CAP. II RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES

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1 CAP. II RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES Vamos estudar alguns métodos numéricos para resolver: Equações algébricas (polinómios) não lineares; Equações transcendentais equações que envolvem funções transcendentais, tais como e, sin, ln. DEFINIÇÃO (RAIZ DE UMA EQUAÇÃO OU ZERO DE UMA FUNÇÃO) Um número z é uma raiz da equação f()=0 se f(z)=0. Graficamente, a raiz real de uma equação f()=0 é o ponto onde a função f toca o eio dos. y y=f() a b raiz Acetato 1- Resolução numérica de equações

2 O cálculo numérico de uma raiz envolve duas fases: Fase I - Localização Localizar a raiz num intervalo [a,b]; Fase II - Refinamento Escolhidas aproimações iniciais no intervalo encontrado, melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproimação para a raiz dentro de uma precisão ε prefiada..1 LOCALIZAÇÃO DAS RAÍZES Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função f(). Segue-se um teorema para localizar as raízes de uma equação. Teorema 1: Seja f() contínua em [a,b]. 1 - Se f é tal que f(a).f(b)<0, então f tem pelo menos uma raiz z em ]a,b[. Além disso, - Se f ' () eistir e preservar o sinal dentro do intervalo ]a,b[, isto é, f ' ()>0 ou f ' ()<0 para a<<b, então a raiz z é única. INTERPRETAÇÃO GRÁFICA: 1) y y=f() a b Acetato - Resolução numérica de equações

3 ) y y=f() a b GRAFICAMENTE Método mais simples para isolar uma raiz. Para isolar graficamente uma raiz, basta fazer o esboço do gráfico de f() e ver em que ponto ou pontos a função intersecta o eio dos. Gráfico da função difícil de desenhar recorre-se a outra técnica. TÉCNICA: Substitui-se f()=0 por uma equação g()-h()=0 equivalente, ou seja, que tenha as mesmas raízes. Assim, para determinarmos as raízes de f()=0 g()-h() =0, temos que: i) Esboçar os gráficos de y 1 =g() e de y =h(), no mesmo sistema de eios; ii) O ponto de abcissa = 0 no qual se verifica g( 0 ) = h( 0 ) é um zero de f()=0. Acetato 3- Resolução numérica de equações

4 EXEMPLO: Considerar a função f()= e - sin -. Sejam g()= e e h()= sin() y 1 = g() y = h() raiz Acetato 4- Resolução numérica de equações

5 . REFINAMENTO DAS RAÍZES Estudaremos vários métodos de refinamento de raízes, todos eles pertencentes à classe dos métodos iterativos. Os métodos iterativos podem ser colocados num diagrama de fluo: Início Dados iniciais Cálculos iniciais = 1 Calcular a nova aproimação Essa aproimação está próima o suficiente da raiz eacta? S S Cálculos finais S N Cálculos intermédios Fim = +1 Acetato 5- Resolução numérica de equações

6 O procedimento de um método iterativo para determinar a solução eacta z de um problema pode, em linhas gerais, descrever-se do modo seguinte: A aplicação do método requer o conhecimento de, em geral, uma aproimação inicial 0 para a solução z. Por meio de uma fórmula do tipo = f ( -1 ), =1,,... dita fórmula de iteração é calculada uma sequência de aproimações ( ) para a solução. Se são verificadas certas condições de convergência a solução procurada é o limite desta sequência, i.é, z = lim, e cada iteração está mais perto da solução que a iteração anterior. Assim, para se definir um processo finito de cálculo, pode ser tomada como aproimação para z, i.é, truncatura que pode ser estimado. z, e o erro z é um erro de.3 CRITÉRIOS DE PARAGEM Critérios de paragem de cálculo em processos iterativos têm de ser definidos, uma vez que um processo iterativo de cálculo não pode decorrer indefinidamente e apenas um número finito de iterações podem ser calculadas. A decisão a tomar deve ter em conta situações: Acetato 6- Resolução numérica de equações

7 1. verifica-se convergência da sequência de iterações, com a rapidez esperada, e nessas condições o cálculo termina logo após a determinação de uma aproimação com a precisão pretendida;. não há convergência para a solução ou verifica-se convergência demasiado lenta. Na situação 1., se duas iterações consecutivas são quase iguais não se justifica a continuação do cálculo de iterações. Define-se assim o seguinte critério: O cálculo de iterações termina com a determinação de se, i) - 1 < ε ii) - 1 < ε, sendo 0 onde ε > 0 é a precisão do erro admitida. Para evitar desperdiçar tempo de cálculo no computador no caso da situação., ou de escolha incorrecta de um valor para ε (escolhido no critério de paragem da situação 1.), um outro critério de paragem deve ser usado adicionalmente: O cálculo de iterações é interrompido com a determinação de se, = ma sendo ma o número máimo de iterações especificado. Acetato 7- Resolução numérica de equações

8 .4 MÉTODOS ITERATIVOS PARA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES.4.1 MÉTODO DA BISSECÇÃO Seja f() uma função contínua em [a,b], onde [a,b] é um intervalo onde f()=0 tem uma única raiz z, isto é, f(z)=0. O método da bissecção consiste em construir uma sequência de intervalos com amplitude sucessivamente menor dentro dos quais eiste a raiz procurada, até à precisão requerida. GRAFICAMENTE: y y=f() a 1 z o b Acetato 8- Resolução numérica de equações

