Lados de um triângulo retângulo. MA092 Geometria plana e analítica. Mudando o ângulo. Trabalhando no plano Cartesiano
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- Marcela Malheiro Alcântara
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1 Lados de um triângulo retângulo MA092 Geometria plana e analítica. Catetos de um triângulo retângulo em função da hipotenusa e do ângulo θ: sen(θ) = y z y = z sen(θ) Francisco A. M. Gomes cos(θ) = x z x = z cos(θ) UNICAMP - IMECC Setembro de 2015 Se a hipotenusa medir 1, os catetos medirão sen(θ) e cos(θ). Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de / 19 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de / 19 Trabalhando no plano Cartesiano Vamos supor que: o triângulo esteja situado no plano Cartesiano; o vértice associado a θ fique na origem; um cateto fique sobre a parte positiva do eixo-x; a hipotenusa do triângulo retângulo meça 1; o ângulo θ seja medido no sentido anti-horário; Nesse caso, As coordenadas do ponto P são Mudando o ângulo Para cada ângulo θ i, há um ponto P i do plano que dista 1 da origem; tem coordenadas (x i, y i ) = (cos(θ i ), sen(θ i )). x = cos(θ) e y = sen(θ). Pelo teorema de Pitágoras, x 2 + y 2 = 1. Como a distância de todos os pontos à origem é igual a 1, dizemos que eles pertencem à circunferência unitária (ou seja, de raio 1). Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de / 19 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de / 19
2 Exercício 1 Definição O conjunto de pontos P i = (x i, y i ) que satisfazem a equação x 2 + y 2 = 1 é chamado circunferência unitária. O ponto de origem da circunferência é (1, 0), que está sobre a parte positiva do eixo-x. A cada arco tomado sobre a circunferência unitária associamos um ângulo θ. Calculando uma coordenada O ponto P ( x, 3/2) pertence à circunferência unitária. Determine a coordenada x, sabendo que ela é negativa. x 2 + ȳ 2 = 1 x 2 = 1 ( 3 2 x = ± 1/4 = ±1/2 ) 2 x 2 = = 1 4 Como sabemos que x < 0, concluímos que x = 1/2. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de / 19 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de / 19 : graus e radianos Convertendo medidas de ângulos Podemos representar um ângulo θ fornecendo o comprimento c do arco percorrido sobre a circunferência unitária, a partir do ponto (1, 0). Conversão para radianos Vamos converter 45 para radianos. Como r = 1, o comprimento da circunferência unitária é 2π. Assim, θ 360 = c 2π c = θ π 180 Nesse caso, dizemos que o ângulo é dado em radianos. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de / π 45 c ( ) 45 c = 360 2π = π 4 rad = 2π c Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de / 19
3 Convertendo medidas de ângulos Exercício 2 Conversão para graus 1 Vamos converter π/3 para graus. Conversão para radianos 1 Converta 108 para radianos π θ π/3 360 θ = 2π π/3 0, 6π 1, 885 θ = ( ) π/3 360 = 360 2π 6 = 60. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de / 19 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de / 19 Exercício 3 Ângulos e a circunferência unitária Conversão para graus 1 Converta 2π/5 para graus. 72 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de / 19 Alguns ângulos com suas medidas em graus e radianos. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de / 19
4 Ângulos negativos. Ângulos maiores que 360 Os ângulos têm medida positiva se percorremos a circunferência no sentido anti-horário; negativa se movemos no sentido horário. Ângulos coterminais Dois ângulos são coterminais se suas semirretas coincidem. Exemplo: Ângulos de 45, 315 e 765 são coterminais. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de / 19 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de / 19 Encontrando ângulos coterminais Exercício 4 Ângulos coterminais entre 0 e Qual ângulo entre 0 e 360 é coterminal a 542? 2 Qual ângulo entre 0 e 360 é coterminal a 419? 3 Qual ângulo entre 0 e 2π é coterminal a 13π/4? = = = 301. Indique a que ponto da circunferência unitária corresponde um arco de medida 3π/4. B 3 13π/4 2π = 5π/4. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de / 19 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de / 19
5 Exercício 5 Exercício 6 Ângulos coterminais entre 0 e 360 Qual ângulo entre 0 e 360 é coterminal a 977? Calcule o menor ângulo (em graus) entre os ponteiros de um relógio que marca 1 h = = Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de / 19 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de / 19 Exercício 7 Calcule a medida do ângulo θ da figura. Forneça a resposta em graus e em radianos 28, 65 ou 1/2 rad Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de / 19
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