Exercícios de Aprofundamento Mat Polinômios e Matrizes

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1 . (Unicamp 05) Considere a matriz A A e A é invertível, então a) a e b. b) a e b 0. c) a 0 e b 0. d) a 0 e b. a 0 A, b onde a e b são números reais. Se. (Espcex (Aman) 05) O polinômio q(x) x x deixa resto r(x). Sabendo disso, o valor numérico de r( ) é a) 0. b) 4. c) 0. d) 4. e) 0. 5 f(x) x x x, quando dividido por. (Unicamp 05) Seja (a,b,c,d) uma progressão geométrica (PG) de números reais, com razão q 0 e a 0. a) Mostre que x é uma raiz do polinômio cúbico p(x) a bx cx dx. q b) Sejam e e f números reais quaisquer e considere o sistema linear nas variáveis x e y, a c x e. Determine para que valores da razão q esse tem solução única. d b y f 4. (Espcex (Aman) 04) O elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz inversa da 0 matriz 0 é: 0 a) b) c) 0 d) e) 5. (Unesp 04) Considere a equação matricial A + BX = X + C, cuja incógnita é a matriz X e todas as matrizes são quadradas de ordem n. A condição necessária e suficiente para que esta equação tenha solução única é que: a) B I O, onde I é a matriz identidade de ordem n e O é a matriz nula de ordem n. b) B seja invertível. c) B O, onde O é a matriz nula de ordem n. d) B I seja invertível, onde I é a matriz identidade de ordem n. e) A e C sejam invertíveis. Página de

2 a 6. (Unicamp 04) Considere a matriz M b a, onde a e b são números reais distintos. b Podemos afirmar que a) a matriz M não é invertível. b) o determinante de M é positivo. c) o determinante de M é igual a a b. d) a matriz M é igual à sua transposta. 7. (Unicamp 04) Considere a matriz a A 0 b, c 0 onde a, b e c são números reais. a) Encontre os valores de a, b e c de modo que T A A. b) Dados a e b, para que os valores de c e d o sistema linear soluções? x A y z d tem infinitas 8. (Fuvest 04) Os coeficientes a, b e c do polinômio p(x) x ax bx c são reais. Sabendo que e αi, com α 0, são raízes da equação p(x) 0 e que o resto da divisão de p(x) por (x ) é 8, determine a) o valor de α ; b) o quociente de p(x) por (x ). i é a unidade imaginária, i. 9. (Unesp 04) O polinômio P(x) a x x b é divisível por x e, quando divisível por x +, deixa resto 45. Nessas condições, os valores de a e b, respectivamente, são a) e 4. b) e. c) e. d) e 6. e) e. 0. (Espcex (Aman) 04) Sabendo que é uma raiz do polinômio então o conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão é: a) {x / x } b) {x / x } c) {x / x ou x } d) {x / x } e) {x / x e x } P(x) x 5x x, P(x) está definida. (Unesp 04) Sabe-se que, na equação x 4x x 6 0, uma das raízes é igual à soma das outras duas. O conjunto solução (S) desta equação é Página de

3 a) S = {,, } b) S = {,, + } c) S = {+, +, + } d) S = {, +, + } e) S = {, +, + }. (Fgv 0) Sabendo que a inversa de uma matriz A é A, 5 e que a matriz X é solução da equação matricial X A B, B 8, podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz X é a) 7 b) 8 c) 9 d) 0 e) em que. (Fgv 0) Um determinado produto deve ser distribuído a partir de fábricas para 4 lojas consumidoras. Seja C (c ij) 4 a matriz do custo unitário de transporte da fábrica i para a loja j, com c ij (i j). Seja B (b ij) 4 a matriz que representa a quantidade de produtos transportados da fábrica i para a loja j, em milhares de unidades, com bij i j. a) Determine as matrizes C (c ij) 4 e b) Sendo D 4 que X B D e y. ij e t B sendo que t B é a transposta da matriz B (b ij) 4. E 0 0, determine as matrizes X (x ij) e Y (y ij) tais t Y E (C B ). Em seguida, determine o significado econômico de x ij e de 4. (Fuvest 0) Sejam α e β números reais com π α π e 0 β π. Se o sistema de equações, dado em notação matricial, 6 tg α 0, 6 8 cos β for satisfeito, então α β é igual a a) b) π π c) 0 d) 6 π e) π 6 5. (Unicamp 0) Considere a matriz A α α α que depende do parâmetro real Página de

