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1 INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU Departamento Matemática Disciplina Matemática I Curso Gestão de Empresas Ano 1 o Ano Lectivo 2007/2008 Semestre 1 o Apontamentos Teóricos: Determinantes Autores: Maria Cristina Peixoto Matos Nuno Conceição Joana Fialho Paula Sarabando 1

2 4. Determinantes 4.1. Definição e Propriedades Definição 1 O determinate de uma matriz quadrada A de ordem 2 é, por definição, a aplicação det : M 2 2 (IR) IR [ ] a11 a 12 A = det(a) = a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 21 a 12 Exemplo 1: [ 3 5 A = 2 1 ] det(a) = = 3 ( 1) ( 2) 5 = 7 Definição 2 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 3 é por definição a aplicação det : M 3 3 (IR) IR a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 det(a) = a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = = +a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 = = a 11 det (A 11 ) a 12 det (A 12 ) + a 13 det (A 13 ) onde A ij é a matriz obtida de A por eliminação da linha i e da coluna j. 2

3 Exemplo 2: = = = 2(5 8) (5 + 12) = 23 Definição 3 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é por definição a aplicação det : M n n (IR) IR A det(a) = a 11 det (A 11 ) a 12 det (A 12 ) ( 1) n+1 a 1n det (A 1n ) onde A ij é a matriz obtida de A por eliminação da linha i e da coluna j. Exemplo 3: = = = = = (4 0) (3 2) (0 1) = = 4 3

4 Exercício 2: Calcule Propriedades dos Determinantes Se A é uma matriz quadrada com pelo menos uma coluna ou uma linha nulas, então det(a) = 0. Para qualquer matriz quadrada A, temos que det(a) = det(a T ). O determinante de uma matriz triangular (inferior ou superior) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. O determinante da matriz identidade é igual a 1. Se B é uma matriz quadrada obtida de A por meio de troca de duas linha (ou duas colunas) entre si, então det(b) = det(a). Se B é uma matriz quadrada que se obtém de A multiplicando-se uma sua linha (ou coluna) por α IR, então det(b) = α det(a). Se B é uma matriz quadrada que se obtém de A substituindo-se uma sua linha (ou coluna) pela que dela se obtém adicionando-lhe um múltiplo escalar de outra, então det(b) = det(a). Se B é uma matriz quadrada que se obtém da soma da linha i (coluna j) da matriz A com a linha i (coluna j) da matriz A, sendo as restantes linhas (colunas) das matrizes A, A e B iguais, então det(b) = det(a ) + det(a ) Nota: Em geral, para A, B M n n (IR), temos: det(a + B) det(a) + det(b). det(αa) αdet(a); de facto, det(αa) = α n det(a). 4

5 Exercício 3: Calcule os seguintes determinantes, utilizando apenas as propriedades: a b c d a b c 3.1. c a b 3.2. a b c d a b c d b c a a b c d Exercício 4: Sem calcular o valor dos determinantes, demonstre a igualdade: = Técnicas para o cálculo de Determinantes Regra de Sarrus O determinante de uma matriz de terceira ordem pode ser calculado utilizando uma regra conhecida por Regra de Sarrus. Os termos positivos de uma matriz A de terceira ordem obtêm-se multiplicando os elementos da diagonal principal e multiplicando os vértices que se podem construir de base paralela à diagonal principal: 5

6 Assim, segundo o esquema de cima, os termos positivos são: a 11 a 22 a 33, a 12 a 23 a 31, a 21 a 13 a 32 Os termos negativos da matriz A obtêm-se multiplicando os elementos da diagonal secundária e multiplicando os vértices dos triângulos que se podem construir de base paralela à diagonal secundária: Assim, segundo o esquema de cima, os termos negativos são: a 13 a 22 a 31, a 21 a 12 a 33, a 11 a 23 a 32 Subtraindo a soma dos termos negativos à soma dos termos positivos, obtemos o valor do determinante de A. Ou seja, det(a) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 13 a 32 a 13 a 22 a 31 a 21 a 12 a 33 a 11 a 23 a 32 Exemplo 4: =( ) (0 2 1) = 6 Exercício 5: Calcule os seguintes determinantes, usando a regra de Sarrus:

7 Eliminação de Gauss Consiste em transformar uma matriz quadrada de ordem n numa matriz triangular aplicando algumas das propriedades enunciadas anteriormente. Exemplo 5: /3 2/ = L 1 L 2 1/3 2/ = 1 L 3 4L = = L L /2 = 1 ( ) = 1 2 Exercício 6: Calcule , usando a eliminação de Gauss Fórmula de Laplace Por definição, o determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é calculado usando o desenvolvimento segundo a primeira linha. Este, no entanto, pode ser calculado usando o desenvolvimento de qualquer linha i ou qualquer coluna j do seguinte modo: Fórmula de Laplace segundo a linha i: det(a) = ( 1) i+1 a i1 det(a i1 ) + ( 1) i+2 a i2 det(a i2 ) ( 1) i+n a in det(a in ) 7

