BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS

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1 BANCO DE EXERCÍCIOS - 4 HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº 04 GABARITO COMENTADO ) Sabendo que O B M = 40 O B = B M M = O, 40 O B+ M = 46 + M = 46 M 46M + 40 = 0 M = 6 ou M = 40 e M 40 O+ B M = 64 O+ = 64 O 64O+ 40 = 0 O= 4 ou O= 60. O Sendo O, B e M inteiros, a única possibilidade é O = 4, M = 6 e B = =. Assim, O + B + M = = 0 ) Para obtermos a maior diferença possível devemos tomar o maior e o menor primo cuja soma seja 6. Como =. 4, =, 9 =, 5 = 5, tal representação é +, cuja diferença é = 00. k k a a a ak a+ a a ak ) Sendo n = p p... p a fatoração canônica de n, temos n = p p... p. Assim, a quantidade de divisores positivos de n é (a+) (a +) (a +)...(a k +) e a quantidade de divisores positivos de n é (a++)(a +) (a +)...(a k +). Essa quantidade é o dobro da anterior quando (a+)(a +)(a +)...(a k +) = (a +)...(a k +) a+ = (a+) a = 0. Isso quer dizer que n não tem fatores, ou seja, n é ímpar. 4) Sejam p. q números primos, então para que o número de divisores inteiros e positivos seja exatamente 5, os número precisam ser da seguinte forma: p 4 e p. q 4. Assim teremos as seguintes possibilidades:. 4 = 4,. 4 = 44 e 5. 4 = ) O tabuleiro contém 95 x 95 = 905 casas. Nas linhas ímpares, a sequência é crescente e nas linhas pares, é decrescente. Portanto, na 95 a linha, a última casa da direita apresenta o maior múltiplo de 4 no tabuleiro, ou seja, Sara escreveu na casa U o número 905 x 4 = ) Pelo critério de divisibilidade por 8, os três últimos dígitos devem formar um número múltiplo de 8. A única opção admissível é z = 4. Pelo critério de divisibilidade por, (x + + z) (y + 6) = x y deve ser divisível por. Como x e y são dígitos, a única opção é x = y. Finalmente, pelo critério de divisibilidade por 9, (x + y z) = x + deve ser divisível por 9. O único dígito que satisfaz tal condição é x =. ) Como 04 = 5. 9., segue que a² + b² é um de seus 8 divisores. Os possíveis restos de um quadrado perfeito na divisão por 9 são: 0,,4,5,6,,9,6. A única soma de dois deles que produz um múltiplo de 9 é a soma Assim, se a² + b² é múltiplo de 9, a e b também o são. Dado que 04 não possui dois fatores de tal primo, podemos concluir que deve ser um divisor de 5.. As possíbilidades são: a² + b² = (,) a² + b² = 5 (,) e (,) a² + b² = 06 (5,9) e (9,5) OPÇÃO E

2 8) a b = a b = 0 a4 b = a b = 80, dividindo uma equação pela outra temos: b = 4 b =, logo a = 5 N = (5 + )³. 5 N = ³. ³. 5 N = 8. ³, logo o número de divisores é (8 + ). ( + ) = 6 9) N = , como queremos os múltiplos de 0, N = 0.( ) Total de divisores: ( + ).(5 + ).(5 + ) = = 44 0) O primeiro múltiplo de na sequência é 60 e o último é 56. Para encontrarmos os números intermediários da nossa sequência, basta somarmos ao número anterior. {60,, } Sequências desse tipo são chamadas de aritméticas. Vamos utilizar a expressão do termo geral para sequências aritméticas. a n = a + (n ), r a n = último termo a = primeiro termo n = número de termos r = razão entre os termos a n = a + (n ). r 56 = 60 + (n ). 56 = 60 + n 56 = 48 + n = n 8 = n n = 8 / n = 69 múltiplos ) Para calcularmos a quantidade de divisores de um número, devemos fatorá-los em números primos, somar uma unidade a cada expoente e multiplicar os resultados. Para que um número tenha exatamente 4 divisores positivos, sua fatoração em primos deve ser da forma pq ou p, onde p e q são primos distintos. Daí, os números de a 0 que possuem exatamente 4 divisores são os seguintes: 6 =., 0 =.5, 4 =., =., 6 =., 5 =.5, =., 8 = ³, = ³. Temos, então, 9 números. ) Fazendo x = t y, a equação inicial reduz-se a t + ³ c (t + t + 4). Logo, devemos ter (c )t + ct + (4c ) 0, para todo t real. Para isto, devemos ter c < 0 e o discriminante = c 4 (c ) (4c ) 0. 6 Da última inequação, obtemos 5c + 8c 0, cuja solução é c ou c. Como c <, o maior valor possível de 5 c é /. Daí, 009 c = 9,.... ) Observando que ( + x)( + y)( + z) = + x + y + z + xy + yz + zx + xyz, x + y + z = x + y + z = xy + yz + zx + xyz = x + y + z + xy + yz + zx + xyz = 04 ( + x) + ( + y) + ( + z) = 80 0 ( + x)( + y)( + z) = 04= Como x, y e z são inteiros não negativos, + x, + y e + z são potências de. Considerando que 80 = > 4, 80 < e x y z, temos 4 < + z <, ou seja, + z = 5 = ou + z = 6 = 64. Se + z =, temos + x + + y = 48 e ( + x)( + y) = 5 =. Mas, sendo + x e + y potências de com soma