4 α 0. a) Calcule a matriz A A α α. b) Um ponto no plano cartesiano com as coordenadas x é transformado pela matriz y um novo ponto da seguinte forma: x αy x' x α. ' A y y x y α x 6 Calcule o valor de α, sabendo que o sistema A α admite solução. y 6. (Fgv 0) O total de matrizes distintas que possuem apenas os números,,, 4, 5,..., 5, 6 como elementos, sem repetição, é igual a a) (4!) 4 b) 6.4! c) 5.6! d) (6!) 5 e) 6 6 A α em 5 x y 4 7. (Espcex (Aman) 0) Considere as matrizes A x e B. y Se x e y são valores para os quais B é a transposta da Inversa da matriz A, então o valor de x y é a) b) c) d) 4 e) 5 8. (Insper 0) Considere as matrizes são as soluções não nulas da equação a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 0. 0 A, 0 0 A Y B X, 0 0 B, 80 x X y e então x y é igual a x Y. y Se x e y 9. (Espcex (Aman) 0) Um polinômio q(x), do º grau, é definido por q x ax bx c, com a, b e c reais, a 0. Dentre os polinômios a seguir, aquele que verifica a igualdade qx q x, para todo x real, é a) b) c) d) q x a x x c q x a x x c q x a x x c q x a x x c e) q x a x c Página 4 de

5 Gabarito: Resposta da questão : [B] Sabendo que A I A e temos com A A I, I sendo a matriz identidade de segunda ordem, A A A A A A A A A A A I I A I. Por conseguinte, segue que a e b 0. Resposta da questão : [A] 5 4 x 0x x x 0x x 0x x 5 4 x 0x x x x x x 0x x 0x 6x 4 Portanto, x 6x r(x) x 6x e Resposta da questão : a) Tem-se que b aq, c aq e r( ) ( ) 6( ) 0. d aq. Logo, vem p a aq aq aq q q q q a a a a 0. Por conseguinte, x é uma raiz do polinômio p(x). q b) De (a), obtemos a c x e a aq x e. d b y f aq aq y f Sabendo que a 0, q 0 e q, o sistema terá solução única se, e somente se, Página 5 de

6 a aq aq aq 5 0 a q a q 0 a q( q )( q ) 0. Portanto, além de q 0, deve-se ter q. Resposta da questão 4: [A] Considere a matriz B a inversa da matriz 0 Det(A) A 0, 0 logo b será dado por: b A Resposta da questão 5: [D] A + BX = X + C, BX = X + C A BX X = C A X(B I) = C A (I é a matriz identidade de ordem n) X = (C A).(B I) - Portanto, será necessário que B I seja invertível, onde I é a matriz identidade de ordem n. Resposta da questão 6: [B] Temos a detm b a b a b ab ab (a b). Logo, sabendo que a b (o que implica em M não ser simétrica), tem-se (a b) 0 para quaisquer a e b reais distintos, ou seja, o determinante de M é positivo. Em consequência, M é invertível. Página 6 de

7 Resposta da questão 7: t a) Se A A, então A é antissimétrica. Logo, deve-se ter a 0, b e c. x b) Se a e b, a matriz ampliada do sistema A y é 0. Logo, z d c 0 d efetuando as operações elementares sobre essa matriz, obtemos a matriz equivalente c c d 4 Por conseguinte, o sistema possui infinitas soluções se c 0 e d 4. Resposta da questão 8: a) Como os coeficientes de p(x) são números reais, segue-se que suas raízes são, αi e αi. Logo, p(x) (x ( ))(x ( αi))(x ( αi)) (x )(x x α ). Sabendo que o resto da divisão de p(x) por (x ) é 8 e α 0, pelo Teorema do Resto, vem p() 8 ()( α ) 8 α 4 α. b) Utilizando os resultados obtidos em (a), segue que o quociente de p(x) por x é p(x) (x )(x x 5) x x 5. x x Resposta da questão 9: [E] De acordo com o Teorema do Resto e as informações do problema, temos que: P() = 0 e P( ) = 45. Resolvendo o sistema abaixo, temos: 8a 4 b 0 7a 6 b 45 Multiplicando a primeira equação por e somando com a segunda temos: 5a = 5, ou seja, a =. Substituindo a = na primeira equação, temos: b = 0, ou seja, b =. Resposta da questão 0: [C] Página 7 de