8 Fórmula de Laplace segundo a coluna j: det(a) = ( 1) 1+j a 1j det(a 1j ) + ( 1) 2+j a 2j det(a 2j ) ( 1) n+j a nj det(a nj ) onde A ij é a matriz de ordem n 1 obtida por A por eliminação da linha i e da coluna j e os sinais ( 1) i+j podem ser obtidos da seguinte matriz de sinais: ¾ Exercício 7: Calcule o valor de segundo a 4 a linha; 7.2. segundo a 2 a coluna Menores, Menores Complementares e Complementos Algébricos Definição 4 Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, chama-se submatriz quadrada de A de ordem m à matriz formada pelos elementos comuns a m linhas e m colunas (m n). Chama-se menor de ordem m ao determinante de uma submatriz de ordem m. Dois menores dizem-se complementares sempre que em cada um deles estão representadas as linhas e as colunas que não figuram no outro. Chama-se complemento algébrico de um menor ao produto do seu menor complementar por ( 1) s, onde s é a soma das ordens das linhas e das colunas envolvidas no menor complementar. Um menor de A diz-se principal se a sua diagonal é totalmente constituída por elementos da diagonal principal de A. 8

9 Nota: Para a formação do expoente s podemos usar as colunas e as linhas envolvidas no menor em vez do menor complementar. Exemplo 6: Para A = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 temos a 41 a 42 a 43 a 44 a 11 a 13 Menor: a 41 a 43 ; a 22 a 24 Menor Complementar: a 32 a 34 ; Complemento algébrico: ( 1) a 22 a 24 a 32 a 34 a 11 a 12 Menor: a 21 a 22 ; a 33 a 34 Menor Complementar: a 43 a 44 ; Complemento algébrico: ( 1) a 33 a 34 a 43 a 44.. Menor: a 32 ; a 11 a 13 a 14 Menor Complementar: a 21 a 23 a 24 ; a 41 a 43 a 44 a 11 a 13 a 14 Complemento algébrico: ( 1) 15 a 21 a 23 a 24 a 41 a 43 a 44. 9

10 4.4. Inversa de uma Matriz Definição e Propriedades Definição 5 Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível se existir uma matriz B de ordem n tal que AB = BA = I. A matriz B chama-se inversa de A e representa-se por A 1, isto é, B = A 1. [ 1 2 Exemplo 7: Usando a definição, a inversa da matriz A = 3 4 [ ] [ ] [ ] 1 2 x11 x AX = I = 3 4 x 21 x ] é tal que: x x 21 = 1 x x 22 = 0 3x x 21 = 0 3x x 22 = x 11 x 12 x 21 x 22 = Então, usando o algoritmo de Gauss, vem: L 3 3L L 4 3L x 11 x 12 x 21 x 22 = 2 1 3/2 1/2 Ou seja, A 1 = [ 2 1 3/2 1/2 ] 10

11 [ ] 1 1 Exemplo 8: A matriz A = não é invertível, pois não existe nenhuma 0 0 matriz X que verifique o sistema AX = I. Teorema 1 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Então A é invertível sse car(a)=n (sse A é não singular), isto é, após a eliminação de Gauss, a matriz em escada de linhas não tem nenhum zero na diagonal principal. Propriedades: Sejam A e B matrizes não singulares de ordem n. Então: A 1 é única. (A 1 ) 1 = A. (A T ) 1 = (A 1 ) T. (AB) 1 = B 1 A 1. Se A e B são matrizes quadradas tais que AB = I, então também BA = I e, consequentemente, B = A 1. Se A e B são matrizes quadradas, então det(a B) = det(a) det(b). Consequentemente, se A é invertível então det(a 1 ) = [det(a)] 1 = 1 det(a). Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível sse A é não singular, isto é, sse car(a) = n, isto é, sse det(a) 0. Exercício 8: Suponha B = P 1 AP sendo A, B e P matrizes quadradas de ordem n. Prove que B m = P 1 A m P, m Z. Exercício 9: Sejam A e B matrizes de ordem n invertíveis. Mostre que A 1 + B 1 = A 1 (A + B)B 1. 11

12 Método da Adjunta para o Cálculo da Matriz Inversa Definição 6 Chama-se adjunta de A à matriz que se obtém de A T por substituição de cada elemento pelo respectivo complemento algébrico. A adjunta de A denota-se por Adj(A). Esta definição permite o cálculo da inversa de uma matriz do seguinte modo: A A T Adj(A) A 1 = Adj(A) det(a) Nota: Só podemos calcular a inversa de A se det(a) 0 Exercício 10: Calcule a matriz adjunta das matrizes seguintes: A = [ ] A = Exercício 11: Calcule a inversa de cada uma das matrizes usando a matriz adjunta: A = [ ] A =