3 par, temos + x³ e, portanto, + y 6. Então + x 6 e + x + + y < 48, e não há soluções nesse caso. Se + z = 64, temos + x + + y = 6 e ( + x)( + y) = 4 = 6. Desse modo, + x e + y são soluções da equação do segundo grau t 6t + 6 = 0, que não tem soluções inteiras. Logo não há soluções y y y y y 4 4) Dividindo tudo por x : + = = Seja z = : z 4z + = 0. Fatorando, x x x x x teremos ( z ) ( z + z + ) = 0. A única raiz racional dessa equação é Z =, portanto deveremos ter y = x para satisfazer a equação com x e y inteiros positivos. Pela limitação y 00, y pode assumir todos os valores de quadrados perfeitos nesse intervalo, que são,,,...44, totalizando 44 pares ordenados. OPÇÃO E 5) a 5 5a + 4a = a(a 4 5a + 4) = a(a 4)(a ) = (a )(a )a(a + )(a + ) este resultado é o produto de 5 números consecutivos onde a >, que é divisível por 60. 6) Seja x = 000. A expressão do problema é equivalente à: (x + 4) + (x 4) 6x = x 6x + = (x 8x +6) = (x 4) Ou seja,.000. x y 0z = 0 ) x + y z = 0( ) x y 0z = 0 x 6y + z = 0 Somando as equações encontramos y = z e x = z Substituindo, ( ) + ( ) z z z ( ) ( ) z. z z z 9z z z 8z z = 9 ( ) 8) ( x x x ) 6 x x + + k x 4x + 4 x 6 ( ) + x 8x + + k x 4x + 4 Como a divisão é exata, os polinômios devem ser múltiplos entre si. Para isso basta compararmos o polinômio de grau do numerador com o do denominador. Percebemos que os coeficientes desses dois polinômios são múltiplos entre si, logo: + k = x 4 + k = 8 k =

4 4 9) (a² ab b²) 0 (a² ab b² + b² b² ) 0 (a² ab + b² b²) 0 (a b)² b² 0 (a b)² b² a b b a b + b a > _ b ( + ) a b + 0) Como (x+y)³ = x³ + x²y + xy² + y³ = x³ + y³ +(x²y + xy²) = = x + y = ) FGB ~ BDC => FG/DC = BF/BC BFJ ~ ABC => FJ/AC = BF/BC => FG/DC = FJ/AC 5/0.5 AC = (8+x)/AC => 0 = 8 + x => x = ) Observe que na figura, o ângulo PBC tem 45, bem como o PCB, e o triângulo DPC é equilátero,pois DP é a mediana relativa à hipotenusa. Como PD = PB e o ângulo APD, Conclui-se que x = 5 ) Marque o ponto E sobre AC e trace BE tal que BC = CE. Observe que AE = CD e o ângulo AEB = 5 = ângulo BDC que faz BE = BD. Os triângulos ABE CBD são congruentes (lado ângulo lado). logo; x = 50 Suplemento: = 0

5 5 4) 5a = 0 daí; a= 6. Como AB = AD= 4a = 4 cm 5) O ângulo DBE é de 60 e o lado BE vale o dobro de BD, pode se afirmar que o Triângulo AEF é isóscele. Daí, x = 0 6) O prolongamento de AD intersecta BC perpendicularmente. Pois o ângulo C = 90 x. Observe que o ponto D é o ortocentro do triângulo ABC. Logo: x x + 6 = 90. Ou seja: x = 5 x = = 65 ) Como o triângulo ABC é isóscele, traçando PE// AB temos: 5 8 = 8 + x x = 6 8) Como o triângulo BCD é isóscele, temos que CE, é bissetriz do ângulo C e os triângulos CEF e CEP, são congruentes. Daí; PE = FE = AC = 0 9) Como os lados dos ângulos BAC ˆ e BPC ˆ determinam o mesmo arco BC, segue que BAP ˆ BPC ˆ = 60. Aplicando a lei dos cossenos no triângulo APC, obtemos AC = PA + PC PA PC cos APC ˆ AC = cos0 AC = 48 AC =. Como PQ é bissetriz de APC, ˆ vem que PQ = PA PC p (p AC), PA + PC

6 6 PA + PC + AC com p = Desse modo, p = = + e PQ = 6 8 ( + ) ( + ) 6+ 8 = 6 ( + ) ( ) = 6 6 = =. 0) Observe que CG = 4 x e que AHI CGI logo; x = 4 x Daí, x = 4 5 5

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