3 Determinantes. 2 Definição Número de trocas de ordem de um termo de uma matriz. 3 Definição Determinante de uma Matriz ( ( ))

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1 Nova School of Business and Economics Prática Álgebra Linear 1 Definição Termo de uma matriz Produto de elementos de, um e um só por linha e por coluna. Ex.: 2 Definição Número de trocas de ordem de um termo de uma matriz Número de índices de coluna de elementos que constituem factores de um termo, ordenado por índice de linha, que são inferiores ao índice de coluna de um outro elemento que constitui um factor posterior do mesmo termo. Ex.: Número de trocas de ordem ( : por ordem, : fora de ordem): 3 Definição Determinante de uma Matriz ( ( )) Soma de cada um dos termos de, afectados de sinal positivo, se tiverem um número de trocas de ordem par e negativo, se tiverem um número de trocas de ordem ímpar. 1

2 Ex.: () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 Fórmula Cálculo do determinante de uma matriz pela regra de Sarrus Soma do produto dos elementos de cada diagonal de que surge quando são colocadas ou à direita de as suas duas primeiras colunas, ou por baixo de as suas duas primeiras linhas, sendo as diagonais paralelas à diagonal principal de afectadas de sinal positivo e as paralelas à sua diagonal secundária de sinal negativo. ( ) ( ) Ex.: ( ) ( ) 5 Definição Menor complementar do elemento de uma matriz ( ) Determinante da sub-matriz de que se obtém eliminando a linha e a coluna. 2

3 Ex.: 6 Definição Co-factor do elemento de uma matriz ( ) Menor complementar de afectado de sinal positivo se é par e negativo se é ímpar. ( ) Ex.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 Fórmula Cálculo do determinante de uma matriz pela regra de Laplace Soma do produto dos elementos de uma qualquer linha ou coluna de (e só uma) pelos respectivos co-factores. ( ) ( ) 3

4 Ex.: ( ) ( ) 8 Propriedades Propriedades do cálculo de determinantes ( ) Produto de um número real por uma fila: Troca de filas: Soma a uma fila de uma combinação linear das restantes: Transposição: Inversão: Produto de um número real por uma matriz: Produto de matrizes: Exs.: Produto de um número real por uma fila: Troca de filas: Soma a uma fila de uma combinação linear das restantes: [ ] Transposição: ( ) Inversão: ( ) 4

5 Produto de um número real por uma matriz: ( ) Produto de matrizes: ( ) 9 Facto Determinante, igualdade e soma de filas O determinante de uma matriz, igual a duas matrizes, e, excepto numa fila, que é a soma das filas análogas de e, é a soma dos determinantes de e. Linhas: Colunas: Exs.: Linhas: 5

6 Colunas: 10 Facto Determinante de uma matriz triangular O determinante de uma matriz triangular, superior ou inferior, é o produto dos elementos da sua diagonal principal. Ex.: 11 Fórmula Cálculo do determinante de uma matriz por triangulação Realização de operações sobre até que se torne numa matriz triangular, levando em consideração o efeito das operações efectuadas sobre o determinante de, para que este possa ser obtido a partir do determinante da matriz triangular obtida. Ex.: 12 Facto Independência linear do conjunto das filas de uma matriz quadrada As linhas de uma matriz quadrada formam um conjunto linearmente dependente se e só se as suas colunas também formarem., - { } * + { } * + Ex. 1: 6

7 ( ) ( ) ( ) Ex. 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 13 Facto Independência linear do conjunto das filas de uma matriz e determinante da matriz O determinante de uma matriz é se e só se as suas linhas (ou colunas) formarem um conjunto linearmente dependente., - { } * + { } * + Ex. 1: Ex. 2: 7

8 14 Facto Independência linear e determinantes Um conjunto de vectores de é linearmente independente se e só se o determinante da matriz que os tem como linhas, igual ao determinante da matriz que os tem como colunas, for diferente de. * + * + Ex. 1: é linearmente independente porque. Ex. 2: é linearmente dependente porque. 15 Facto Determinante de uma matriz e existência da sua inversa Uma matriz tem inversa se e só se o seu determinante não for. Ex. 1: Ex. 2: 16 Definição Matriz adjunta de uma matriz ( ( )) Matriz cujos elementos são os co-factores dos elementos homólogos de. 8

9 ( ) Ex.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 17 Fórmula Inversão de uma matriz por cálculo de ( ), ( )- Ex.: 9