13 4.5. Resolução de Sistemas de Equações Lineares: Regra de Cramer Consideremos o sistema de equações lineares: a 11 x 11 + a 12 x 12 + a 13 x 13 = b 1 a 21 x 21 + a 22 x 22 + a 23 x 23 = b 2 a 31 x 31 + a 32 x 32 + a 33 x 33 = b 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x 1 x 2 x 3 = b 1 b 2 b 3 Ax = b Suponhamos que det 0; então existe a inversa A 1 de A. Logo Ax = b A 1 Ax = A 1 b Ix = A 1 b x = A 1 b x = 1 det(a) Adj(A)b x 1 x 2 x 3 = 1 det(a) +det(a 11 ) det(a 12 ) +det(a 13 ) det(a 21 ) +det(a 22 ) det(a 23 ) +det(a 31 ) det(a 32 ) +det(a 33 ) b 1 b 2 b 3 x 1 = det(a 11)b 1 det(a 21 )b 2 + det(a 31 )b 3 det(a) x 2 = det(a 12)b 1 det(a 22 )b 2 + det(a 32 )b 3 det(a) x 3 = det(a 13)b 1 det(a 23 )b 2 + det(a 33 )b 3 det(a) onde A ij é a matriz de A por eliminação da linha i e da coluna j. Daqui resulta: 13

14 x 1 = b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 det(a) ; x 2 = a 11 b 1 a 13 a 21 b 2 a 23 a 31 b 3 a 33 det(a) ; x 3 = a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3 det(a) Esta propriedade pode ser generalizada através da seguinte regra: Regra de Cramer: Seja A uma matriz quadrada de ordem n não singular Então, o sistema Ax = b tem uma única solução dada por x j = det(c j) det(a), onde C j é a matriz que se obtém de A substituindo a coluna j pela matriz coluna b. Exercício 12: Use a regra de Cramer para resolver os sistemas: { 2x + y = 8 x + 2y = x + y z = 1 x + 5y 4z = 0 3x y + 2z = 2 14

15 INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU Departamento Matemática Disciplina Matemática I Curso Gestão de Empresas Ano 1 o Ano Lectivo 2007/2008 Semestre 1 o Caderno de Exercícios: Determinantes Autores: Maria Cristina Peixoto Matos Nuno Conceição Joana Fialho Paula Sarabando 15

16 1. Calcule os seguintes determinantes: (a) ; (b) ; (c) Calcule os seguintes determinantes, usando a regra de Sarrus: (a) ; (b) ; (c) Calcule o seguinte determinante, usando a eliminação de Gauss Calcule os seguinte determinantes, (i) usando a eliminação de Gauss; (ii) usando a fórmula de Laplace. (a) ; (b) a b 0 c d 0 ; (c) ; (d) ; (e) Calcule, da forma que achar mais conveniente (pode evidentemente misturar as técnicas aprendidas) os seguintes determinantes: (a) ; (b) ; (c) ; (d) Sendo A uma matriz de ordem n, calcule, em função de det A : (a) det(2a) (b) det( A) (c) det(a 2 ) 16

17 7. (Frequência, ) a 1 a 2 a 3 Sabendo que b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 a 1 a 3 a 2 (a) b 1 b 3 b 2. c 1 c 3 c 2 = 3 e utilizando apenas propriedades dos determinantes, calcule: (b) a 1 5c 1 a 2 5c 2 a 3 5c 3 10b 1 10b 2 10b 3 c 1 c 2 c 3 (c) Enuncie as propriedades que utilizou nas alíneas anteriores. 8. Se A é uma matriz invertível de ordem n, mostre que det(a 1 ) = 1 det(a). 9. Relativamente a cada uma das matrizes seguintes, use determinantes para encontrar os valores dos parâmetros para os quais a matriz é invertível α β 0 (a) 1 α β ; (b) 1 λ ; (c) 1 α α 2 + β αβ 0 1 α β. β λ 1 λ 1 α α 2 + β α + αβ 10. Duas matrizes A e B dizem-se semelhantes se existir T invertível tal que A = TBT 1. Prove que se A e B forem semelhantes então det A = det B. 11. Calcule o determinante