8 Já que é raiz, podemos utilizar do dispositivo de Briot-Ruffini para determinar as outras raízes e então fazer o estudo do sinal dessa função polinomial. Logo, P(x) ( x ) ( x x), fazendo outras duas raízes. x temos x = ou x = -/, que são as x 0, Fazendo agora o estudo do sinal do polinômio P(x), temos: A expressão P(x) estará definida para P(x) 0, ou seja, x / x ou x Resposta da questão : [B] Sejam r, s e t as raízes da equação x 4x x 6 0 e considere que r = s + t. Utilizando a relação de soma de Girard, temos: 4 r s t r r 4 r Concluímos então que dois é uma de suas raízes. Dividindo, agora x 4x x 6 por (x ) Página 8 de

9 x 4x x 6 (x ) (x x ) 0 x 0 x x x x ou x Logo, S = {,, + }. Resposta da questão : [A] Sabendo que com I sendo a matriz identidade de ordem, temos A A I, X A B X A A B A X I B A X 8 5 X X 9. Por conseguinte, a soma pedida é igual a 9 ( ) 7. Resposta da questão : a) Temos ( ) ( 6) ( 9) ( ) C (4 ) (4 6) (4 9) (4 ) (6 ) (6 6) (6 9) (6 ) e B Daí, 4 t 4 5 B b) A matriz X é tal que Página 9 de

10 4 5 X Cada x ij indica o número total, em milhares de unidades, de produtos transportados da fábrica i para todas as quatro lojas. A matriz Y é dada por Y y indica o custo total com transporte, da fábrica, para as quatro lojas; e y k, com k, indica o custo total que a fábrica teria para transportar a produção das fábricas e para as quatro lojas. Resposta da questão 4: [B] Efetuando o produto matricial, vem 6 tg 0 tg 6cos cos 6 tg 8cos tg 6cos 0 tg 4cos Desse modo, cos cos rad. 6 Página 0 de

11 tg 6cos 0 tg 6 rad e, portanto, rad. 6 6 Resposta da questão 5: α α α a) Aα A α α α α α α 0 α α 0 A α A α b) α x 6. y α x αy 6 x y α x αy 6 x y α Multiplicando a segunda equação por α e somando com a primeira, temos: = α 6; portanto, para que a equação tenha solução, o valor de α deverá ser. Resposta da questão 6: [C] Existem 5 matrizes com 6 elementos: 6, 8, 4 4, 8 e 6. Logo, como em cada uma dessas matrizes podemos dispor os elementos, sem repetição, de P6 6! modos, segue-se que o resultado é 5 6!. Resposta da questão 7: [C] Considere a matriz M dada por 5 0 M. x 0 Aplicando as operações elementares sobre a matriz M, obtemos Página de

12 L L x 0 M' 5 0 L '' ( ) L ' L ' x 0 M'' 0 x 5 L ''' L '' x 5 x 0 M''' 0 x 5 x 5 L '''' ( x) L ''' L ''' x 5 0 x 5 x 5 M''''. 0 x 5 x 5 Desse modo, A x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 e, portanto, x t x 5 x 5 (A ). 5 x 5 x 5 Se B é a transposta da inversa de A, então Portanto, x y 5 7. x x y 4 x 5 x 5 x 5 y 5 5 y x 5 x 5 x 5 x. y 5 Resposta da questão 8: [C] Sabendo que x 0 e y 0, vem Página de

13 0 0 x 0 x 0 A Y B X 0 0 y 8 0 y 0 x y 0 y 8x 0 x y 0 y 8x 0 x y 0 y 8x 0 y x x(x 8) 0 x. y 4 Portanto, x y ( ) ( 4) 8. Resposta da questão 9: Questão anulada no gabarito oficial. Se q(x) q( x), então ax bx c a( x) b( x) c ax (a b)x a b c. Assim, obtemos o sistema b a b a b a b c c a b a a 0 a 0 e b 0 ou a e b Dado que a 0, segue que a e b. Portanto, lado, como a a, vem que as alternativas [B] e [C] estão corretas. q(x) x x c a(x x) c. Por outro Página de

Resolução: P(i) = 2. (i) 4 (i) 3 3(i) 2 + (i) + 5 = 2 + i + 3 + i + 5 = 10 + 2i. Resolução: Resolução:

Resolução: P(i) = 2. (i) 4 (i) 3 3(i) 2 + (i) + 5 = 2 + i + 3 + i + 5 = 10 + 2i. Resolução: Resolução: EXERCÍCIOS 01. Calcule o valor numérico de P(x) = 2x 4 x 3 3x 2 + x + 5 para x = i. P(i) = 2. (i) 4 (i) 3 3(i) 2 + (i) + 5 = 2 + i + 3 + i + 5 = 10 + 2i 02. Dado o polinômio P(x) = x 3 + kx 2 2x + 5, determine

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