Gabarito - Colégio Naval 2016/2017 Matemática Prova Amarela

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1 Gabarito - Colégio Naval 016/017 PROFESSORES: Carlos Eduardo (Cadu) André Felipe Bruno Pedra Jean Pierre QUESTÃO 1 Considere uma circunferência de centro O e raio r. Prolonga-se o diâmetro AB de um comprimento BC de medida igual a r e, de C, traça-se uma tangente que toca a circunferência em D. A perpendicular traçada de C, a BC, intersecta a reta que passa por A e D em E. Sendo assim, a área do triângulo ODE em função do raio é A B r C D E r r 4 6 r r 4 1 S ab. sen 1 S R. R. sen 10º 1 1 R S R. 4 GABARITO: [A]

2 Gabarito - Colégio Naval 016/017 QUESTÃO Sejam as operações e # definidas no conjunto dos inteiros positivos, tais que x y x y número resultante da expressão A B C D E e x y x xy # 1 1# 1# 1# # #1. Determine o sucessor do. Dada a equação x y x xy # 1, temos: 1# 1# 1# # #1 e os algoritmos x y x y e 1# # #1.11 Logo, 1# 1# 1# # #1 # #. 11 Temos, e # 1# 1# # #1 # 91 Sucessor 1 6 GABARITO: [D]

3 Gabarito - Colégio Naval 016/017 QUESTÃO Uma placa será confeccionada de modo que o emblema da empresa seja feito de um metal que custa R$,00 o centímetro quadrado. O emblema consiste em três figuras planas semelhantes que lembram três árvores. Para as bases dessas árvores, constroem-se segmentos de reta proporcionais a, 4 e. Se o custo da maior árvore do emblema ficou em R$ 800,00. Qual o valor, em reais, de todo o emblema? A B C D E Temos que S, S e S A B C são as áreas das três figuras planas semelhantes. A área SC cm. Logo, SA SB SC S A SB SC SA SB SC S A SB SC 0cm Portanto, Custo total C : C t t GABARITO: [A]

4 Gabarito - Colégio Naval 016/017 QUESTÃO 4 Um retângulo de lados medindo 6cm e 10cm deve ser dividido em triângulos retângulos que tenham pelo menos um lado com medida representada por um número inteiro. Quaisquer que sejam dois desses triângulos, eles terão, no máximo, um lado em comum. A maior quantidade de triângulos retângulos que se pode obter, nas condições apresentadas é: (A) menor do que 80. (B) exatamente 80. (C) maior do que 8- e menor do que 40. (D) exatamente 40. (E) maior do que 40. Traçando 1000 retas paralelas a base do retângulo equiespaçadas tal que formemos 1000 retângulos de base 10 e altura Traçando uma diagonal qualquer desses retângulos iremos dividir a figura em 000 triângulos retângulos congruentes de catetos 10 e Nesse sentido, traçando n retas paralelas a um dos lados obteremos n retângulos congruentes. Ao traçarmos uma diagonal qualquer, obteremos n triângulos retângulos congruentes. Para n suficientemente grande poderemos obter tantos triângulos retângulos quanto se queira.. GABARITO: [E]

5 Gabarito - Colégio Naval 016/017 QUESTÃO Seja o quadrado ABCD de lado. Traça-se, com centro no ponto M, médio do lado AB, uma semicircunferência de raio que intersecta os lados BC e AD, respectivamente, em E e F. A área da superfície externa à semicircunferência e que também é interna ao quadrado, é igual a: A B C D E S S S S S h ABCD AFM BEM Setor ( EFM ) º Sh com temos 60º S S h h., : 4 GABARITO: [B]

6 Gabarito - Colégio Naval 016/017 QUESTÃO 6 Dado o polinômio P 1 ax x t, com a,, t, a, determine a soma dos algarismos do número seguir, assinale a opção correta. (A) 0 (B) 1 (C) 10 (D) 8 (E) e sabendo que 1 w t a 0 1 P 1 0, e, a Temos, (i) (ii) P x ax x t P 1 0 a t 0 a t P 1 a t 1 a a 1 a 8 a 1 4 a 4 1 a a a e a, N a d 4 1,,,9,1, 4 a 16 4 V 4 a 1 4 F 1 Logo, t a w t a w S w 1zeros GABARITO: [E]

7 Gabarito - Colégio Naval 016/017 QUESTÃO 7 Adão, Beto e Caio uniram-se num mesmo investimento e combinaram que, em janeiro de cada ano, repartiriam o lucro obtido em partes diretamente proporcionais ao tempo de investimento e ao valor investido. Adão investiu R$10.000,00 há nove meses; Beto R$1.000,00 há oito meses e Caio R$1.000,00 há cinco meses. Se o lucro a ser repartido é de R$4.000,00, o maior recebimento será de (A) R$10.000,00 (B) R$1.000,00 (C) R$1.000,00 (D) R$18.000,00 (E) R$4.000,00 R$10.000, 00 R$1.000, 00 R$1.000, 00 A: B : C : 9 meses 8 meses meses L L L A B C LA L A LA LB LB LB 4000 LC LC 1000 LC maior recebimento GABARITO: [E]