18 Mostre que a matriz A = é não singular, independentemente do valor 3a 4 0 a + 1 de a. 13. considere a função f(x) = det a b x a 2 b 2 x 2, com a e b números reais distintos. (a) Mostre que f(x) é uma função quadrática, isto é, é dada por um polinómio de grau 2 em x. (b) Explique porque é que f(a) = f(b) = 0. Conclua que f(x) = k(x a)(x b) para uma certa constante k. Calcule k. (c) Para que valores de x é que esta matriz é invertível? 14. Resolva as seguintes equações: x x + 1 x 4 0 (a) 4 x + 1 = 0 (b) 1 x 1 2 x 5 = 2 (c) x + a b c c x + b a a b x + c = A matriz B foi obtida a partir da matriz A 4 4, através das seguintes operações elementares: 2L 1, L 2 L 3 e L 4 = L 4 + 2L 1. (a) Sabendo que det(a) = 1, calcule det(b). (b) Se C = π , calcule det(b C 1 B T ). 16. Calcule a matriz adjunta de: (a) (b) (c)

19 Considere as matrizes A = e B = (a) Mostre que Adj(A) = 3A T. (b) Verifique que Adj(B) = B. 18. Considere as matrizes A = , B = e C = (a) Determine a adjunta de cada uma das matrizes. (b) Calcule o determinante de cada uma das matrizes e a sua inversa. 19. Resolva os seguintes sistemas usando a regra de Cramer: (a) { x 1 + 3x 2 = 0 2x 1 + 4x 2 = 6 x 1 + 4x 2 x 3 = 1 (b) x 1 + x 2 + x 3 = 0 2x 1 + 3x 3 = 0 2x 1 5x 2 + 2x 3 = 7 (c) x 1 + 2x 2 4x 3 = 3 3x 1 4x 2 6x 3 = 5 ( ) Considere a equação matricial AXB 1 = 4 I, onde A e B representam matrizes invertíveis e I representa a matriz identidade. (a) Explicite X. (b) Sabendo que A = (i) Adj(A) (ii) X e B = , calcule: 21. (Exame Época Especial, ) Considere a matriz A = x x, x 0. (a) Diga o que entende por matriz simétrica e diga se A é simétrica. (b) Calcule A 1. 19

20 α Considere as matrizes A = 2 α e b = β 1 0, com α, β IR. (a) Discuta o sistema Ax = b em função dos parâmetros α e β. (b) Determine os valores do parâmetro α para os quais a matriz é invertível. (c) Considere α = 2 e β = 2. i. Determine, usando o método da adjunta, a matriz inversa de A. [ (A 1 ) 2 A T ii. Calcule, usando as propriedades dos determinantes, det 2 iii. Resolva o sistema Ax = b, usando a regra de Cramer. ]. 23. (Frequência, ) Considere o conjunto M das matrizes da forma (a) A, B M A.B M. (b) Se A 0 M A é invertível. (c) Se A 0 M A 1 M. [ a b b a ], com a e b IR. Prove que: 24. (Exame Época Normal, ) Considere a função h(x) = 3x x 5, se x < 0; 5, se x = 0; g(x), se x > 0. em que g(x) = x 1 0 x x x 2. (a) Determine a expressão algébrica de g(x). (b) Estude a continuidade de h(x). (c) Verifique a existência de assímptotas da função h(x). (d) Determine se possível h (2), h (0) e h ( 5). 20

21 Considere as matrizes reais A = e B = (a) Determine, a matriz inversa de A. x + y + 3z + w = 3 (b) Utilize o resultado anterior para resolver o sistema 2y z + 2w = 4 3x 2z + w = 4 (c) Mostre, utilizando as propriedades dos determinantes que detb = deta Uma firma produz dois tipos de produtos A e B. Para a produção de uma unidade de A usam-se 3 unidades de K (capital) e 2 unidades de L (força de trabalho) e para a produção de 1 unidade de B usam-se 2 unidades de K e 3 unidades de L. Sabendo que se encontram armazenadas unidades de K e unidades de L. Determine as quantidades de A e B que se devem produzir, usando dois processos diferentes da teoria dos determinantes. 27. Considere um conjunto de n indivíduos, cada um dos quais é proprietário de m diferentes mercadorias. Seja a ij o número de unidades da i-ésima mercadoria que possui o j-ésimo indivíduo, onde i = 1, 2,..., m, enquanto j = 1, 2,..., n. (a) O que representa o vector (a 1j, a 2j,..., a mj )? (b) Explique por palavras o que expressam as seguintes expressões a 11 + a a 1n e a i1 + a i a in. (c) Denote por p i o preço por unidade de mercadoria i (i = 1, 2,..., m). Qual é o valor total de mercadorias que possui o j-ésimo indivíduo? (d) Considere agora que i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3 e seja A = a matriz que representa as quantidades das diferentes mercadorias que cada indivíduo possui. Sabendo que o vector que representa o valor total das mercadorias é 2 usando a teoria dos determinantes, o preço por unidade de cada mercadoria. 7 5, calcule, 21

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