Funções reais de variável real

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1 Funções reais de variável real Função exponencial e função logarítmica 1. Determine a base de cada logaritmo. log a 36 = 2 (b) log a (25a) = 5 (c) log a 4 = Considere x = log 10 2 e y = log Determine o valor de cada logaritmo, em função de x e de y. log 10 6 (b) log 10 (4/3) (c) log Mostre que log a (x + x 2 1) = log a (x x 2 1). 4. Determine os valores de x que satisfazem cada equação. ln (1 + x) = ln (1 x) (b) e x + e x 2 = 1 (c) 2 x + 2 x+2 = 80 (d) 3 2x 1 = 3 (e) 3 lne 3x = 0 (f) e x 3e x + 2 = 0 (g) 3 2x = 2 3x (h) 2 x2 5x = Determine a solução das seguintes inequações. ln (x 2) > ln (x 1) ln 5 (b) log 1/3 (x + 3) > 3 6. Calcule os ites. x (2x 2 x 1 2 x ) (b) (c) x x x + (2x 3 x ) 7. Apresente um esboço do gráfico de cada função. f(x) = 1 + e x (b) f(x) = 1 e x (c) f(x) = e x+1 (d) f(x) = 3 x 2 (e) f(x) = e 1/x 8. Caracterize a função inversa indicando o domínio e o contradomínio. f(x) = x 1 (b) f(x) = 3 + log 3 (x + 5) Engenharia Electrotécnica ( ) 1

2 Funções hiperbólicas 9. Verifique as seguintes identidades. sinhx = sinh ( x) (b) coshx = cosh( x) (c) cosh 2 x sinh 2 x = 1 (d) sinhx + coshx = e x (e) coshx sinhx = e x (f) sinh (x + y) = sinhx coshy + coshx sinhy (g) cosh(x + y) = coshx cosh y + sinhx sinhy 10. Caracterize a função inversa indicando o domínio e o contradomínio. f(x) = sinhx (b) f(x) = coshx Engenharia Electrotécnica ( ) 2

3 Cálculo diferencial 11. No ponto indicado, calcule por definição a derivada de cada função. f(x) = x, a = 2 (b) f(x) = x 2, a = Calcule por definição a derivada das funções. f(x) = c (b) f(x) = x 3 (c) f(x) = x (d) f(x) = e x (e) f(x) = sinx 13. Mostre que f(x) = x 4 não tem derivada em x = Mostre que f(x) = { x se x < 1 2x + 1 se x 1 tem derivada no ponto x = Determine a derivada de cada função. 3x 3 5x + 4 (b) 30 x 4 (c) (3x 2 5)lnx (d) cosx 3 x (e) x 3 + 3x 2x + 1 (f) sinh x (g) cosh x (h) tan x (i) cotg x (j) sinx 1 + cosx (l) tan (x 1) secx (m) log a x (n) lnx x 2 (o) x 2 lnx + 2 e x (p) xe x cosx (q) 3 x x Seja g(x) = f(e 3x ) onde f indica uma função diferenciável. Calcule g (0) sabendo que f (1) = Seja g(x) = xf(x 2 2) onde f é uma função diferenciável. Sabendo que f( 1) = 2 e f ( 1) = 3, calcule g (1). Engenharia Electrotécnica ( ) 3

