Solução Comentada Prova de Matemática

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1 18. Se x e y são números inteiros maiores do que 1, tais que x é um divisor de 0 e y é um divisor de 35, então o menor valor possível para y x é: A) B) C) D) E) Questão 18, alternativa E Assunto: Números reais (Operações com números inteiros positivos e números racionais) Comentário: Na solução dessa questão o candidato deverá utilizar conceitos elementares que envolvem divisibilidade e desigualdades. Dentre as possibilidades para x e y ele deverá escolher aquelas que tornam o valor da fração y x mínimo. Sejam D x = {, 4, 5, 10, 0 } e D y = { 5, 7, 35 } os conjuntos dos divisores, maiores que 1, dos números 0 e 35, respectivamente. O menor valor possível para a fração x y vai ocorrer quando x for igual ao menor elemento de D x que é, e o y for igual ao maior elemento de D y que é 35. Logo, a fração procurada será A alternativa correta é a (E) O conjunto solução da inequação ( 1) < log ( x 1) A) (, 0) B) (, ) C) (, ) D) ( 3, ) E) (, ) log1 / 3 x 1/ 3 + é o intervalo: UFPI PSIU 1ª ETAPA Pág. 1 de 1

2 Questão 19, alternativa B Assunto: Logarítmo (bases e inequações logarítmicas) Comentário: Esta questão envolve o conhecimento relativo a inequações logarítmicas, explorando principalmente as propriedades do domínio da função logarítmica bem como a influência da base na questão do estudo do crescimento ou decrescimento de uma função. A função logaritmo de base menor que 1 é decrescente. Assim log ( x ) < log ( x 1) ( 1) > ( x / 3 1 1/ 3 + x ) x x > 0 x< 1 ou x > Por outro lado, como o domínio de uma função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos, devemos ter ( x 1) > 0 e ( x + 1) > 0 de onde concluímos que x > 1. Portanto, devemos ter ( x< 1 ou x > ) e x > 1, de onde concluímos que x > A alternativa correta é a (B) 0. Considere o triângulo eqüilátero ABC, cujo lado mede 10 cm, conforme a figura ao lado. Pelo ponto S, traça-se a perpendicular SR sobre o lado AC, do ponto R, traça-se a perpendicular RQ sobre o lado BC, e do ponto Q, traça-se a perpendicular QP sobre o lado AB. Se a medida do segmento AS é igual a 4 cm, então a medida do segmento SP, em cm, é: A) R B) 3 C) 4 D) 5 A S P B E) 6 C Q Questão 0, alternativa B Assunto: Geometria plana Comentário: Este problema envolve conhecimento de conceitos básicos relativos a triângulos, especificamente triângulo eqüilátero, e algumas relações especiais do triângulo retângulo. Sendo ABC um triângulo eqüilátero, cada um dos ângulos internos A, B e C mede Assim, como BQP ˆ CRˆ Q os triângulos BQP, CRQ e ASR são retângulos, cada um dos ângulos, e AS ˆ R mede Sabemos que, no triângulo retângulo, o cateto oposto ao ângulo de 30 0 mede a metade do valor da hipotenusa, e como AS tem medida igual a 4 cm, segue: AS = 4 cm AR = RC = 8 CQ = 4 QB = 6 PB = 3 SP = 3. A alternativa correta é a (B) UFPI PSIU 1ª ETAPA Pág. de

3 1. Sejam M={ x R; x + 3 = } e N={ x R; x 5x + 4 = 0}. Se a M e b N, então o maior valor do produto a.b é: A) B) 1 C) 0 D) 1 E) Questão 1, alternativa D Assunto: Conjuntos e equações ( Equação modular e equação do segundo grau ) Comentário : Nessa questão, o candidato deverá mostrar conhecimentos sobre teoria dos conjuntos e das equações de 1º e º graus, bem como sobre propriedades de valor absoluto. Se x M, então x + 3 = x + 3 = ou x + 3 = - x = -1 ou x = -5 Se x N, então x -5x + 4 = 0. Resolvendo a equação do º grau, temos x = 4 ou x = 1 Assim: M = { -1, -5 } e N = { 1, 4 } Seja P = { a.b ; a M e b N } = { -1. 1, -1.4, -5. 1, } = { -1, -4, -5, -0 } o conjunto de todos os produtos possíveis de elemento de M por um elemento de N. Logo, o elemento de maior valor do conjunto P é -1. A alternativa correta é a (D). Sejam f e g funções reais de variáveis reais definidas por f(x) = x + e g(x) = -x +3x+1. Dentre os conjuntos abaixo, o que representa os valores de x para os quais f(x) < g(x) é: A) 1 x R; < x < 0 x R; 0 < x < 1 B) { } C) 1 x R; < x < 1 x R; x > 0 D) { } E) 1 x R; x < UFPI PSIU 1ª ETAPA Pág. 3 de 3

