PROVA DE MATEMÁTICA _ VESTIBULAR DA FUVEST _ FASE 1. a) 37 b) 36 c) 35 d) 34 e) 33

Transcrição

1 PROV MTMÁTI _ VSTIBULR FUVST- 005 _ FS Professora MRI NTONI ONIÇÃO GOUVI 0) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. compra foi entregue, embalada em 0 caias, com frascos em cada caia. Sabendo-se que cada caia contina frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 50 etergentes por caia: de aroma limão e - de aroma coco. omo cada caia contém frascos: + = = 6 = compra foi entregue, embalada em 0 caias, logo, o total de frascos no aroma limão foi de 0 = 0. RSPOST: c 0) O menor número inteiro positivo que devemos adicionar a 987 para que a soma seja o quadrado de um número inteiro positivo é a) 7 b) 6 c) 5 d) e) O número 987 é tal que: ² < 987 < ². omo a questão pede o menor número inteiro positivo que devemos adicionar a 987 para que a soma seja o quadrado de um número inteiro positivo, este número é = 7. RSPOST: a

2 0) O Sr. Reginaldo tem dois filos, nascidos respectivamente em //000 e //00. m testamento, ele estipulou que sua fortuna deve ser dividida entre os dois filos, de tal forma que: () os valores sejam proporcionais às idades; () o filo mais novo receba, pelo menos, 75% do valor que o mais velo receber. O primeiro dia no qual o testamento poderá ser cumprido é: a) //0 b) //0 c) //05 d) //06 e) //07 idade $ Filo mais velo anos k Filo mais novo y anos ky 0,75k y 0,75 Pelos dados do problema vemos que >, = y + e y 0,75 y. classe de equivalência da fração é dada pelo conjunto: 6 9,,,,,,, 8 6 no qual o primeiro elemento da forma y que satisfaz às condições: >, = y + e y 0,75 é. 6 ntão o primeiro dia no qual o testamento poderá ser aberto é naquele em que os filos completarem 6 e anos, respectivamente. Ou seja no dia //06 RSPOST: d

3 0) Sabe-se que = é raiz da equação (cos α) (cos α sen ß) + sen ß= 0, sendo α e ß os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura abaio. α β Pode-se então afirmar que as medidas de α e ß são, respectivamente, a) π π e 8 8 b) π π e 6 c) π π e d) π π e 6 e) π π e 8 8 omo α e β são as medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, então cos α = sen β e sen α = cos β. e (cos α) (cos α sen ß) + sen ß= 0, temos: (cos α) 8(cos α cos α ) + cos α = 0 (cos α) 8(cos² α ) + cos α = 0 (cos α) 8(cos α )+ = 0 com cos α 0 por que α 90 Sendo = raiz da equação, então:(cos α) 8(cos α )+ = 0 6(cos α )+ = 0 cos α= α = π e β = 6 π. RSPOST: d.

4 05) Na figura, B e são triângulos retângulos, B =, B = e B =. B Logo, a medida de é a) b) 5 c) 7 d) e) - y B B Na figura acima foram destacados os triângulos retângulos, B e ( que são semelantes) e o triângulo, também retângulo, B. plicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo B : = + = B evido a semelança dos triângulos B e : = = = = B =. plicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo B : = 7 + =.

5 RSPOST: c 06) Supona que um fio suspenso entre duas colunas de mesma altura, situadas à distância d (ver figura), assuma a forma de uma parábola. d Supona também que. (i) a altura mínima do fio ao solo seja igual a ; (ii) a altura do fio sobre um ponto no solo que dista d de uma das colunas seja igual a Se =. 8 d,então d vale a) b) 6 c) 8 d) 0 e) onsideremos a parábola que tem como eio de simetria a reta =0, passando pelos pontos (- d, ), ( d, ), ( d, ), (- d, ) e (0,). y / -d/ -d/ 0 d/ d/ equação da parábola é do tipo y = a²+.

