XXXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 2 (8º. ou 9º. anos) GABARITO

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1 XXXI OLIMPÍ RSILEIR E MTEMÁTI PRIMEIR FSE NÍVEL (º ou 9º anos) GRITO GRITO NÍVEL ) 6) ) 6) ) E ) 7) ) 7) ) ) ) ) E ) ) 4) 9) 4) E 9) 4) ) 0) ) 0) ) ada questão da Primeira Fase vale ponto (Total de pontos no Nível = pontos) guarde a publicação da Nota de orte de promoção à Segunda Fase no site: wwwobmorgbr () Se um oitavo do número é, então esse número vale, de modo que desse número é = () Para quadruplicar a área, devemos dobrar o lado do hexágono, como na figura abaixo: ssim a quantidade de palitos adicionais, em preto na figura, é 0 () Seja o casal e o casal É fácil ver que podemos permutar os dois casais nos bancos, ou seja, teremos as seguintes configurações: e lém disso, podemos trocar as posições do marido e da mulher em cada casal Pelo princípio multiplicativo temos = 4 () 4 = 4 x+ = x+ 6 = = x+ 4 4 x+ 6 () Possível caminho: XXXI Olimpíada rasileira de Matemática Primeira Fase Gabarito Nível wwwobmorgbr

2 É impossível começar pelas casas o u, basta ver as situações abaixo: XXXI Olimpíada rasileira de Matemática Primeira Fase Gabarito Nível wwwobmorgbr

3 m () omo m = 0n = e a fração é irredutível, m = 4k e n = k, k inteiro n positivo ssim, mn = k, que é múltiplo de Tomando k =, verificamos que as demais alternativas são incorretas 7 () Seja XYZ um número de três dígitos que detona 4 evemos ter X = 4,, 6, 7, ou 9; Y =,,, 9 e Z =, 6, 7, ou 9 Portanto, temos 6 opções para o primeiro dígito, para o segundo e para o terceiro Ou seja 6 = 4 0 () Veja que Nelly e Penha pegam juntas + = da barra Portanto, os 70 gramas de 4 0 Sônia representam 7 0 da barra essa forma, o peso da barra será = gramas 9 () soma máxima dos pontos é 6 0= 60 e portanto em no máximo três lançamentos o número é obtido não é o máximo ssim, em pelo menos sete lançamentos o número é obtido é o máximo 6 0 () circunferência de centro e raio contém os pontos, e E Logo a medida do ângulo inscrito E é igua l a metade da media do ângulo central E, ou seja, α β = = α = () Para que a primeira e a quarta cartas fiquem pretas, são necessários pelo menos dois movimentos Por outro lado, com apenas dois movimentos, a segunda carta seria preta ssim, a quantidade mínima é três, conforme o exemplo abaixo: () s medidas dos ângulos internos de um triângulo equilátero, de um quadrado e de um ( ) 0 pentágono regular são, respectivamente, 60, 90 e = 0 ssim, m HE = = 0 ( ) ( ) Temos ainda que o triângulo HE é isósceles com H = E e portanto, 0 0 β+β+ 0 = 0 β= = 9 (E) omo temos 4+ 0= 4 torcedores não corintianos, na fila deve existir, sempre entre dois torcedores corintianos, exatamente um torcedor de outra equipe 4 (E) Traçando uma paralela a p o r Q, temos que Área(Q) = Área (QM) Logo Q é ponto médio de XXXI Olimpíada rasileira de Matemática Primeira Fase Gabarito Nível wwwobmorgbr

4 M Q P essa forma os triângu los Q e QP são congruentes e com isso, P = = () Para obtermos a maior difer ença possível devemos tomar o maior e o menor primo cuja soma seja 6 omo = 4, =, 9= 7 7,=, tal represent ação é +, cuja diferença é = 00 6 () Temos que R= RS = S = Sabemos ainda que, como E é ponto médio de, a altura do triângulo ER com relação à base R é igual à metade da altura do triângulo com relação à base e, consequentemente, área ( ER) = área ( ) = área ( ) 6 nalogamente, área ( FS ) = área ( ) = = () Para x e y reais: x y = 0 x= y x= y + = 0 ou x y = 0 y y = 0 ( x y ) ( x y ) ( y = ou y = ) ( x= e y = ) ( x= 4 e y = ) () pós completas a tabela, teremos quatro s em cada linha omo temos linhas, teremos 4= 7 s em toda a tabela Se a quantidade de s é a mesma em cada coluna, e temos seis colunas, teremos 7 6 = s por coluna 9 () Inicialmente, podemos observar que: omo 6 = 969 e 64 = 4096, 6 < 40< < < ( 009+ ) Logo, entre os inteiros positivos n+ 40, n =,,, 0 0 9, encontramos os quadrados perfeitos 64, 6,, 009, isto é, = ao todo 0 () S = = S = = ( ) = S S = = ( ) = S S = = 0( ) = 0S 0 XXXI Olimpíada rasileira de Matemática Primeira Fase Gabarito Nível wwwobmorgbr

5 Logo S + S + S + + S = S + S + S S = ( ) S = S S = = 0 0 (E) distância mínima entre os dois círculos é determinada pelo segmento que une os seus centros Observando, então, a figura abaixo, concluímos que tal distância é igual a ( ) 0 + = cm cm cm cm cm () Listando todas as potências menores ou iguais a 00: Quadrados:,,, 0 ubos:,, 4 = emais potências: = 4, = 9,, = Portanto naturais podem ser escritos na forma indicada () figura abaixo mostra todos os pontos amarelos, que são dois triângulos de área 4 = 44 essa forma, a área total é 4 () onsiderando que x, y e z são inteiros positivos, da equação 9 = z(x + y ) chegamos as seguintes possibilidades (z = e x + y = ) ou (z = e x + y = 9) Porém 0 < x < y z e, portanto, z =, y = e x = ssim, t = w (y + z) = 9( + ) = 4 () onsidere a quanti dade de cubos no quadradinho central da vista de cima apresentada na alternativa Esse é o único do meio da vista da frente e portanto deve ter cubo; esse é também o único do meio da vista da e portanto deve ter cubos, o que não é possível Então a vista de cima não pode ser a que está apresentada na alternativa s figuras a seguir indicam possíveis quantidades de cubos em cada quadradinho da vista de cima das demais alternativas ) ) ) E ) frente frente frente frente XXXI Olimpíada rasileira de Matemática Primeira Fase Gabarito Nível wwwobmorgbr