4 Questão, alternativa C Assunto: Funções e inequações: Comentário: Esta questão trata da comparação entre valores de funções a partir do estudo da solução de uma inequação do o grau. Sejam as funções f(x) = x + e g(x) = - x + 3x + 1. Se f(x) < g(x), então x + < - x + 3x + 1 x 3x + 1 < 0 = ( -3 ) - 4 ()(1) = 1 ( 3) ± 1 3 ± 1 x = =. Então : x = 1 ou x = 1 () 4. Sinal de x 3x + 1: Logo, o conjunto de valores de x para os quais x 3x + 1 < 0 será 1 { x R ; < x < 1 } A alternativa correta é a (C) 3. Se a seqüência x 3 8x + 4; x 5; x 3 + x + 4 forma, nesta ordem, uma Progressão Aritmética, o valor de x é: A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 Questão 3, alternativa C Assunto: Seqüência (Progressão Aritmética ) Comentário: Essa questão envolve noções de seqüência e as propriedades que relacionam os termos de uma progressão aritmética. Se a seqüência x 3 8x +4; x-5; x 3 +x +4 está em progressão aritmética, então: a diferença entre o segundo e o primeiro termos é igual à diferença entre o terceiro e o segundo, ou seja, ( x 5 ) ( -x 3 8x + 4 ) = ( x 3 + x + 4 ) ( x 5) x 5 + x 3 + 8x 4 = x 3 + x + 4 x + 5 x 1x + 18 = 0 x 6x + 9 = 0 ( x 3 ) = 0 x = 3. A alternativa correta é a (C) UFPI PSIU 1ª ETAPA Pág. 4 de 4

5 4. Na figura, os segmentos de reta RP e TP medem respectivamente 8 cm e 16 cm. Se TP é tangente à circunferência em T, então a medida do raio, em cm, é: A) 1 B) 14 C) 16 D) 18 E) 0 O r T 16cm r P 8cm R Questão 4, alternativa A Assunto: Geometria plana (Tangente ao círculo e triângulo retângulo) Comentário: Essa questão requer conhecimentos básicos de geometria plana, envolvendo tangente a uma curva, distância de um ponto a uma curva e o teorema de Pitágoras. PTˆ O é reto. Então o O segmento PT,na figura, é perpendicular ao raio r e portanto o ângulo triângulo PTO é retângulo. Pelo Teorema de Pitágoras: OP = OR + PT ou ( r + 8 ) = r + 16 r + 16r + 8 = r r = 16-8 = 4. 8 r = Alternativa correta é (A) = 1 5. Considere a situação em que há dois homens, um com mais de 30 anos e o outro com menos de 30 anos, sendo que, um veste camisa preta e o outro veste camisa branca. O homem que veste camisa preta disse que tem mais de 30 anos. O homem que veste camisa branca disse que tem menos de 30 anos. Se alguém está mentindo, podemos concluir que: A) Só o homem de camisa branca mentiu. B) Só o homem de camisa preta mentiu. C) Os dois homens mentiram. D) O homem de camisa branca falou a verdade. E) O homem de camisa preta falou a verdade. UFPI PSIU 1ª ETAPA Pág. 5 de 5

6 Questão 5, alternativa C Assunto: Lógica (Lógica elementar ) Comentário: Essa questão trata basicamente de raciocínio lógico. Nela o candidato deverá fazer uma análise envolvendo duas afirmações e uma condição, das quais, a partir de um estudo das possibilidades, ele deverá concluir sobre a veracidade de cada uma das afirmativas. Considerando as duas afirmações, temos as seguintes possibilidades: VV,VF,FV e FF Como alguém está mentindo, não pode ocorrer VV. Supondo que o primeiro homem (homem de camisa preta) esteja falando a verdade, neste caso ele tem mais de 30 anos e conseqüentemente o homem de camisa branca tem menos de 30 anos. Portanto, o segundo homem (homem de camisa branca) também estará falando a verdade e assim não pode ocorrer VF. Supondo que o primeiro homem (homem de camisa preta) esteja mentindo, neste caso ele tem menos de 30 anos e conseqüentemente o homem de camisa branca tem mais de 30 anos. Portanto, o segundo homem (homem de camisa branca) também estará mentindo e assim não pode ocorrer FV. Logo devemos ter FF, isto é, os dois homens estão mentindo. A alternativa correta é a (C). UFPI PSIU 1ª ETAPA Pág. 6 de 6