real positivo associa o número real f() = Log Gráficos A função logaritmo de na ase, pode ser representada graficamente de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de, como figura aaio: > 0 < < Como se nos gráficos acima, a função logarítmica é crescente se > e é decrescente se 0 < <. O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos e sua imagem é o conjunto de todos os números reais. Propriedades Sejam 0 <, M>0, N>0 e r números reais, então: a) Log (MN) = Log M + LogN M ) Log = Log M Log N N d) Log = e) Log = 0 r c) Log (M) = r.logm

4 Mudança de ase Sejam a e números reais positivos com a e, para qualquer número real positivo M temos a igualdade: Log M = Eemplos Log am Log a ) Escreva a seguinte epressão Log 6 + Log 6 Log 6z com um único logaritmo. Solução: Log 6 + Log 6 Log6z = Log 6 + Log 6 Log 6z = Log 6 z ) Durante quanto tempo devemos investir R$ 900,00 a uma taa de 0% ao ano, no sistema de juros compostos, para resgatar R$.500,00? Solução: t Da fórmula de juros composto, PF = PV( + i), onde PF é o valor a ser resgatado, PV é o valor aplicado, i é a taa e t é o tempo de aplicação, temos que: t = 900 +, t ( + 0,) = t = Log = 5, 08. Logaritmos especiais Dois logaritmos possuem notações próprias que são: f() = Log0, que será denotado simplesmente por f () = Log e será chamado logaritmo decimal (na ase 0). f() = Log e, que será denotado simplesmente por f () = Ln e será chamado logaritmo natural (ou Neperiano), onde e representa o número de Napier, ase da função eponencial g () = e, cujo valor aproimado é e=,78... Relação entre função logarítmica e função eponencial: As funções f() = Log e g () = são funções inversas, uma da outra, pois pela própria definição de logaritmo temos, Log = = e, assim, g(f()) f() Log = = = e f(g()) = Log (g()) = Log ( ) =

5 EXERCÍCIOS SOBRE EXPONENCIAL E LOGARITMO ) Esoce o gráfico das seguintes funções: a) f() = ) f() = c) f() = + ) Resolva as seguintes equações eponenciais: a) = 5 5 ) 5 = 0,04 + c) 5 - = 5 d) f() = - e) f() =. f) f() = d) ( ) + 4 = e) = 0 ) Calcule o valor do logaritmo dado. a) Log 864 ) Log 4 64 c) Log 648 d) Log e) Log f) Log g) Log 8 h) Log 8 4) Determine o domínio e faça um esoço do gráfico da função dada. a) f ( ) = Log ) ( ) = Log c) f ( ) = Ln( + ) 4 f d) f ( ) = Ln( ) e) f ( ) = Log ( ) f) f ( ) = Log 5) Reduza a epressão dada em um único logaritmo. a) 4 Log + Log ) 5Ln + Ln Log 6 c) Log + Log d) Log 9 + Log 6 Log 9z 6) Sendo Ln a =, Ln = 5, Ln = 0, 5, calcule. 5 a) Ln (a) ) Ln a c) Ln ( a ) d) Ln ( ) 5 a 7) Resolva as seguintes equações: a) Ln + Ln = Ln 9 64 c) Ln Ln( ) = Ln + Ln( ) ) Ln ( ) + Ln4 = 0 d) Ln Ln Ln4 = 0

6 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO EXPONENCIAL a) ) c) d) e) f) a) V = {-} ) V = 5 c) V = 7 d) V = {-5; } e) V = {-; } LOGARTIMOS ) a) ; ) ; c) ; d) 6; e) 0; f) ; g) ; h) 4. 4) a) D f = { R / > 0} ) D f = { R / > 0}

7 c) D f = { R / > } d) D f = { R / > } e) D f = { R / < 0} f) D f = { R / > 0} ) a) Log ( 4 ) ; ) Ln ( 5 ) ; c) Log ; d) 6 Log 9. z 7 4) a) 7; ) ; c) 9; d) 6,49. 5) a) ; ) não eiste; c) ou ; d) 4.