6 ad 6 Pelo gráfico temos: ad 6. + = + = ad ad + = = = = Sendo =. 8 d, então. 8 d = 6 d = 6. RSPOST: b. 07) Participam de um torneio de voleibol, 0 times distribuídos em caves, de 5 times cada. Na ª- fase do torneio, os times jogam entre si uma única vez (um único turno), todos contra todos em cada cave, sendo que os melores de cada cave passam para a ª- fase. Na ª- fase, os jogos são eliminatórios; depois de cada partida, apenas o vencedor permanece no torneio. Logo, o número de jogos necessários até que se apure o campeão do torneio é a) 9 b) c) d) 5 e) 7 ada cave terá 5 times que jogam entre si uma única vez, logo o total de.5. jogos na primeira fase será:. 5 = = 0. Para a segunda fase passarão 8 times.omo os jogos são eliminatórios, e depois de cada partida, apenas o vencedor permanece no torneio, o total de jogos nesta fase será a metade de 8, ou seja. Na fase semifinal, cujos jogos são também eliminatórios, teremos jogos. Na fase final apenas jogo. Um total, então de 0+++ = 7 jogos. RSPOST: e

7 08) soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo eqüilátero aos seus lados é 9. ssim, a medida do lado do triângulo é a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 Seja O o ponto interior ao triângulo eqüilátero B. sejam, y e z as distâncias deste ponto aos lados, B e B. Pela informação do problema, +y+z = 9. área do triângulo B é igual à soma das áreas dos triângulos OB, O e BO. Logo: a = 6 RSPOST: b a a ay az = + + a ( + y + z) = 09) figura abaio mostra uma pirâmide reta de base quadrangular B de lado e altura F =. a = 9

8 Sendo G o ponto médio da altura F e α a medida do ângulo ĜB, então cos α vale a) b) c) d) 5 e) 6 Na figura ao lado o triângulo MFG é retângulo e isósceles, pois MF = FG = 0,5, logo MG = 0,5 α α cos = e sen = cos 6 α = 6 cos α = =. 9 9 RSPOST: b Sendo o triângulo B, isósceles, então o segmento GM é bissetriz do ângulo ĜB = α. O triângulo MBG nos leva a concluir que tg α 0,5 = =. 0,5 α omo tg α + = sec, sec α = + α 6 sec = 6 -

9 0) Os pontos e pertencem ao gráfico da função y = log a, com a > (figura abaio). Supona que B = (, 0), = ( +, 0) e = (, 0). ntão, o valor de, para o qual a área do trapézio B é o triplo da área do triângulo B, é a) + b) c) + 5 d) + 5 B y = log a e) + 5 omo os pontos e pertencem ao gráfico da função y = log a, com a >, então = (, log a ) e = (+, log a (+)). y log a log (+) a B (B + )B B.B Pelos dados do problema: =. [ log + log ( + )]..log a a a =. / / log [( )] log a + = a que só tem solução para > 0. ontinuando: log [( + )] = log ²+ = ³ ³ - ² - = 0 = 0 a a 5 (não pertence ao domínio da função) ou ² - = 0 = (não + 5 pertence ao domínio da função) ou = ( solução da questão). RSPOST: a

10 ) Sejam a e b números reais tais que: (i) a, b e a + b formam, nessa ordem, uma P; (ii) a, 6 e b formam, nessa ordem, uma PG. ntão o valor de a é a) b) c) 5 d) 7 e) 8 a + a + b = b a = b a = b a a 8 a a b + = = a + b 8. = 6 = a + b = 8 RSPOST: e ) Na figura, B é um quadrado de lado, B e são arcos de circunferências de raio. 8 B Logo, a área da região acurada é a) b) c) d) e) π + 6 π + π 6 + π π

11 B nalisando a figura acima vemos que a área pedida ( a cinza) é dada pela seguinte diferença: Área quadrado B ( Área triângulo +.Área sector de 0 ) S = 0 π + π = 60 6 RSPOST: c