4 18. Determine a derivada de cada função. cos(3x) (b) 5 7x (c) 1 6x + 5 (d) (x 2 + x + 1) 5 (e) cose x (f) cos(2x) sin(5x) (g) e tan x (h) ln (sec x + tanx) (i) cos(2x) (j) sin (cosx) (l) ln (ax + b) (m) log a (x 2 + 1) (n) ln ( ) 1 + x 1 x (o) x 3 e 4x+5 (p) 10 a2 x 2 (q) x x (r) x ln x (s) e x ln (sinx) (t) ln (1 x 2 ) (u) e x (v) ln (ln x) (x) log 3 (x 2 3) (z) e cos2 x (a1) 4 3x + log 5 x 2 (b1) sin (2x 3 ) (c1) (sin (2x)) Seja f uma função diferenciável que satisfaz as condições f(2) = 1 e f (2) = 5. Determine as equações da recta tangente e da recta normal ao gráfico de f no ponto de abcissa Obtenha a equação da recta tangente e a equação da recta normal ao gráfico de f(x) = e 3x 1, no ponto de ordenada Determine a equação da recta tangente ao gráfico de f(x) = x 2 + 1, que é paralela à recta y = 2x Considere a função f(x) = x + cosx. Calcule todos os pontos onde a tangente ao gráfico de f tem declive nulo. 23. Considere f(x) = { x 2 se x 1 x se x > 1 e determine as funções f e f. Apresente um esboço do gráfico das funções f, f e f. 24. Apresente o esboço de uma função contínua f, que na vizinhança de um ponto x 0 Df, satisfaz as condições f(x 0 ) = 2, f (x 0 ) > 0, f (x 0 ) = 0 e f (x 0 ) = 1. Engenharia Electrotécnica ( ) 4

5 25. Determine a derivada de ordem n, n N, de cada função. f(x) = e x (b) f(x) = (x + 1)e x (c) f(x) = 1/x (d) f(x) = sin x 26. Determine o polinómio p de grau 2 que satisfaz as condições p(1) = 5, p (1) = 3 e p (1) = Determine a derivada das funções. arcsin(x/2) (b) arcsin ( tan x 2) (c) arccos ( ) 1 x 2 (d) x arccotg x (e) arcsin(sin x cosx) (f) arccos(1/x) (g) arctan x x (h) arcsin(lnx) (i) x 2 arctanx Mostre que a equação cosx = 2x tem uma única raiz no intervalo [0, π/4]. 29. Determine para que valores de c R é que a equação x 3 + 3x 2 9x + c = 0 tem uma única raiz real. 30. Verifique que x = 0 é a única raiz real da equação e x = 1 + x. 31. Verifique que a recta de equação y = x intersecta o gráfico da função f(x) = x 3 6x 2 + 8x. Mostre que a recta é tangente ao gráfico de f e determine o ponto de tangência. 32. Mostre usando o teorema de Rolle que existe um ponto no intervalo ]π, 2π[ onde a recta tangente ao gráfico da função f(x) = e sin x é horizontal. 33. Usando o teorema de Lagrange, mostre que existe um ponto no intervalo ] π/2, 0[ onde a recta tangente ao gráfico de f(x) = e x cosx tem declive 2/π. 34. Considere a função f(x) = x 2 2x+1. Mostre que f verifica as condições do teorema de Lagrange no intervalo [0, 4] e determine o ponto c indicado pelo teorema. 35. Sejam a, b R tais que a < b. Mostre, utilizando o teorema de Lagrange, que arctanb arctana b a. 36. Mostre, usando o teorema de Rolle, que a equação tanx = 1 x tem uma única solução no intervalo ]0, 1[. Engenharia Electrotécnica ( ) 5

6 37. Confirme os seguintes resultados aplicando a regra de Cauchy. sin x e x 1 = 1 (b) = 1 x 0 x x 0 x (c) cosx + 2x 1 = 2 x 0 3x 3 (d) lnx x + x = 0 (e) (g) x 0 (1 + x) 1 x = e (f) x 0 e x + e x 2 1 cos(2x) = 1 2 x + e 2x ( = + (h) ) x x2 x + x 2 = 1 (i) e 1 x x 0 + cotg x = + (j) x π 2 2x π cosx = 2 (l) ( 1 x 0 xsin x = 1 (m) + x 0 sin x 3 ) x 2 = Acréscimos e diferenciais 38. Considere as funções f(x) = x 2 e g(x) = 1/x e o ponto x = 1. Determine para cada função, expressões para as quantidades y, dy e y dy, correspondentes ao acréscimo x > 0 de x. Interprete graficamente. 39. Determine o diferencial de cada função. 2x + 1 (b) x x + 1 (c) (x 2 2) 2 (d) x + 1 x 40. Considere a função y = x 2 e determine os valores de y e dy para x = 2 e dx = 1. Compare com os valores obtidos quando dx = Seja A(r) = πr 2 a função que fornece a área de um círculo de raio r. Determine A, da e interprete A da. 42. A área de um quadrado de lado x é dada por A(x) = x 2. Identifique geometricamente: a região cuja área é da (b) a região cuja área é A da Engenharia Electrotécnica ( ) 6