9 ANALITICAMENTE: I 0 = [a,b] a + b 0 = ( ponto médio de [ a,b]) 1ª iteração: i) f (a).f( 0 ) < 0 z ]a, 0 [ a 1 =a, b 1 = 0 1 a1 + b1 a + 0 = = e I 1 = [a 1,b 1 ] = [a, 0 ] ; ii) f ( 0 ).f(b)< 0 z ] 0, b[ a 1 = 0, b 1 = b 1 a1 + b1 0 + b = = e I 1 = [a 1,b 1 ] = [ 0,b] ; iii) f( 0 ) = 0 z= 0 ; Suponha-se que z (a, 0 ). I 1 = [a, 0 ] a + = ( ponto médio de [ a, ]) ª iteração: i) f (a).f( 1 ) < 0 z ]a, 1 [ a =a, b = 1 a + b a + 1 = = e I = [a,b ] = [a, 1 ] ; ii) f ( 1 ).f(b)< 0 z ] 1, b[ a = 1, b = b a + b 1 + b = = e I = [a,b ] = [ 1,b] ; iii) f( 1 ) = 0 z= 1 ; Acetato 9- Resolução numérica de equações

10 O processo é repetido até que se obtenha uma aproimação para a raiz eacta z, com uma precisão não superior a ε. EXEMPLO: Calcular a raiz da equação f()= -3 = 0 para [ 1, ], com ε Raiz eacta: Raiz aproimada: a b f(a ) f(b ) f( ) erro Acetato 10- Resolução numérica de equações

11 CONVERGÊNCIA DO MÉTODO: Este método gera uma sequência de intervalos I 0, I 1, I,..., I,... com amplitude decrescente: I 0 I 1 I I... eistindo z, I, =0,1,,..., tal que f(z)=0. Sendo w (I ) a amplitude do intervalo I, tem-se que: w (I ) = w(i-1 ) =. w(i- ) =... = w (I0 ) Como w (I 0 )=b-a, obtém-se: b - a w (I ) = e limw (I ) = 0. TEOREMA : Seja f uma função contínua em [a,b] que satisfaz f(a).f(b)<0. Seja o ponto médio do intervalo I gerado pelo método da bissecção. Então, z ] a, b [ tal que f(z) = 0 e lim = z ESTIMATIVA DO ERRO Se z I = ]a, b [, i.é, a < z < b, então a < z < b, e se a + b = obtém-se b a b a < z <. Donde, ( I ) b a w z < =. Acetato 11- Resolução numérica de equações

12 Assim, para determinar uma aproimação para uma raíz com erro ε, o método iterativo é interrompido imediatamente após o cálculo do intervalo I se metade da sua amplitude não ecede ε, i.é, ( I ) w < ε. ESTIMATIVA DO NÚMERO DE ITERAÇÕES () Prova-se que: -1 ε w(i ) ε b a + 1 ε Número mínimo de iterações para determinar a raiz aproimada com um ln (b - a / ε ) erro não superior a ε : 1 ln () Ζ + PROPRIEDADES DE CONVERGÊNCIA Dada uma equação f()=0 desde que se conheça um intervalo [a, b] IR onde f é contínua e tal que f(a).f(b)<0, é possível aplicar o método da bissecção para calcular um intervalo tão estreito quanto se queira, contendo uma raiz da equação. Como não há restrições sobre a amplitude do intervalo inicial e portanto sobre a distância dos etremos do intervalo inicial à raiz, o método da bissecção é globalmente convergente. Acetato 1- Resolução numérica de equações

13 .4. MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON Sejam f, f ', f '' contínuas em [a,b] e z raiz única da equação f()=0, em [a, b]. O método de Newton consiste em, obter o valor de +1 como a intersecção da tangente à curva de f no ponto (, f( )) com o eio dos. GRAFICAMENTE: y y=f() z +1 ANALITICAMENTE: Escrevendo f em série de Taylor em torno de z, obtemos: f(z) f( 0 ) + (z- 0 ) f ' ( 0 ) ( 0 ]a,b[ ) Mas f(z)=0, donde f( 0 ) + (z- 0 ) f ' ( 0 ) 0 z f(0) f ( ) 0 ' 0 Acetato 13- Resolução numérica de equações

14 A relação anterior é a base da fórmula de recorrência do método de Newton: f( ) + 1 = ' Fórmula de recorrência f ( ) CONVERGÊNCIA DO MÉTODO: ESTIMATIVA DO ERRO Uma estimativa para o erro da aproimação para z: z -1 CONDIÇÕES DE CONVERGÊNCIA DO MÉTODO O método de Newton (método da tangente) é localmente convergente, i.é, para se verificar convergência, é necessário que a aproimação inicial 0 esteja suficientemente próima da raiz z. O teorema seguinte estabelece condições suficientes para a convergência do método de Newton-Raphson. TEOREMA 3: Sejam f, f ', f '' contínuas no intervalo [a,b]. Se i) f(a).f(b) < 0 ii) f ' () 0, (mantém o sinal), [a,b], iii) f ' ' () 0, (mantém o sinal), [a,b], iv) a aproimação inicial, etremo favorável, é 0 = a ou 0 = b, onde f( 0 ). f ' ' ( 0 ) > 0 então a sequência gerada pelo método de Newton converge para z, único zero de f em [a,b]. Acetato 14- Resolução numérica de equações

15 As condições i) e ii) garantem que eiste uma única raiz no intervalo [a,b]; A condição iii) estabelece que f mantém a concavidade em [a,b] e além disso, em conjunto com a condição ii), implica que f é monótona em [a, b]; A condição iv) diz que a tangente à curva quer em a quer em b intersecta o eios dos dentro do intervalo [a, b]. ORDEM DE CONVERGÊNCIA O método de Newton tem ordem de convergência igual a, i.é, convergência quadrática. EXEMPLO: Calcular a raiz da equação f()= -3=0 para [ 1, ], com ε Acetato 15- Resolução numérica de equações