8 Gabarito - Colégio Naval 016/017 QUESTÃO 8 Dados os conjuntos A f, g, h,, B g, h, construído a partir das seguintes informações:, C f, g e sabendo que X é I X A B C II X C f III B X g, h Pode-se afirmar que: (A) A X C B f, g (B) (C) (D) X A C f, g, A B X C g, h,, X A B C g h (E) A X B X g, h A f, g, h, B g, h, A B C f, g, h, C f, g f X X C f X f, g f g X g, h X B X g, h g, h, X g, h X f, X Agora analisaremos as alternativas: Alternativa A A X C B f, g A X f, g, h, f, A X g, h A X C g, h f, g A X C f, g, h A X C B f, g, h g, h, f FALSA

9 Alternativa B X A C f, g,,,,, X A f f g h X A Gabarito - Colégio Naval 016/017 X A C C X A C FALSA Alternativa C A B X C g, h A B f, g, h, g, h, A B f A B X f f, A B X f,,, A B X C f f g A B X C FALSA Alternativa D X A B C g, h, X A B f, f X A B f X A B C f, f, g X A B C f, g, FALSA Alternativa E A X B X g, h,,,,,,, B X g h f B X g h A X B X g h g h A X B X g h VERDADEIRA GABARITO: [E] QUESTÃO 9 Três pessoas A, B e C, que fizeram uma prova de múltipla escolha tiveram o seguinte resultado: A acertou 0% das questões, respondendo corretamente 9 das 1 primeiras e 1/ das questões restantes; B acertou 0% do total mais questões e C 0% do total menos uma questão. Com relação à quantidade de acertos, podemos afirmar: (A) A B C (B) (C) A B C (D) B 1 A C (E) AB C AB C

10 Gabarito - Colégio Naval 016/017 Temos as expressões para A, B e C: 1 A 9 t 1 0% t B0% t C0% t1 Em A temos, 1 9 t1 0% t t t 9 t t 6 t 6 10 t 0 Logo, A 0% t 0%0 10 B 0% t 0%.0 7 C 0% t1 0%.0 1 B 1 A C GABARITO: [D] QUESTÃO 10 Na divisão exata do número por 0, uma pessoa, distraidamente, dividiu por, esquecendo o zero e, dessa forma, encontrou um valor, unidades maior que o esperado. Qual o valor do algarismo das dezenas do número? A B C D E 1 4

11 Gabarito - Colégio Naval 016/017 K 0t K t, Logo, 0t t, 0t t11, 4t 11, 11, t, 4 0., 1 Alg. Dez. 1 GABARITO: [B] QUESTÃO 11 Analise as afirmativas abaixo: I Todo triângulo retângulo de lados inteiros e primos entre si possui um dos lados múltiplo de. II Em um triângulo retângulo, o raio do círculo inscrito é igual ao perímetro do triângulo menos a hipotenusa. III Há triângulos que não admitem triângulo ótico, ou seja, o triângulo formado pelos pés das alturas. IV O raio do círculo circunscrito a um triângulo retângulo é o dobro da hipotenusa. Assinale a opção correta. (A) (B) (C) (D) (E) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. Apenas as afirmativas I e IV são verdadeiras. Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. Apenas as afirmativas II e IV são verdadeiras. Apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras.

12 Gabarito - Colégio Naval 016/017 I) Como todo quadrado perfeito é congruente a 0, 1, ou 4 no módulo II), se a², b² e c² forem diferentes de 0 mod então a b c deixará restos 1,,,4 dessa forma nunca será verificado. Logo um dos lados do triângulo será múltiplo de.(verdadeiro) ( Falso) r p a a b c III) No triângulo retângulo o triângulo órtico degenera num segmento de reta. (verdadeiro) IV) a R (Falso) GABARITO: [A] QUESTÃO 1 Sejam x e y números reais tais que de 8 8 x y é xy. Sendo assim, o valor mínimo (A) múltiplo de 18. (B) um número primo. (C) divisível por. (D) divisível por 1. (E) par maior que Como x e y temos M x x A M y y G , : x. y x. y x y. x. y Temos, xy xy x y Logo, x y. x. y x y Mín. GABARITO: [A]

13 Gabarito - Colégio Naval 016/017 QUESTÃO 1 Seja A o conjunto solução da inequação x x x no universo dos reais. O conjunto A é A1, 1. B1, 1. C1, 1. D E1,., x x x M. M. C. x 1, x 1, x 1 x 1 x 1. Re strição : x1 0 x 1 x1 0 x 1 Logo, x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x1 x1 x x x / 1 1 / 1 1 1,1 A x x ou x A x x GABARITO: [C]