7 43. Use diferenciais para aproximar as seguintes quantidades (b) 15.8 (c) tan (31 ) (d) cos(46 ) (e) 0.01 cos(0.01) 44. Utilize diferenciais para determinar uma estimativa para o aumento no volume de um cubo de aresta igual a 10cm, quando esta aumenta de 0.1cm. 45. A medida da aresta de um cubo é 25cm com erro não superior a 0.002cm. Determine uma estimativa para o erro máximo cometido no cálculo da área da superfície do cubo. 46. Mostre que, se y = f(x) é uma função diferenciável, então y dy = ε x onde ε depende de x e x, e ε 0 quando x 0. Aproximação de funções por polinómios de Taylor 47. Para cada função, determine o polinómio de Taylor de grau n na vizinhança do ponto x 0. f(x) = e x para n = 4 e x 0 = 0 (b) f(x) = e x para n = 4 e x 0 = 1 (c) f(x) = lnx para n = 3 e x 0 = 1 (d) f(x) = x para n = 3 e x 0 = 4 (e) f(x) = sin x para n = 5 e x 0 = 0 (f) f(x) = ln (1 + x) para n = 2 e x 0 = Determine a derivada de ordem n, n N, de cada função. f(x) = xe x (b) f(x) = cosx (c) f(x) = sin (2x) 49. Determine a fórmula de Mac-Laurin com resto de ordem n, para cada função do exercício Determine o grau do polinómio de Mac-Laurin de e x, que é necessário para calcular um valor aproximado do número e, com erro inferior a Engenharia Electrotécnica ( ) 7

8 51. Utilize um polinómio de Taylor de grau 2, para determinar um valor aproximado de cada expressão. Calcule um majorante para o erro cometido em cada aproximação. 0.8 (b) ln (1.25) (c) 3 e (d) sin(π/5) Métodos numéricos de resolução de equações não lineares 52. Localize graficamente as raízes reais de cada equação. sin x x 2 = 0 (b) e x x = 0 (c) cosx x 3 = 0 (d) x 1 + lnx = Efectue três iterações do método da bissecção para aproximar a solução de menor valor da equação e x 3x = 0. Calcule um majorante para o erro cometido na aproximação. 54. Efectue duas iterações do método da bissecção para obter uma aproximação de 3 5. Indique qual a precisão do resultado obtido. 55. Utilize o método da bissecção para aproximar a solução da equação x 3 x 1 = 0, com erro absoluto não superior a Utilize o método da bissecção para aproximar a solução da equação x 2 x = 0, com erro absoluto não superior a Considere a função f(x) = x lnx 2. Localize graficamente e analiticamente as raízes da equação f(x) = 0. (b) Aplique duas iterações do método da bissecção para aproximar a solução de menor valor da equação. (c) Aplique duas iterações do método de Newton-Raphson para aproximar essa solução. Utilize o resultado da alínea anterior como aproximação inicial. 58. Mostre graficamente e analiticamente que a equação sin x = e x tem uma única solução no intervalo [0, 1]. (b) Aplique o método de Newton-Raphson para aproximar essa solução com erro inferior a Localize graficamente todas as soluções da equação x 2 1 ln (x + 1) = 0. Aproxime a solução de maior valor usando o método de Newton-Raphson com precisão de Localize graficamente todas as soluções da equação x cosx = 0. Aproxime a solução de maior valor usando o método de Newton-Raphson com precisão de Engenharia Electrotécnica ( ) 8

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