14 Gabarito - Colégio Naval 016/017 QUESTÃO 14 Observe a figura a seguir. A figura acima exibe nove pontos que são vértices, ou pontos médios de lados, ou centro de um mesmo quadrado. Esses pontos devem ser conectados com segmentos de reta, de modo que cada ponto seja extremidade de, no máximo, dois segmentos de reta. Deseja-se que a soma dos comprimentos de todos os segmentos de reta, assim traçados, seja a maior possível. O valor mais próximo dessa soma, em centímetros, é: (A) 10 (B) 11 (C) 1 (D) 18 (E) 0 Utilizando os nove pontos da figura e sabendo que de cada vértice só podemos traçar no máximo dois segmentos de reta, o número máximo de segmentos utilizados será a b c.1 cada tipo com abc , ou seja, devemos maximizar a soma em que a, b e c representam a quantidade de segmentos de - no máximo podemos traçar 8 segmentos de medida. 1º Caso) com a 8, obtemos a figura abaixo: A soma S dos segmentos será dada por S 8 17,88

15 Gabarito - Colégio Naval 016/017 º Caso) com A soma S dos segmentos será dada conforme raciocínio abaixo: a 7, obtemos a figura abaixo: Temos os segmentos : i A A A A A A A A A A A A A A O A A A9 A A A A A A 9 9 AA 1 9 AA 9 é retângulo : ii AA 6 1 A A A A A A AA 1 1 iii A A O 1 A1 A4 A AA 1 é retângulo :

16 Gabarito - Colégio Naval 016/017 Logo : S.7 1 S 1,6 11, 41 18,06 S 18 u. c. GABARITO: [D] QUESTÃO 1 Analise as afirmativas abaixo: x y z (I) Se 7 e (II) Se (III) Se x y z t x x x... x 1 x y z a e 1 10 x y z Assinale a opção correta. 8, então, então b, então t. x x x... x xy xz yz a b (A) Apenas a afirmativa I é verdadeira. (B) Apenas a afirmativa III é verdadeira. (C) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. (D) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. (E) Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras... x y z x y z t x y z t 0 1 t 0 t 1 FALSA 4 I 7 x y z x1 x x... x10 II 8 6 x1 x x... x x1 x x... x10 60 x1 x x... x VERDADEIRA 10 10

17 III x y z a x y z a x y z Gabarito - Colégio Naval 016/017 b x y z b x y z x y z xy xz yz a b xy xz yz 9 xy xz yz xy xz yz a b a b xy xz yz a b VERDADEIRA GABARITO: [C] QUESTÃO 16 Considere as divisões de números naturais, em que D é o divisor. A soma de todos os restos possíveis e pares dessas divisões é 18. Sabendo que D é ímpar e múltiplo de, o resto da divisão de (A) 0 (B) 1 (C) (D) 1 (E) 16 Restos possíveis na divisão por D : 0, 1,,,..., D 1 por D é D1 D D D 1 1 D 1 6 D 7 múltiplo de e ímpar Analisando módulo 7 temos 1998 é múltiplo de 7 : GABARITO: [B] QUESTÃO 17 Seja p x x 016x 017 um polinômio com x real tal que p6000 Sendo assim, o valor de p 7986 é.

18 Gabarito - Colégio Naval 016/017 (A) (B) 1 (C) (D) (E) 1 Por ser um polinômio do º grau, podemos calcular o vértice: b xv xv xv xv 1008 a.1 Além disso, o polinômio do º grau é simétrico em relação ao vértice. Logo, p 7986 p 6000 p GABARITO: [A] QUESTÃO 18 O conjunto solução da equação números reais, é: x x x x em, conjunto dos A. B1,. C D0,. E 1,. 1,. Re strições : R x x x x x 1 : R x x x x x x x : R : x 1 0 x 1

19 Gabarito - Colégio Naval 016/017 Temos, x x x x x x x x x x 1 1 x 1 x x 1 x1 x1 Como, f x f x f x 0 Logo : x 10 1 Solução S1 : x Solução final : 1 1 S1 R1 R R x / x, GABARITO: [E] QUESTÃO 19 Calcule o valor de correta. X , assinale a opção A B C D E

20 Gabarito - Colégio Naval 016/017 X X X , GABARITO: [E] QUESTÃO 0 Observe a figura a seguir. ABCD é um paralelogramo. E e F estão sobre os lados desse paralelogramo de tal forma que AE = CF = x < AD. Sendo assim, baseado na figura acima, assinale a opção correta. (A) Qualquer reta que intersecte dois lados de um paralelogramo o divide em dois polígonos de mesma área. (B) Qualquer reta que intersecte dois lados de um paralelogramo o divide em dois polígonos de mesmo perímetro. (C) A área de um trapézio é o produto de sua base média pela sua altura. (D) O dobro da soma dos quadrados das medidas dos lados paralelos de um trapézio é igual à soma dos quadrados das medidas de suas diagonais. (E) Para todo x, o segmento de reta EF é a metade do segmento de reta AB.

21 Gabarito - Colégio Naval 016/017 B b A h A B h Média. GABARITO: [C]